1997年全MBA入學考試數學試題和答案

1、1997年全MB從學考試數學試題和答案一、選擇題：本大題共20個小題，每小題2.5分，共50分，在每小題給出的五 項中，只有一項正確，把所選項前的字母填在括號內。1.某廠一生產流水線，若每分15秒可出產品4件，則1小時該流水線可出產品(A)480 件(B)540 件(C)720件(D)960 件(E)1080 件解：15秒生產4件，則1分鐘生產4X4=16件，1小時生產16X60=960件，正確的選擇是Do112 .若x2+bx+1=0的兩個根為x1和x2,且-+-=5 , WJ b的值是x1x2(A)-10(B)-5(C)3(D)5(E)1011x1+x2府軍：已矢口一+ =5,x1 x2

2、x1 - x2由韋達定理：x1x2=1,x1+x2=-b,得 b=-5.正確的選擇是Bo3 .某投資者以2萬元購買甲、乙兩種股票，甲股票的價格為 8元/股，乙股票的 價格為4元/股，它們的投資額之比是4: 1。在甲、乙股票價格分別為10元/股和3 元/股時，該投資者全部拋出這兩種股票，他共獲利(A)3000 元(B)3889 元(C)4000(D)5000 元(E)2300 元解：期初，2 萬元投資于甲和乙兩種股票，比例為4： 1，516000故投資于甲為 20000 X =16000元，共=2000股，4814000投資于乙為20000 X =4000元，共=1000股，54期末，賣出 A共

3、得2000 X 10=20000元，賣出B共得1000 X 3=3000元。共賣得 23000 元。故總盈利23000-2000=3000 元。正確的選擇是A。4 . 甲倉存糧30 噸，乙倉存糧40 噸，要再往甲倉和乙倉共運去糧食80 噸，使甲倉糧食是乙倉糧食數量的1.5 倍，應運往乙倉的糧食是(A)15 噸(B)20噸(C)25 噸(D)30 噸(E)35 噸解：最后A、B兩倉共計30+40+80=150 噸,又知甲：乙=1.5:1,1故乙倉為150 元=60 噸，1.5+1須向乙倉再運行60-40=20 噸。正確的選擇是B。10(B)280(E) 無法確定5 .若，(a-60)2 +|b+

4、90|+(c-130)=0,貝U a+b+c 的值是(A)0C)100(D)-100解： a=60,b=-90,c=130,所以a+b+c=100.正確的選擇是C.6. 一等差數列中，a1=2,a4+a6=-4，該等差數列的公差是(A)-2(B)-1C)1(D)2(E)3解：設公差為d,由已知得a1=2a4+a6=(a1+3d)+(a1+5d)=-4解得 d=1.正確的選擇是B。427.(3-2x) 的二項展開式中，x 的系數是(A)126(B)148205(D)216(E)264222解：x2項的系數為C4-3 (-2)=216.正確的選擇是D。(C)8. 若圓錐體的高h 和底半徑r 的比是

5、4： 3，且側面積為15冗，則它的高h是(A)4(C)3 V2(D)3,3(B)5(E)4 V23解：側面積=無r，h2+r2 ,而r=-h,439得 15 天=無- hVh2 + h2 ,416解得 h=4.正確的選擇是A。9 .ab<0 時，直線y=ax+b 必然(A)經過1、2、4象限(B)經過1、3、4象限 (C)在y軸上的截距為正數(D) 在 x 軸上的截距為正數(E) 在 x 軸上的截距為負數解：ab<0 則 a<0,b>0 或 a>0,b<0若 a<0,b>0 ，則直線圖形如圖1 所示，若 a>0,b<0 ，則直線圖形如

6、圖2 所示， 故當 ab<0 時直線 y=ax+b 在 x 軸上的截距為正。正確的選擇是D。10 .若菱形ABCD勺兩條又t角線AC=a,BD=b則它的面積是(A)ab (C)，2ab1(D)-ab21(B)-ab3 -V2(E)-ab2解：在菱形中兩對角線必正交( 垂直 )1故面積= ab2正確的選擇是D。1.5 倍，則其體積增11 . 若圓柱體的高增大到原來的3 倍，底半徑增大到原來的大到原來的體積的倍數是(A)4.5(D)12.5(B)6.75(E)15(C)9解：圓柱體體積 V=hitr2,h和r增加后的體積 V=3h 無（1.5r）2=6.75h 無r2.正確的選擇是B。12.

