2010年考研數(shù)學(xué)三真題及答案解析

1、僅供個人參考2010年考研數(shù)學(xué)三真題一.選擇題11 V 一.1 .若 lim- -(- -a)e =1則2 = x o x xA0 B1 C2 D32 .設(shè)y1，y2是一階線性非齊次微分方程y'+ p(x)y = q(x)的兩個特解，若常數(shù) Z,k使7斗+Ny2是該方程的解，九y1 - Ry2是該方程對應(yīng)的齊次方程的解，則A -=-22C 1=一3For personal use only in study and research; not for commercial use22D '=-,'33.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)具有二階導(dǎo)數(shù),且 g "(x) &

2、lt;0.若 g(x0) = a 是 g(x)的極值，則 f(g(x)在 x0取極大值的一個充分條件是For personal use only in study and research; not for commercial useA f (a)：二0 B f (a) 0 C f (a)：二 0 D f (a) 0x4 設(shè) f (x) =ln10 x, g(x) =x, h(x) =e10 則當(dāng) x 充分大時有Ag(x)<h(x)<f(x)Bh(x)<g(x)<f(x)For personal use only in study and research; not

3、for commercial useCf(x)<g(x)<h(x)Dg(x)<f(x)<h(x)5設(shè)向量組1：口1,汽2,，可由向量組II ： A, 2,，Ps線性表示，下列命題正確的是:A若向量組I線性無關(guān)，則r <s B若向量組I線性相關(guān)，則r>sFor personal use only in study and research; not for commercial useC若向量組II線性無關(guān)，則r <s D若向量組II線性相關(guān)，則r>s6 .設(shè)A為4階實對稱矩陣，且 A2 +A = 0 ,若A的秩為3,則A相似于1'1A11

4、01'1B-1<0>不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use0,x<07 .設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)F(x)=<1,0Mx<1 ,則P (X=1)=2J -e”,x >1A0 B1 C1 -e1 D1-e，228.For personal use only in study and research; not for commercial use 9.10.設(shè)f（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度，fz（x）為-1,3上均勻分布的概率密度，若"

5、;af1(x),x <0f(x) = 3(a >0,b<0)為概率密度，則a,b滿足：bf2 (x), x 至 0A2a+3b=4B3a+2b=4Ca+b=1 Da+b=2二.填空題11 .For personal use only in study and research; not for commercial use12 .x y t2xdy13 .設(shè)可導(dǎo)函數(shù) y=y(x),由方程e 出=xsin t dt確定，則 一x=0= 00dx114 .設(shè)位于曲線y= /(e，x = ")下萬,x軸上萬的無界區(qū)域為G,則G繞xx(1 ln2x)軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的

6、體積為 315 .設(shè)某商品的收益函數(shù)R(p),收益彈性為1 +p ,其中p為價格，且R(1)=1，則R(p)=16 .For personal use only in study and research; not for commercial use17 .32. 一，一.18 .右曲線 y=x +ax +bx+1 有拐點(-1,0)，貝U b=19 .設(shè) A, B 為 3 階矩陣，且 | A =3, B| =2, A” +B =2,則 A+B，=20 .For personal use only in study and research; not for commercial use21

7、 .22 .設(shè)nX1,X2，X3是來自總體N（N尸2）（。A0）的簡單隨機樣本。記統(tǒng) 計量T=l£ X2i, n y貝 UET =三.解答題 1123 .求極限lim (xx 1)市X二24 .計算二重積分JJ(x + y)3dxdy ,其中 D 由曲線x = Ji+y2與直線Dx + V2y = 0及x V2y = 0圍成。25 .求函數(shù)u=xy+2yz在約束條件x2 +y2 +z2 = 10下的最大值和最小值。26 .1.n ,1(1)比較J lnt ln(1+t)】dt與31討15=12，,)的大小，說明理由。(2)記 Un = ( In t ln(1 +t) n出(n =1,

8、2,)，求極限 |imun.19 .設(shè)f(x) 在 0,3上連續(xù)，在 (0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且22f(0)= o f(x)dx = f(2) f(3)(1)證明：存在w(0,2)，使f)= f(0);(2)證明：存在 之w(Q3)，使f “(與=020p011 7a'設(shè)慶=0九-1 0 ,b = |1已知線性方程組Ax =b存在2個不同的解。U13lb.(1)求九、a.(2)求方程組Ax=b的通解。0-1 4、21 .設(shè)A = |-13 a ,正交矩陣Q使得QTAQ為對角矩陣，若Q的第一列為I4 a力3(1,2,1)T ,求6a、Q.22 .設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 f

