2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江省預(yù)賽高三數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江省預(yù)賽高三數(shù)學(xué)試題一、填空題1 1= 一-；1 .已知a為正實(shí)數(shù)，且 “1是奇函數(shù)，則的值域?yàn)?【解析】【詳解】第6頁共8頁1111 1 1 =- - + f（x）=-由?。槠婧瘮?shù)可知a - + 19+ 1,解得a= 2,即 2 2、由此得f（x）的值域?yàn)?2 2.20182%1.3 ) 鼻二1 3- 5a +12.設(shè)數(shù)列 南滿足一 ，n*i- a (n=1, 2,)，則 n = 152019 8077【答案】16 16【解析】【詳解】1 / 八 +二5皆十1小二1+5阿+1=%由44所以2018V Lu1-2c201S=不5 +5 +. + S20185 xc

2、20181t=行 口-162018 S201907 71616(3n 小 4風(fēng)0 E cos(a + p)=3.已知 4,56【答案】I 4.J 13,則【解析】【詳解】% E (彳再)孫3 +位二Mi 7Tcosp + I = cos (a + 所以sin(a + B)，得.J71 a 4加索-3亡叫cr 一:6二 13,566556故答案為：.4.在八個數(shù)字2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13中任取兩個組成分?jǐn)?shù).這些分?jǐn)?shù)中有個既約分?jǐn)?shù).【答案】36【解析】【詳解】在7, 11, 13中任取一個整數(shù)與在 2, 4, 6, 8, 12中任取一個整數(shù)構(gòu)成既約分?jǐn)?shù)，共有3 5 種；在

3、7, 11, 13中任取兩個整數(shù)也構(gòu)成既約分?jǐn)?shù)，共有A3,6中.合計(jì)有36種不同的既約分?jǐn)?shù)./ 1 2018 + (1/01S _5,已知虛數(shù)z滿足P+1=Q,則上 H .【答案】I【解析】【詳解】12018 上 r , 372 2.1 之上/ 1 2018 + ( 1 JOIS _ 工 ,1 _(Z)-_ . . I _ 1I? - 1 lz _ 1_ t 2,2018 - t 3,1345 _ z -所以.6 .設(shè)明=1。.若平面上點(diǎn)P滿足，對于任意的:有APTAB|豈M ,則PA-PB的最小值為 ,此時士晶=.【解析】【詳解】由麻可知點(diǎn)p到直線AB的距離為3.設(shè)AB的中點(diǎn)為O.由極化恒等

4、式得： - 1 、 . 、 、 1 1PA PB = j(PA + PB)2 - (PA - PB 二 (2PO產(chǎn) 107之-36 - 100 =- 16.此時：;7 .在4ABC中，AB+AC=7且三角形的面積為 4,則sin/A的最小值為 ,【解析】【詳解】49AB + AC = 7n4B x AC AB = AC =-2時取等號8 .設(shè)月*) = 1| +計(jì)斤2|,則須x) + l = O有 個不同的解.【答案】3【解析】【詳解】-x - 31 K M-1因?yàn)閒(x) = |x + 1| +-1 x 03x - L 0 x 2由f(f)+ 1 =。得到f(M = 2,或f=0.1x =-

5、由f(x)=-2,得一個解*=-1；由f(x)二。得兩個解k=-3,共3個解.9 .設(shè)K V E R滿足乂-6g宿+ 12=0 ,則x的取值范圍為 .答案口【解析】【詳解】由 .也-3 = 12 + 85砌+ (3 + Sin。) = 14 * J525in(8 + 40(5in中所以I；.10 .四面體P-ABG PA = BC = 6,PB = AC =黃，PC = AB = g則該四面體外接球的半徑為【解析】【詳解】將四面體還原到一個長方體中，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為a, b, c,+ t? = 10I b2 + c2 = 8+ b2 + c2 = 12,所以四面體外接球的半徑為2、