7、 圓方程 x2-2x+y2+4y+1=0 的圓心是(A)(-1,-2)(D)(2,-2)(B)(-1,2)(E)(1,-2)(C)(-2,2)解： x2-2x+y2+4y+1=(x-1)2+(y+2)2-4=0，圓心為 (1 ， -2) 。正確的選擇是E。213.lim(1+3x)xx-0(A)1(B)0(C)e2(D)e3(E)e6解： lim (1+3x) x =lim (1+3x) 3x =e .x- 0x 0正確的選擇是Ex2+2x(x > 0)14.若 f(x)= ln(1+ax) (x<0)(A)-2(B)2在 x=0 處可導， 則 a=(C)-1(D)1(E)0解：由

8、 lim f(x)=0,limf(x)=0,f(0)=0 知 f(X) 在 x=0 連續(xù)， 0x-+0x-0求導： x>0 時 f(x)=2x+2,x<0 時 f(x)=,令x -0解彳# a=2。正確的選擇是B。15.y=xxr 導數 y'=1+ax(A)Xx(1+lnx)(D)Xx(1-lnx)(B)Xxlnx(E)Xx-1(1+lnx)(C)Xx-11解：由 lny=xlnx, 得 -y=lnx+1.y16. 在下列積分中，其值等于0 的是所以 y=y(lnx+1)=xx(lnx+1).11(A) f sin2xdx cos3xdx-1-11(D) f sin2xdx

9、-11(B) f cos2xdx(C) f-11(E) f xsinxdx-1解：利用函數的奇偶性和區(qū)間的對稱性得1/ sin2xdx =0,-1其他積分都非0.正確的選擇是D.11-17.若 / f(x)e xdx= -e x+C ,貝U f(x)=(A)-(B)-(C)-xx2x11-(D)-(E)exx21解：由 f(x) e x=-(-ex +c)=-e x - - 導 f(x)=-dxx2正確的選擇是D。x218.f(x)=，x-x2的定義域是(A)(- 00,1(D)(-巴。(B)(-巴0),(1,+ 8)1,+ 8)(E) 0,1(C)(0,1)解：定義域為x-x2=x(1-x)

10、 > 0,解不等式得0Wx01.正確的選擇是E。19. 下列矩陣中，行列式值為0 的矩陣是| 321 | 0 -10 |(A)| -3 21 |(C)| 300 | 001 | 001 | 003(B)| 0 -10| 130| 3 -16 |(D)| 214 |(E)| 224 | 641 | 162 |-解： (E) 中行列式的第1 列和第 3 列成正比例，故行列式為0，其他行列式非0。下確的選擇是20.10 件產品中有1(A)-(C)-38(D)-153 件次品，從中隨機抽出2 件，至少抽到一件次品的概率是27(B)-5153(E)-5解： 10 件中隨機抽出2 件，全是正品的概率

11、為2C7 7215C10所以抽出2 件至少抽到一件次品的概率為78d1515正確的選擇是D。得分 閱卷人二、計算題：本大題共12 個小題，前10 題每小題4 分，后 2 題每小題5 分。21. 求由方程xy+ey-sin(xy2)=1 所確定的函數y=y(x) 的導數 y' 。得分 閱卷人y+xy+ey - y-cos(xy2)(y2+2xyy)=0,即 (x+ey-2xycos(xy2)y=y2cos(xy2)-y,y2cos(xy2)-y解得 y=x+ey-2xycos(xy2)122. 若一條二次曲線把(-00,0)內的曲線段y=ex和(1 , +OO)內曲線段y=-連結成 一條

12、一階x可導的曲線，求定義在0,1 上的這條二次曲線y=ax2+bx+c。得分 閱卷人解：曲線在x=0,x=1 處連續(xù)，故有c=1a+b+c=1曲線在 x=0,x=1 處可導，故又有b=12a+b=-1解得a=1,b=1,c=1所以曲線方程y=-x2+x+1.1-x123. 求極限 lim()-X0 1+x x.得分 閱卷人1+x1另一解法：1-x -11-x解：令y=()xlny=-ln,1+xx-(1+x)-(1-x)11-x(1+x2)lim- ln=lim=-2,x0 x1+xx-01-x1+xlim (1-x)x1-x-x-0lim()x=ex- 0 1+x-2lim (1+x)xx-

13、024.計算 f x2exdx.得分閱卷人解：利用分部積分法/ x2exdx= / x2dex=x2ex-2 / exxdx=x2ex-2 f xdex =x2ex-2(xex- / exdx) =x2ex-2(xex-ex)+c.25.求函數y=x3-x2-x+1在0,2上的極值，最大值和最小值 得分閱卷人解：由 y=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)=0 1得其根為x=-(舍去)，x=1, 3作表：x |0,1)|- y |-|- y | J|1|(1,2 |0|+（注：箭頭右下，右上）極小值是y|x=1=0, 在端點處，y|x=0=1,y|x=2=3,所以最大值是3,最小值是0.|

14、 1 1 -1 | 2 |26.已知 AX=B 其中 A=| 0 10 |,B=| 3 | ，求 X.?| 1 11 | 6 |得分閱卷人解：|A|片0,用A-1左乘方程AX=B的兩端得X=A-1B,|-1而 A = |01I 1|00 I1 I-I2 II 2-1所以X =I 2|01I1I-I22II2|1|0 |3 |= |3 |1II6|2|0 I2 I27.計算n階行列式I a00, , 01|0a0, , 00|00a, , 00D= | |000a0I 100, , 0a得分閱卷人| 0 a 00 |1+n | 00 a I a|I a|解：D=a | +(-1)|000 a |

15、1000 |=an+(-1)n+1(-1)nan-2=an-an-2.28 .求解線性方程組x2-x3+x4=-3x1 -2x2+3x3-4x4=4x1+3x2-3x4=1-7x2+3x3+x4=-3得分閱卷人x1-2x2+3x3-4x4=4x2-x3+x4=-3x1+3x2-3x4=1-7x2+3x3+x4=-3解：利用初等變換，得|1-44 |01-3|(AB)=|1-26 |000 |-23-44 |1-21-11-3|030-31 | 0-731-3|人0 |故同解方程組是x1-x2x2+3x3=4+4x4x2-x3=-3-x4x3=6+2x4x1=-8x2=

16、x4+3解得x3=2x4+6x4=x4P(B).29 .若兩事件A和B相互獨立，且滿足 P(AB)=P(A B), P(A)=0.4 ,得分 閱卷人解：因為事件A和B相互獨立，所以事件 A和B也相互獨立，從而-P(A)P(B)=P(A)P(B)=(1-P(A)(1-P(B)亦即 0.4P(B)=0.6(1-P(B),得 (0.4+0.6)P(B)=P(B)=0.6.30. 若 P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3-求 P(A+B)和 P(A+B).得分 閱卷人解：因為P(A-B)=P(A)-P(AB).所以 P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.5-0.3=0.2,P(A