9、 (x, y) = Ae"x 他xy-y , -°° < x < +a0,-°° < y <求常數(shù)A及條件概率密度fY|X (yx).23 .箱中裝有6個球，其中紅、白、黑球的個數(shù)分別為1, 2, 3個。現(xiàn)從箱中隨機地取出2個球，記X為取出的紅球個數(shù)，Y為取出的白球個數(shù)。(1)求隨機變量(X,Y)的概率分布；(2)求 Cov (X,Y ).2010年考研數(shù)學(xué)三之答案與解析答案：CABCADCA2 冗9.-110.411；(p3 q pe312.313.314.02 +，2三解答題15 .解:ln xxln(e -1) l

10、im -x ,二 ln x=limln xxe xln xln x父-1ln xxln x 八二，0,x故limx二xln(e -1)ln xex=lim 一 xln x1 - ln x 1 - ln x )二 lim 二-1 x x.二 ln x1lim (xx x16 .解：322332原式二ii(x 3xy 3x y y )dxdy = (x 3xy )dxdy1 y =20dy 2yD2 Q 1111(x 3xy 肋也。2y 一“網(wǎng) 30(y 一丫必141517.設(shè) F (x, y, z, ') = xy 2yz -；(x2 y2 z2 -10)Fx'=y+2 兒x=0

11、人F；=x+2z+2£y =0目令y ,， y ，最可能的最值點Fz =2y 2z=0F. = x2 y2 z2 -10 = 0A(1, .5,2), B(-1, 5,-2),C(1,- .5,2), D(-1,- 5,-2), E(2、. 2,0,-、2), F (-2.2,0,、. 2).因為在A, D兩處u =5啟;在B,C兩點處u =-5石；在E, F兩點處u = 0。所以 Umax =5、5，Umin18.= -5 5解：(1)當(dāng) 0 4t <1,v ln(1 +t) <t,A|lntln(1+t)n <tn Int,因此，(lntln(1 +t)ndt

12、< (tnlntdt.11(2)由(1)知0 WUn = 1|lntln(1+t) dt < (t lnt1-tndt.1111lntdt = tnlntdt =tndt =.n+V°(n + 1)21 n lim t lnt n)二二019.dt =0,從而 lim un =0n )二證:(1)設(shè)F(x)=0 f(t)dt(0MxW2)MUL f(x)dx = F(2) F(0).根據(jù)拉格朗日中值定理，存在。w (0,2),使F(2)-F(0)=2F')= 2f0),即 0 f (x)dx=2f3)由題設(shè)知 0 f(x)dx = 2f(0),f(n)= f(0)

13、.f(2) f(3)介于f(x)在2,3上的最小值與最大值之 間，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介 值定理,存在 Uw2,3,使f(，)=f(2) f(3)由題設(shè)知 f (2)* f(3) = "0)，故f() = f(0).2由于f (0)= f(“)= f (，),且0。，W3，根據(jù)羅爾定理，存在4亡(0,2 2 w(",，)，使 f居)=0, f 仁)=0，從而存在"(2)=(0,3)，使得 f "。=020.解:(1)設(shè)7戶2為Ax=b的2個不同的解，則2-I是Ax = 0勺一個非零解，故A =(九一 1)2(九+1) =0,于是九=1或九=-1當(dāng)兒=1時，因為

14、r(A) #r(A,b),所以Ax = b,舍去。當(dāng) =-1時,對Ax =b的增廣矩陣施以初等行 變換-1(A,b) = l 0I11-2110-1-1003212a 2Ax =b有解，.a - -2(2)當(dāng)九=1,a = 2時，-1003212 0所以Ax = b的通解為x = ； -1 +k 0，其中k為任意常數(shù)21解：由題設(shè),(1,2,1)T為A的一個特征向量，于是0-14-1 4 Yi 72 =2 2 ,斛得 a = 1,= 2.0A1J由于A的特征多項式 佚E A =(1-2)(%-5)(1+4), 所以A的特征值為2,5,。.1屬于特征值5的一個單位特征向量為，(1,-1,1)T;

15、. 3屬于特征值_4的一個單位特征向量為二(-1,0,1)222.1,6 2.6 1,61.31.31. 32解：13 fx (x)x2 .二=Ae e-=O-he則有QTAQ =一4.，故Q為所求矩陣。= J-f (x, y)dy =A_2x2 2xy-y2dy 二 A 一二/、2：-(y-x) -x e2dy，yx dy =A .二 e=，-二：x :二,所以 1 =fx (x) dx 二 A 二.二2-xe1dx = A71,從而 A = . JT當(dāng) x(*,+)時,fYX(yx) =1-2x2 2xy 一y2f(x,y)二 efx(x)1 幺，二 e1y/H_x2：Mxy _y2 e2

16、 e4 y) , - ： ：: y .；：.Jur23.解:(1)隨機變量(X, Y)的概率分布為:XY01201/52/51/1511/52/150(2)212因為 PX =0 = ,PX =1=,所以 EX =0父333281因為 PY =0 = ,PY = 1 = , PY = 2=,515152812所以，EY=0m 十"一+2父一=.又 E(XY) =51515 32 1 2所以 Cov(X ,Y)= E(XY) - EX EY 二一一1544515 3 3僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerzie