【2019年整理】傅里葉變換和傅里葉級數(shù)的收斂問題

1、1、傅里葉變換和傅里葉級數(shù)的收斂問題由于傅里葉級數(shù)是一個無窮級數(shù)，因而存在收斂問題。這包含兩方面的意思: 是否任何周期信號都可以表示為傅里葉級數(shù)；如果一個信號能夠表示為傅里葉級 數(shù)，是否對任何t值級數(shù)都收斂于原來的信號。關(guān)于傅里葉級數(shù)的收斂，有兩組 稍有不同的條件。第一組條件：如果周期信號x(t在一個周期內(nèi)平方可積，即T02dt :二二：則其傅里葉級數(shù)表達式一定存在。第二組條件，與第一組條件稍有不同，就是狄里赫利條件，它包括以下三點: (1)在任何周期內(nèi)，x必須絕對可積，即x t |dt :二T0,在任何周期內(nèi)，x(t)只有有限個極值點，且在極值點處的級值為有限值。(3)在任何有限區(qū)間內(nèi)，x(

2、t)只有有限個間斷點，且在這些不連續(xù)點處，x(t)為有限值。傅里葉變換的收斂問題也有兩組類似的條件：第一組條件：如果x(t 方可積，即00, j2J x(t dt < 001則x(t)的傅里葉變換存在。?f足上式可以保證 xg)為有限值。第二組條件也稱為狄里赫利條件，這就是：(1)x(t地對可積,即qQx xt，dt < sjo 1(2)在任何有限區(qū)間內(nèi)，x(t反有有限個極值點，且在這些極值點處的極值 是有限值。(3)在任何有限區(qū)間內(nèi)，x(t)只能有有限個間斷點，而且這些間斷點都必須是有限值。吉布斯現(xiàn)象：當(dāng)簡單地把信號頻譜截斷時，相當(dāng)于給信號頻譜加上了一個矩形窗口函數(shù)，正是由于矩形

3、窗口函數(shù)的時域特性導(dǎo)致了在間斷點處的吉布斯現(xiàn)象的產(chǎn)生。2、周期序列的傅里葉級數(shù)展開和傅里葉變換之間的問題假定x(t周一個長度為N的有限長序列，將x(t )以N為周期延拓而成的周期 序列為x(n ),則有 二.x n = " x n - rN r二二二 或表小為x(n )= x(n )N。于是x(n )與x(n )的關(guān)系表小為: x n =x n n x n)=x n Rn n 將x(n辰示為離散時間傅里葉級數(shù)有： N -1 x n =" X k WNknN n/N -1 X k c x n wNkn nW 其中X(k思傅里葉級數(shù)的系數(shù)，這樣做的目的是使其表達形式與離散時間傅

4、里 葉變換的形式相類似。如果將X(k )的主值周期記為X(k), 0<k<N-1,由于以 上兩式中的求和范圍均取為區(qū)間 0N-1,在次區(qū)間內(nèi)x(n)=x(n),因此可以得到：NX(k )=£ x(nWN",0Ek EN -1n 0N 1x(n)= 1 £ X(kWNkn ,0<n< N -1N n£表明時域N點有限長序列x(n)可以變換成頻域N點有限長序列X(k)。顯然，DFT 與DFS之間存在以下關(guān)系：X k =X k NX ki=X k Rn k3、頻率分辨率的問題若信號最高頻率為fh,按抽樣定理，抽樣頻率應(yīng)滿足fs 2fh也

5、就是抽樣間隔為T滿足11T 二一：fs2 fh一般取fs = 2.5 3.0 fh如果不滿足fs> 2 fh的要求，就會產(chǎn)生頻率響應(yīng)的周期延拓分量相互重疊的現(xiàn) 象，也就是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。對于DFT來說，頻率函數(shù)也要抽樣，變成離散的序列，其抽樣間隔為 F0,這 就是我們能得到得的頻率分辨力，有它可引出時間函數(shù)的周期，也就是所取的記 錄長度To為從以上T和飛兩個公式來看，信號的最高頻率分量 九與頻率分辨力F。之間有著矛盾關(guān)系，要想 加增加，則時域抽樣間隔T就一定減小T =1 . 1fs%,，而fs（抽樣頻率）就增加，由于抽樣點數(shù)滿足fs To一 =一 =NFo T則此時fs增加，若是

