人教A數(shù)學(xué)必修5高中同步測試卷(十)單元檢測基本不等式

1、高中同步測試卷（十）單元檢測基本不等式（時間：120分鐘，滿分：150分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的 ）1.若 a, bC R,且ab>0,則下列不等式中，恒成立的是（）A. a2+b2>2ab B.一 112“2強cw+e標D.b+b>22.若士的最小值是（A. 02 .aB. 2C.0T D. 33.若x > 0, f(x) =12 + 3x的最小值為xA. 12 B. 12 C. 6 D. 6一，.x一一 ,八一4.函數(shù)y=x 1 2 （0vx<2）的最大值是11A.4 B.2 C

2、. 1 D. 25.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元.若每批生產(chǎn) x件，則平均倉儲時間為x天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元,8用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品（）為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費A. 60 件6.點(x,B. 80 件 C. 100 件 D. 120 件y）在直線x+3y 2=0上移動時，z= 3x+27y + 3的最小值為（）A.11 B. 3+ 2m C. 637.某工廠第一年產(chǎn)量為A,D. 9第二年的增長率為a,第三年的增長率為 b,這兩年的平均增長率為x,則（A a+ bA. x= 2a a+b - a+bC. x> 2 D. x>

3、28.已知正數(shù)1 1一a, b滿足4a+b=30,使得二十 ；取最小值的實數(shù)對（a,坊是（）a bA. (5, 10)B. (6, 6) C. (10, 5) D, (7, 2)9.不等式(x+y) (x+ ay)xy>9對任意正實數(shù)x,y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為（）精選A. 2 B. 4 C. 6 D. 810.已知 x>0, y>0,且A. 16B. 25 C. 9x+ y = 8,則（1+x）（1+y）的最大值為（）D. 3611.若x, y是正數(shù)，則1 2x+ +2y1 2y+2x的最小值是（）79A. 2 B.2 C. 4 D.212 .給出下列語句：若 a,

4、b 為正實數(shù)，awb,則 a3+b3>a2b+ ab2；若a, b, m為正實數(shù)，avb,則amv：; b + m b若亳>±則a>b;一冗.2一 當(dāng)xc 0, 2時,sin X +而的最小值為2©其中結(jié)論正確的個數(shù)為()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3題號123456789101112答案、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上)13 .已知 x>0, y>0, lg x+lg y=1,貝U z= x+5的最小值為 .414 .函數(shù)f(x)=lg x+ 3(0vxv1)的最大值是 ,當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等lg x

5、15 .若對任意x>0, 2 ：wa恒成立,則a的取值范圍是 .x '3x 1c 6416 .已知a>b>0,則a2+-取最小值時 b的值為.b (a b)三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)417 .(本小題滿分 10分)(1)已知x>0,求y=2x 的取大值；x.1 。(2)已知x>2,y=x + 一；的最小值；x 2已知0vxv1,求y = 1x(1 2x)的最大值.18 .(本小題滿分12分)過點P(2, 1)的直線l分別交x軸，y軸的正半軸于 A, B兩點, 求4AOB的面積S的最小值.2x y+ 2&g

6、t; 019 .（本小題滿分12分）設(shè)x, y滿足約束條件8x-y-4< 0,若目標函數(shù)z= ax+by（a>0,x>0, y> 0b>0）的最大值為8.1 1 .（1）求+ b的取小值；（2）求a2+ 16b24ab的最小值.20.（本小題滿分12分）?；~塘是某地一種獨具地方特色的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)形式，某研究單位打算開發(fā)一個?；~塘項目，該項目準備購置一塊1 800平方米的矩形地塊，中間挖出三個矩形池塘養(yǎng)魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍 （陰影部分所示）種植桑樹，池塘周圍的基圍寬均為2米，如圖,設(shè)池塘所占的總面積為 S平方米.試用x表小S;（2）當(dāng)x取何值時，才能使

7、得 S最大？并求出S的最大值.21.（本小題滿分12分）是否存在常數(shù)c,使得不等式區(qū)二十備忘舊危+2人對任意正實數(shù)x, y恒成立？證明你的結(jié)論.22.(本小題滿分 12 分)若函數(shù) f(x) = tx2(22t+60)x+ 144t(x>0).(1)要使f(x)>0恒成立，求t的最小值；(2)令f(x)=0,求使t>20成立的x的取值范圍.參考答案與解析1 . 【解析】 選D.特值法：取a=b=1可排除A、B、C選項.1,1.2 .【解析】 選 D.因為 a > 1 ,所以 a - 1 > 0 , a + 一1 = (a 1) + 一1 +1>21 (a1)

8、 +1 = 3,當(dāng)且僅當(dāng)a- 1 =,即a=2時，等號成立，故選 D.Ya-1a-13.【解析】選A.因為x>0,所以 f(x)=+ 3x>2 A/X 3x= 12, xx當(dāng)且僅當(dāng)=3x,即x= 2時取等號. x_x .4.【解析】 選B.因為0vxv2,所以0V1 2<1,x x . x ,所以 y = x 12 =2, 12 v+1 2 1x x2 22 =2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1 2,2即x= 1時，等號成立，故選B.5. 【解析】 選B.因為生產(chǎn)x件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和為800+2.x,8所以平均每件費用1 2800+ 8x2片x 800、=8+h20，當(dāng)且僅當(dāng)

9、x=8008 x即當(dāng)x=80 件時,ymin=20.6 .【解析】選D.因為x+3y=2, 所以 z=3x+33y+3>2X>/3 +3 =2相+3= 9., 一 . .一1，一，.一當(dāng)且僅當(dāng)*=3丫即*=1, y = 1時取等號.3a+ b22,所以x<a+ b21+ a+ 1 + b27 .【解析】選 B.A(1 + x)，b 4a 3305+2avb 4a一=1，a=5, 當(dāng)且僅當(dāng)a b 即時等號成立.故選 A.b= 104a + b= 30, = A(1 + a)(1 + b),從而(1+x)2= (1 + a) (1 + b)w(x+y) ( x+ ay)x2 +

10、(a+1) xy+ay29.【解析】 選B.-=xyxy= a+1 + xa+1xy+ 2= (Va+ 1)2,當(dāng)且僅當(dāng)x=，ay時等號成立,(x+ y) ( x+ ay)所以 -的最小值為xy(Va+1)2,于是(4a+1)2> 9恒成立，所以a>4,故選B.10.【解析】選 B.(1 +x)(1 +y)<(1 + x) + ( 1 + y)22+ (x+ y)22+82_. .111111b 4a8【解析】選 A.a+b=30a+b(4a+ b)=304+1+;+T因此當(dāng)且僅當(dāng)1 + x=1 + y即x=y=4時，(1 + x)(1 + y)取最大值25,故選B.2211

11、 .【解析】選 C. x+ 2y + y+2x = x2+4X2 + y2+ 4y + y > + 1 + 2= 4.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=¥時，式子取彳#最小值 4.12 .【解析】選C.本題中作差變形后可得：a3+b3 a2bab2=(ab)2(a+b),由于a,b為正實數(shù)，awb,所以(a b)2(a+b)>0,即正確；對于用賦值法很容易判斷其錯誤， 如a=1, b=2, m=1,符合條件但結(jié)論不正確；對于，利用不等式的性質(zhì)，在不等式兩 邊同時乘c2,不等號的方向不改變，故正確；對于，利用基本不等式成立的條件“一正， 二定，三相等”的第三點不成立，取不到“="，

12、故錯誤.綜合得正確的有，兩個， 從而選C.13 .【解析】由已知條件lg x+ lg y= 1,可得xy= 10.2+? > 2、悝=2, x y xy故2+5最小值=2,當(dāng)且僅當(dāng)2y =5x時取等號.又xy=10,即x= 2, y= 5時等號成立.【答案】214 .【解析】因為0vxv1,所以lg x<0,所以一lg x>0,44f(x)=lg x+嬴= (lg X)+V7& _ 27(Tg x)系=_ 4.一，4當(dāng)且僅當(dāng)一lg x=.一,lg x即lg x=及時，取.1又因為lg x<0,所以lg x= 2,此時x=標.1001x15【解析】因為x>0

13、,所以x+x>2(當(dāng)且僅當(dāng)X= 1時，等號成立)，所以x2732+315'1x+1+3x即x的最大值為一 1故舊5.一 1【答案】5, +82216.【解析】 因為a>b>0,所以0vb(ab)w 2 =寧，當(dāng)且僅當(dāng) b = ab,即b= 2時等號成立，所以64、64X4 256 crn, 264bT口T丁所以 a2+b7Ka2+岑a2 - 256-= 32,當(dāng)且僅當(dāng)【答案】2a1 2=256,即a= 4時等號成立，此時 b = a=2.a24、,17.【解】(1)因為x>0,所以x+->4,x所以 y=2- x + 4 <2-4=- 2,x所以當(dāng)且

14、僅當(dāng)x= 4(x>0),x1(x-2) +即 x = 2 時，ymax= 2.(2)因為 x>2,所以 x-2>0,所以 y=x + x12=x 2+x12 + 22,2= 4.所以當(dāng)且僅當(dāng) x 2="(x>2),即 x=3 時，ymin = 4.x 2111 2x+1 -2x 當(dāng)且僅當(dāng) 2x= 1 - 2x 0<x<2 ,1 ll -(3)因為 0vx<2，所以 12x>0,所以 y=4x 2x - (1 -2x)<- 2 =,所以即x=1，ymax=16.18 .【解】設(shè)直線l的方程為y1 = k(x2)(顯然k存在，且kw

15、0).令 y=0,可得 A 2-7, 0 ； k令 x=0,可得 B(0, 1 2k).因為A, B都在正半軸上,1所以 2>0 且 1 2k>0,可得 k<0. k'1所以4AOB = 2|OA| |OB| =112 2k (1 2k)4k2+4k11=-2k+-7+22k2k+ 2= 4,，一.， 一 1 一 1 一當(dāng)且僅當(dāng)k2= 4,即k=2時，S/xaob取得取小值4.19 .【解】作出不等式組表木的平面區(qū)域，如圖，作直線 lo： ax+ by=0,平移lo,由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點A(1, 4)時，zmax= ax+by= a+4b= 8.因為 a>0,

16、 b>0,則 1+1=1(a+4b) 1+1 =1 5 + 岑 + ； - 5+2Pb-a =1(5 + a b 8a b 8 a b 8a b 8204)=8' '當(dāng)且僅當(dāng)4b=a=2,即a = 8, b=3時取等號， a b33一 1 1 . 一 ， ，9所以1+1的最小值為9. a b8(2)因為 a+4b= 8, a>0, b>0,所以 a+ 4b>2a - 4b = 4/ab,所以ab< 4.pl上 o 9(a+4b) 2又因為 a2+ 16b2>-一2= 32,所以 a2+16b2-4ab>32-16=16,當(dāng)且僅當(dāng) a=4

17、b=4,即 a=4, b=1 時取等號，所以a2+16b24ab的最小值為16.20. m (1)由題圖可知，3a+6=x,所以a=x 63則總面積 S= 18004 - a+2a 1800-6a 5400_ 16 x-6 5400_16 x3 x10 800 . 16x=1 832 + 工-,x 3 '口口 c . ccc 10 800 , 16x即 S=1 832 x+-3- (x>0).10 800 16x(2)由 S= 1 832 x+ -3-，得 S<1 832210 800 v 16xx=1 8322 X 240= 1 352.當(dāng)且僅當(dāng)電曬=皿，即x= 45時等

18、號成立. x 3即當(dāng)x為45米時，S最大，且S的最大值為1 352平方米.21. m 當(dāng)x=y時，由已知不等式得 c=2.下面分兩部分給出證明:3此不等式？3x(x+ 2y) + 3y(2x+ y)< 2(2x+ y)(x+ 2y)? 2xy<x2+ y2,此式顯然成立.(2)再證y>2,此不等式？ 3x(2x+y)+3y(x+ 2y) > 2(x+ 2y)(2x+ y)x+2y 2x+y 3? x2+ y2>2xy,此式顯然成立.綜上可知，存在常數(shù)c= 2,使得不等式- + y<c<+y對任意正實數(shù) x, 32x+ y x+2yx+ 2y 2x+yy恒成立.22. 【解】(1)因為x2-22x+ 144>0,所以要使不等式 f(x)>0恒成立，即tx2(22t+60)x+ 144t>0(x>0)恒成