《數(shù)學(xué)廣角──雞兔同籠》課標(biāo)解讀

1、四年級(jí)數(shù)學(xué)廣角集體備課數(shù)學(xué)廣角雞兔同籠課標(biāo)解讀一、課標(biāo)要求義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出： “在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過(guò)程與結(jié)果” “會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)一些數(shù)學(xué)的基本思想” “能探索分析和解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的有效方法，了解解決問(wèn)題方法的多樣性” “經(jīng)歷與他人合作交流解決問(wèn)題的過(guò)程， 嘗試解釋自己的思考過(guò)程” “在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）在“課程內(nèi)容”的“第二學(xué)段”中提出： “結(jié)合實(shí)際情境，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)

2、題的過(guò)程” “通過(guò)應(yīng)用和反思，進(jìn)一步理解所用的知識(shí)和方法，了解所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。二、課標(biāo)解讀雞兔同籠問(wèn)題是我國(guó)民間流傳下來(lái)的一類數(shù)學(xué)妙題，它集題型的趣味性、解法的多樣性、應(yīng)用的廣泛性于一體，具有訓(xùn)練智能的教育功能和價(jià)值，是實(shí)施開(kāi)放式教學(xué)的好題材。（一）注意滲透數(shù)學(xué)思想義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）將數(shù)學(xué)基本思想作為“四基”之一提出，模型思想作為10 個(gè)核心概念中唯一一個(gè)以“思想”之稱的概念，實(shí)際明示它是數(shù)學(xué)基本思想之一。教學(xué)過(guò)程中，要幫助學(xué)生積累思維的經(jīng)驗(yàn)，逐漸形成自己的合理思維方法。1滲透化繁為簡(jiǎn)的思想。雞兔同籠的原題數(shù)據(jù)比較大，不利于首次接觸該類問(wèn)題的學(xué)生進(jìn)行

3、探究。因此， 通過(guò)化繁為簡(jiǎn)思想引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單問(wèn)題著手，幫助學(xué)生探索出解決該類問(wèn)題的一般方法后，再解決孫子算經(jīng)中數(shù)據(jù)較大的原題。這樣處理，可使學(xué)生充分體會(huì)到從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手的必要性，經(jīng)歷先尋找簡(jiǎn)單問(wèn)題的求解策略，再將其應(yīng)用到解決較復(fù)雜問(wèn)題的過(guò)程，從而使學(xué)生初步感受化繁為簡(jiǎn)的思想。2滲透數(shù)形結(jié)合的思想。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、運(yùn)用假設(shè)法是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)。列表嘗試法雖然有局限性，但它是假設(shè)法的基礎(chǔ)，因此在引導(dǎo)學(xué)生用列表嘗試法解決問(wèn)題時(shí)，就要有意識(shí)地作好鋪墊，為下面的教學(xué)埋下伏筆。本課的重點(diǎn)放在理解假設(shè)法的算理上，充分運(yùn)用直觀和其他手段（如借助畫(huà)圖，數(shù)形結(jié)合），能使學(xué)生直觀地理解推理、調(diào)整的過(guò)

4、程，包括假設(shè)法算式中每一步的含義。3滲透數(shù)學(xué)模型的思想。數(shù)學(xué)的生命力就在于它能夠有效地解決現(xiàn)實(shí)世界向我們提出的各種問(wèn)題，而數(shù)學(xué)模型正是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型是對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題能力的檢驗(yàn)，也是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)之一。教學(xué)時(shí)給學(xué)生足夠的空間和時(shí)間，使學(xué)生在鞏固解題方法的同時(shí)加深對(duì)“雞兔同籠”本質(zhì)的理解?！半u兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)就是通過(guò)實(shí)際生活情境，讓學(xué)生領(lǐng)悟“發(fā)現(xiàn)、抽象、簡(jiǎn)化、解決、處理”問(wèn)題的整個(gè)思維過(guò)程。從“雞兔”“龜鶴”到“人狗”問(wèn)題的過(guò)程，作出初步的事物對(duì)象的提煉，然后通過(guò)其它情境突出數(shù)量差異的變化，從而提煉簡(jiǎn)單的問(wèn)題模型。最后，將模型演繹到各種生活現(xiàn)象和問(wèn)題情境中

5、促進(jìn)模型的進(jìn)一步內(nèi)化，完成模型的建構(gòu)與應(yīng)用。（二）引導(dǎo)學(xué)生探索解決問(wèn)題的策略與方法在解決 “雞兔同籠”問(wèn)題的方法中，猜測(cè)是探究解決此類問(wèn)題的基礎(chǔ)，列表法則有助于通過(guò)有序思考找到問(wèn)題的答案，假設(shè)法則有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，切實(shí)解決此類問(wèn)題的一般方法。當(dāng)然，學(xué)生選用哪種方法解決這類問(wèn)題均可，不強(qiáng)求用某一種方法。1讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程。雞兔同籠問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程，可以采用數(shù)形結(jié)合，這一方法比較直觀，易學(xué)好教，也可采用逐一列表、跳躍列表和折中列表三個(gè)層次的列表方法，這種在算的基礎(chǔ)上逐步嘗試、調(diào)整的方法，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和解決問(wèn)題的習(xí)慣，這種回歸思維原點(diǎn)、不教也能試的方法，本質(zhì)

6、就是“逼近”的思想，而“窮舉、列表”又體現(xiàn)了分類的思想。在解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力。解題過(guò)程實(shí)質(zhì)上是在化歸思想的指導(dǎo)下，合理聯(lián)想。調(diào)用一定數(shù)學(xué)思想方法加工處理題設(shè)條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析解決問(wèn)題，開(kāi)拓學(xué)生的思維空間, 優(yōu)化解題策略。人教版呈現(xiàn)的三種不同思維層次的方法，蘊(yùn)藏著不同的數(shù)學(xué)思想：列表法體現(xiàn)了“分類”的思想，假設(shè)法蘊(yùn)涵著“逼近”思想。在教學(xué)中，可從基本的假設(shè)法入手，通過(guò)例題教學(xué)，讓學(xué)生掌握用假設(shè)法解題的技巧，感悟思想方法，并在解決一些實(shí)際問(wèn)題的練習(xí)中進(jìn)行鞏固。2豐富學(xué)生解題策略。通過(guò)例題教學(xué)展示多種解題策略，并把每種解決方法及時(shí)收歸到假設(shè)法，從假設(shè)的角度去

7、融會(huì)貫通。這種處理方法中，如何將其他策略引至假設(shè)法是課堂的關(guān)鍵。對(duì)于畫(huà)圖法，可作為理解假設(shè)法計(jì)算過(guò)程的直觀輔助手段，起到數(shù)形結(jié)合加深理解的作用；對(duì)于枚舉列表法，可作為理解假設(shè)法的鋪墊材料，因?yàn)閷?duì)列表中雞（或兔）腳數(shù)變化規(guī)律的掌握，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)假設(shè)法中難點(diǎn)的突破即對(duì)推理和調(diào)整過(guò)程的理解；對(duì)于方程法，本單元還沒(méi)有學(xué)到，在今后的學(xué)習(xí)中可作為假設(shè)法的另一種形式去理解。3有效溝通生活實(shí)際問(wèn)題與“雞兔同籠”問(wèn)題的聯(lián)系。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）明確了問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要目標(biāo)。問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)體現(xiàn)在幾個(gè)領(lǐng)域中的不同數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的學(xué)習(xí)過(guò)裎中，貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程。很多實(shí)際問(wèn)

8、題雖然形式上與“雞兔同籠”問(wèn)題不同，但在數(shù)量關(guān)系上卻與“雞兔同籠”問(wèn)題一致。教學(xué)時(shí)依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知能力和思維水平， 幫助學(xué)生將各種生活中的實(shí)際問(wèn)題與“雞兔同籠”問(wèn)題溝通起來(lái)，有效解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)廣角雞兔同籠教材分析一、教學(xué)目標(biāo)1 了解“雞兔同籠”問(wèn)題，感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性。2經(jīng)歷自主探究解決問(wèn)題的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣化。3了解列表法、假設(shè)法等解決問(wèn)題的方法，在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)邏輯推理能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。二、教材編排特點(diǎn)“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng)中。其解法包括：列表法、假設(shè)法、方程法。由于本單元還沒(méi)學(xué)習(xí)到方程法，因此，教材主要引導(dǎo)學(xué)生通