6、N固定的情況下，必然要Fo增加，即分辨率下降反之，要提高頻率分辨力（減少Fo）,就要增加飛，當(dāng)N給定時，必然導(dǎo)致T的增加（fs減小）。要不產(chǎn)生混疊失真，則必然會減小高頻容量（信號的最高頻 率分量）fh要想兼顧高頻容量:與頻率分辨力F。，即一個性能提高而另一個性能不變（或也得以提高）的惟一辦法就是增加記錄長度的點數(shù) N ,即要滿足fsF02 fhF0這個公式是未采用任何特殊數(shù)據(jù)處理（例如加窗處理）的情況下，為實現(xiàn)基 本DFT算法所必須滿足的最低條件。如果加窗處理，相當(dāng)于時域相乘，則頻域 卷積，必然加寬頻譜分量，頻率分辨力就可能變壞，為了保證頻率分辨力不變，則須增加記錄長度，也就是增加數(shù)據(jù)長度 T

7、0O4、MATLAB的圖示說明：有效觀察時間與補零后的 DFT之間的關(guān)對8點正弦離散序列求8點、32點和64點DFT,觀察頻域變化（分別用綠、 黃、紅色表示）。結(jié)果：矩形窗序列后補零的時、頻域示意圖系，以及與DTFT之間的關(guān)系從圖中可以看出：序列后補零可以降低柵欄效應(yīng)；信號頻譜的形狀只取決于 時域信號，與補零個數(shù)無關(guān)。補零并不能提高頻譜分辨率，因為頻譜分辨率只與 時域數(shù)據(jù)的有效長度有關(guān)。DTFT與DFT （或DFS）的關(guān)系：DFT時域序列為周期序列，周期為 N;頻 域序列也是周期序列，周期也是 N點。當(dāng)N不斷增大時，頻域包絡(luò)不變，但譜 線變密；顯然，Nt笛時，時域序列變?yōu)榉侵芷谛蛄?，頻域為連續(xù)

8、的頻譜，即 變化為DTFT。5、教材信號與線性系統(tǒng)，閻鴻森、王新鳳、田惠生編，西安交通大學(xué)出版社 數(shù)字信號處理教程，程佩青編，清華大學(xué)出版社（后附連續(xù)信號傅里葉變換的DFT近似計算）傅里葉變換的DFT近似計算連續(xù)時間非周期信號 x(t)的傅里葉變換對為X jj二xtejtdtxtX j'J ej，'td'-J(2)2二-二用DFT方法計算這一對變換的方法如下：(1)將xt應(yīng)t軸上等間隔(寬度為 T)分段，每一段用一個矩形脈沖代替，脈沖的幅度為其起始點的抽樣值 x(t 4 3T = x(nT )= x(n ),然后把所有矩形脈沖的面積相加。由于t nTdt > T

9、dt = n 1T - nTdt- 7. Tn 二-二二則得頻譜密度X(jQ )= Jx(t e-jCdt的近似值為X j'j : '、x nT ejnT T(3)(2)將序列x(n )= x(nT )截斷成從t =0開始長度為t0的有限長序列，包含有 N個抽 樣(即時域取N個樣點)，則上式成為N 4X j1.1 T x nT e-j'nT(4)n 0由于時域抽樣，抽樣頻率為fs =1/T ,則頻域產(chǎn)生以fs為周期的周期延拓，如果頻域是限帶信號，則可能不產(chǎn)生混疊，成為連續(xù)周期頻譜序列，頻域周期為fs = l/T (即時域的抽樣頻率)。(3)為了數(shù)值計算，再頻域上也要離散

10、化(抽樣)即在頻域的一個周期(fs)中也分成N段，即取N個樣點fs =NFo,每個樣點間的間隔為 Foo頻域抽樣，那么頻域的積分式(2)式就變成求和式，而時域就得到原已截斷的離散時間序列的周期延拓序列，其時域周期為To =1/Fo。這時k =kQod,；一 k 。-20 =*k=0各參量的關(guān)系為T°二gF04NT =2二Fo則1.2 二F0T；1 0T = 1 o = 1 o = 2 二=2 二 二2三 fs' - s，- sfsT0這樣，經(jīng)過上面三個步驟后，時域、頻域都是離散周期的序列，推導(dǎo)如下: 第1, 2兩步：時域抽樣、截斷N 1X jj x nT e J nT Tn =0x nT : - ' sx j'.1 ej''nTd'.1(6)2 二0第3步：頻域抽樣，得到N 1N 4_j2：:nkX jk0 T x nT e. 0nT =x n e"N二T DFTx n 1n=0nMjQki I NNx nT J 0 '、X jk0 ejk,0nT =5?！?X jk，。e2：,二 k 0)k=01 N 1j2 nk=F0 N X jk