17、+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.2=0.7.又因為P(A+B)=P(AB)=1-P(AB),得 P(A+B)=1-0.2=0.8.另一解法因為 A+B=B+(A-B),B 與 A-B 互斥 ,所以 P(A+B)=P(B)+P(A-B)=0.4+0.3=0.7.又因為P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.5+0.4-0.7=0.2,得P(A+B)=P(AB)=1-P(AB)=1-0.2=0.8.31. 求由曲線y=ex 和該曲線的經過原點的切線以及y 軸所圍圖形的面積。得分 閱卷人解：曲線的斜率是y=ex,故曲線上（x0,ex0）點的切線方程y-ex0=e

18、x0（x-x0）,又已知切線經過原點，所以-ex0=-x0ex0,解得 x0=1, 切線方程為y=ex,1e所求面積=f （ex-ex）dx= - 1.02| 21-1|32.已知三階矩陣A=| 121 | , E為三階單位陣，問常數 人為何值時，線性齊次方程|-112 |-（入E-A）X=0有非零解.解：當|入E-A|=0時齊次方程組（入E-A）X=0有非零解，| 入-2-1-2-10 |-1|=|-1入-2 人-3| 入 E-A|=|-1 入-2|1-1人-2|1-1 人-3|-2-2-11 | 入-20 |=(入-3)|-1 入-2-10 |1 |=(入-3)|-1|1-11 |=(入-

19、3)2 人=0.所以當人=0或入=3時，（入E-A）X=0有非零解.1997 年全國攻讀工商管理管理碩士學位研究生入學考試數學試題答案及評分標準全國工商管理碩士入學考試研究中心、選擇題1.D2.B3.A4.B5.C6.B7.D8.A9.D10.D11.B12.E13.E14.B15.A16.D17.D18.E19.E20.D二、計算題21. 將方程兩端關于x 求導：y+xy'+ey?y' -cos(xy2)(y2+2xyy')=02分即(x+ey-2xycos(xy2)y'=y2cos(xy2)-y3分y2cos(xy2)-y得y'=4分x+ey-2xy

20、cos(xy2)22. 曲線在 x=0,x=1 處連續(xù)，故有 c=11分a+b+c=1曲線在 x=0,x=1 處可導，故有b=13分2a+b=-1解得 a=1,b=1,c=1曲線方程y=-x2+x+14分23. 解法一：1 1-x-11-xy=()xlny=-ln1+xx 1+x1分 -(1+x)-(1-x)11-x(1+x2)lim - In=lim =-23分 x0 x1+xx-01-x1+x1-x x.lim =e-24分x01+x解法二：111-x-2x -lim (-)x =lim (1-)x分x0 1+xx-01+x1+x-22x 2分=lim (1) -2x1+xx01+x=e-

21、2 4分解法三：11 lim (1-x)x1-xx-026.X=A-1 B1分lim (-)x2分x-0 1+x1-lim (1+x)xx-0=e-24分24. x x2exdx= / x2dex=x2ex - 2 / exxdx2分=x2ex- 2 x xdex=x2ex-2(xex- f exdx)3分=x2ex-2(xex-ex)+c4分25.y'=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)=01根為x=-(舍去), x=1.x |0,1)|1| (1,2 -|1|-y' |-|0|+|y | J |極小值| T2分極小值是y|x=1=0, 3分在區(qū)間端點處，y|x=0=1

22、,y|x=2=3,最大值是3,最小值是00| 11 |I -1 T-1| 22 |A = | 010|3分| 11 |-0- | 22 | 1| -1| 2X = | 01| 1|-0| 21 |- | -2 | | 2 | 1 |0 | | 3 | = | 31 | | 6 | 2 |- | -2 |1-2|1+n | a|0 a 00 | a|0 0a|27.Dn=a |+(-1)|2分|1000a |a |1000 |=an+(-1)n+1(-1)nan-23分=an-an-228.解:1-23-443-44 |01-11-3 |01-1(AB)= |-I | 1001| 00001-3 |30-31 |-26 |-731-3 |00 | 2分|x1-x2x2+3x3=4+4x4同解方程組為x2-x3=-3-x43分x1=