9、過(guò)猜測(cè)、列表和假設(shè)等方法來(lái)逐步解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生猜測(cè)、有序思考及邏輯推理能力。1 利用古題激發(fā)學(xué)習(xí)興趣?！半u兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教材主題圖借助富有情趣的古代課堂情境，生動(dòng)地引出孫子算經(jīng)中記載的“雞兔同籠”問(wèn)題，并通過(guò)古代課堂上學(xué)生冥思苦想的畫(huà)面和小精靈的提問(wèn)激發(fā)學(xué)生解決古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣。2體現(xiàn)解決問(wèn)題的策略和方法多樣化?！半u兔同籠”的原題數(shù)據(jù)比較大，不利于首次接觸該類問(wèn)題的學(xué)生進(jìn)行探究，因此教材先將孫子算經(jīng)中的“雞兔同籠”問(wèn)題數(shù)據(jù)變小編排了例 1 ，通過(guò)化繁為簡(jiǎn)的思想，幫助學(xué)生先探索出解決該類問(wèn)題的一般方法后，再解決孫子算經(jīng)中數(shù)據(jù)比較大的原題。例 1 教學(xué)依次呈現(xiàn)讓學(xué)生經(jīng)歷

10、從猜測(cè)到列表法，再到“假設(shè)法”解決問(wèn)題的探究過(guò)程?！伴喿x材料”中還介紹了古人的巧妙解法，拓寬學(xué)生的解題思路。 讓學(xué)生在經(jīng)歷、體驗(yàn)解決問(wèn)題的過(guò)程中感受解決問(wèn)題的策略和方法的多樣化。3拓寬對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，明確其在生活中的應(yīng)用。配合“雞兔同籠”問(wèn)題，教材在“做一做”和練習(xí)中安排了一些類似的習(xí)題，比如“龜鶴”問(wèn)題，生活中的一些實(shí)際問(wèn)題，如購(gòu)物、租船等，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到這類問(wèn)題在日常生活中的應(yīng)用，并鞏固用列表法、假設(shè)法等解題策略。雞兔同籠（一）教學(xué)設(shè)計(jì)沂堂鎮(zhèn)迷龍小學(xué)閆倩教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能了解“雞兔同籠”問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，滲透化繁為簡(jiǎn)的思想，掌握用列表法、假設(shè)法、方 程法解決問(wèn)題，初步形成

11、解決此類問(wèn)題的一般性策略。（二）過(guò)程與方法經(jīng)歷猜測(cè)的過(guò)程，嘗試用列表、假設(shè)的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生有序思考, 使學(xué)生體會(huì)解題策略的多樣性。（三）情感態(tài)度和價(jià)值觀在解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的遷移思維能力，感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性。二、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：滲透化繁為簡(jiǎn)的思想，體會(huì)用假設(shè)法的邏輯性和一般性。教學(xué)難點(diǎn)：理解用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的算理。三、教學(xué)準(zhǔn)備課件、實(shí)物投影。四、教學(xué)過(guò)程（一）情境導(dǎo)入教師：同學(xué)們，大約一千五百多年前，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)中記載了一道數(shù)學(xué)趣題一一“雞兔同籠”問(wèn)題。（板書(shū)課題：雞兔同籠）出示主題圖：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉

12、兔各幾何?教師：這道題是以文言文的方式表述的，雉就是野雞，哪位同學(xué)看懂它的意思了？學(xué)生：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有 35個(gè)頭，從下面數(shù)，有 94只腳。雞和兔各有幾只？教師：從題中獲取信息，你知道了什么，要求什么問(wèn)題？（二）探究新知1 .嘗試解決，交流想法。既然“雞兔同籠”問(wèn)題能流傳至今，就應(yīng)該有它獨(dú)特的思考方式和解題方法。問(wèn)題：同學(xué)們想一想，算一算雞和兔各有多少只？2 .感受化繁為簡(jiǎn)的必要性。大家在剛才猜了好幾組數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證都不正確，為什么猜不對(duì)呢？數(shù)據(jù)大了不好猜，我們應(yīng)該怎么辦？我們把數(shù)字改小些，先從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手。（課件出示例1） “籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有 8個(gè)頭，從

13、下面數(shù)，有 26只腳。雞和兔各有幾只？”教師：從題中你們能獲取哪些信息？和生活常識(shí)聯(lián)系在一起，你還能說(shuō)出哪些信息？預(yù)設(shè)：學(xué)生1 :雞和兔共8只，雞和兔共有26只腳。學(xué)生2 :雞有2只腳，兔有4只腳?！驹O(shè)計(jì)意圖】滲透化繁為簡(jiǎn)的思想，引導(dǎo)學(xué)生理解題意， 找出隱藏條件，幫學(xué)生初步理解“雞兔同籠”問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。3 .猜想驗(yàn)證。教師：有了這些信息，我們先來(lái)猜猜，籠子可能會(huì)有幾只雞？幾只兔？猜測(cè)需要抓住哪 個(gè)條件？學(xué)生：雞和兔一共有 8只。老師這里有一張表格，請(qǐng)大家教師：是不是抓住這個(gè)條件就一定能馬上猜準(zhǔn)確呢？好, 來(lái)填一填，看看誰(shuí)能又快又準(zhǔn)確地找出答案來(lái)，開(kāi)始。四8765當(dāng)01腳1618學(xué)生匯報(bào)。87

14、6513210兔012315678腳1618202221283032小結(jié)：這個(gè)方法挺好，能幫我們解決雞兔同籠的問(wèn)題，我們把這種方法叫做列表法。（板書(shū)：列表法）教師：老師剛才發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)都完成得非?？?，很了不起！那么，同學(xué)們，你們覺(jué) 得用列表法解決“雞兔同籠”問(wèn)題怎么樣呢？預(yù)設(shè):學(xué)生1:列表法能很清晰地解決這個(gè)問(wèn)題。學(xué)生2:因?yàn)閿?shù)字比較簡(jiǎn)單，所以列表法還可以用，但是數(shù)字變大時(shí)，列表法就會(huì)比較麻煩，會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間。教師：說(shuō)得非常好，那我們就來(lái)嘗試研究一下更簡(jiǎn)潔的方法吧。 同學(xué)們?cè)賮?lái)觀察自己剛 才列的表格，看看這些數(shù)量之間是否存在著一些數(shù)學(xué)規(guī)律， 請(qǐng)將你的想法跟同組的同學(xué)相互 交流一下。學(xué)生小組交

15、流匯報(bào)。預(yù)設(shè)：學(xué)生1 :雞的數(shù)量每減少1只，兔的數(shù)量就增加 1只，腳的數(shù)量也跟著增加 2只。學(xué)生2 :兔的數(shù)量每減少1只，雞的數(shù)量就增加 1只，腳的數(shù)量反而減少 2只。【設(shè)計(jì)意圖】列表法雖然煩瑣，但這是一種重要的解決問(wèn)題的策略和方法，是學(xué)習(xí)假設(shè)法的基礎(chǔ)，因此也是本課的重要教學(xué)內(nèi)容之一。讓學(xué)生以填表的方式初步體驗(yàn)雞兔同籠情況下隨著雞或兔只數(shù)的調(diào)整，腳的總數(shù)量的變化規(guī)律，為下面的學(xué)習(xí)做好鋪墊。4 .數(shù)形結(jié)合理解假設(shè)法。教師：同學(xué)們的想法非常好，我們一起繼續(xù)來(lái)看這張表格，通過(guò)分析表格來(lái)將同學(xué)們的想法表述得更加清晰。(1)假設(shè)全是雞。教師：我們先看表格中左起的第一列，8和0是什么意思？雞8765432

16、i10免0I2345678腳161820222426283032學(xué)生：就是有8只雞和0只兔，也就是假設(shè)籠子里全是雞。教師：那籠子里是不是全是雞呢？這也就是把什么當(dāng)什么來(lái)算了？學(xué)生：不是，我們是把一只 4只腳的兔當(dāng)成一只 2只腳的雞來(lái)算的。教師：這樣算會(huì)有什么結(jié)果呢？學(xué)生：每少算一只兔就會(huì)少算 2只腳。教師：假設(shè)全是雞，一共是 16只腳。實(shí)際有26只腳，這樣籠子里就少了 10只腳，這說(shuō)明什么呢？學(xué)生：每只雞比兔少 2只腳，少了 10只腳說(shuō)明籠子里有 5只兔。教師：你們能列出算式嗎?學(xué)生嘗試列算式。教師以畫(huà)圖法進(jìn)行演示:42+28X2 = 16 （只）。（如果把兔全當(dāng)成雞，一共就有8X2=16只腳

17、。）26-16 = 10 （只）。（把兔看成雞來(lái)算，4只腳的兔當(dāng)成2只腳的雞算，每只兔就少算了 2只腳，10只腳是少算的兔的腳數(shù)。）4-2 = 2 （只）。（假設(shè)全是雞，就是把 4只腳的兔當(dāng)成2只腳的雞。所以42表示一只兔當(dāng)成一只雞，就要少算 2只腳。）10+2=5 （只）兔。（那把多少只兔當(dāng)成雞算，就會(huì)少 10只腳呢？就看10里面有幾個(gè)2,也就是把幾只兔當(dāng)成了雞來(lái)算，所以10+2 = 5就是兔的只數(shù)。）85 = 3 （只）雞。（用雞兔的總只數(shù)減去兔的只數(shù)就是雞的只數(shù)，85= 3只雞。）（2）假設(shè)全是兔。教師：我們?cè)倩氐奖砀裰校纯从移鸬谝涣兄械?和8是什么意思？雞876543210兔0123

18、45678腳1820-222426283032學(xué)生：就是有0只雞和8只兔，也就是假設(shè)籠子里全是兔。教師：籠子里是不是全是兔呢？這個(gè)時(shí)候是把什么當(dāng)什么算的？學(xué)生：把里面的雞當(dāng)成兔來(lái)計(jì)算的。教師：那把一只2只腳的雞當(dāng)成一只 4只腳的兔來(lái)算，會(huì)有什么結(jié)果呢？學(xué)生：就會(huì)多算2只腳。教師：請(qǐng)同學(xué)們像老師那樣畫(huà)一畫(huà)，算一算。學(xué)生匯報(bào)：，用'，火'，火' 只' 只' 只' 只' 只' 履fe8X4 = 32 （只）。（如果把雞全看成兔，一共就有 8X4 = 32只腳。）32 26 = 6 （只）。（把雞當(dāng)成兔來(lái)算， 2只腳的雞當(dāng)成4只腳的兔算，每只雞就多了2只腳，6只腳是多算了雞的腳數(shù)。）4-2 = 2 （只）。（假設(shè)全是兔，就是把 2只腳的雞當(dāng)成4只腳的兔。所以42表示一只雞當(dāng)成一只兔，多算了 2只腳。）6+2 = 3 （只）雞。（那要把多少只雞當(dāng)成兔來(lái)算，就會(huì)多算 6只腳呢？就看6里面有幾個(gè)2,也就是把幾只雞當(dāng)成了兔來(lái)算，所以 6 + 2 = 3就是現(xiàn)在雞的只數(shù)了。）8-3 = 5 （只）兔。（用雞兔的總只數(shù)減去雞的只數(shù)就是兔的只數(shù)，83= 5只兔。）（3）提出假設(shè)法概念。剛才我們通過(guò)假設(shè)都是雞或都是兔來(lái)