6、解答題*212 2+ V = 1A, B.求11.已知動直線l與圓O: K + =1相切，與橢圓9相交于不同的兩點(diǎn) 原點(diǎn)到AB的中垂線的最大距離.【解析】【詳解】=1依題意可設(shè)l: Y =立+巾化工。）因?yàn)橹本€l與圓O相切，所以，O到直線l的距離為1,即這樣的直線必與橢圓交于不同的兩點(diǎn)叫力）,t v = kx + m, ,聯(lián)立年+9六9二18km得(l + 9k 拉 +18kmx + (9m - 9) = 0，得至l-9k9km所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 1 +弘1 + 9km 19 kmV=* T* +)AB的中垂線方程為l + 9k卜1 + 9k8kmx + ky += 0O到直線中垂線的距離8

7、km將代入由均值不等式,Skm1 + 9k2 d =l + 9k2 d =,1 + 9k2s6k|“k得l + k一岡二一m,當(dāng)且僅當(dāng) 三時取等號10時,原點(diǎn)到AB的中垂線的最大距離為, c 幾 a E R12.設(shè)max x7 + ax + b| i 1,且對任意實(shí)數(shù)b均有也”，求a的取值范圍.【解析】【詳解】解 1: f= X，+ ax + b,對于 |b| I=|f| 之 1,所以只要考慮.a=一40(1)當(dāng)2 時，即3蘭此時函數(shù)f“)的最值在拋物線的左右端點(diǎn)取得，對任意 也有f(l) l + a + b f =b，所以 f(l) = l + a + bil解得a 10 Q - W (2)

8、當(dāng) 工2時，即-1日0,此時函數(shù)f(x)的最值在拋物線的頂點(diǎn)和右端點(diǎn)取得， 而對b=0有,口)1邛+司彳1, I 2J 41 a一_1(3)當(dāng)2之時，即 21時，此時函數(shù) M的最值在拋物線的頂點(diǎn)和左端點(diǎn)取得，2=|4 1而對b=0有f廠制214.a=_ 1(4)當(dāng)之 時，即32,此時函數(shù)*x)的最值在拋物線的左右端點(diǎn)取得，對任意現(xiàn)(1有 f| = |切1,所以f(l) = l + a + b-l,解得”3.綜上或 max |x7 + ax + bl 1解2：設(shè)乂印訓(xùn)，則有加訓(xùn)，m“l(fā) + ”b尸2m或十|l + a + b3l + a依l + a| 題意，2,或土201S1 4nX X XA

9、x13.設(shè)實(shí)數(shù) x1, x2,，x2018滿足 n+1 n(n=1, 2,，2016)和,證明：V V 1證明：由條件n 2同號反證法，假設(shè)1009 1010.X XX X(1)若 如 I。1。同為正數(shù)，由“同號可知Xi, X2,，X2018同號.Xn +2 *1009 X10I0 mw宣 H 1 a1009a1010 - A1011A1008 A1011A1008,X1009 X1009 X1DO0 X1011 X1012 X1012W - K1007K1012 1同理類似可證明：K10O6X1013 1, 州5*10141 ,，算也018 ”.2018ni 因此口=i ,矛盾.VVV X(

10、2)若 T 2W同為負(fù)數(shù)，由12同號可知xi, X2,，X2018均為負(fù)數(shù)，仍然有工Kn+1 +24 力=& 1 nn*Zn iI,類似（1）可證得.14.將2np3 2）個不同整數(shù)分成兩組 ai a2 ，an； bi b2,，bn.證明:1 j n【答案】見解析【解析】【詳解】Tn= lai - bjl - 眄間+ |b叫1 n1 i ） n證明：令下面用歸納法證明 當(dāng) n=2 時，不妨設(shè) aia2, bi b1=T2 =% + % + % ) 2假設(shè)對正整數(shù)n成立，對正整數(shù) n+1, a不妨設(shè) ?b, a , b, 再設(shè)k rt + 1 I、則有：nnnTn + i力6+司+ 瓦+1* -

11、工|%+力 i = li= 1i=ln-lbn + l- bi| + lbn-H-an + l| +Tn2瓦+ r ail +川一2味小Zh小廠小0下證由(1) 與 1 Qi = 1i5li_1i = lisk+1(2)若%*】0,則 nnnnn2瓦+ i小2舊1 1飛卜2瓦+ 1-司-力-訃工出3+。j = ii =1j = ij iis 1.15.如圖所示將同心圓環(huán)均勻分成n(n-3)格.在內(nèi)環(huán)中固定數(shù)字 1n.問能否將數(shù)字1n填入外環(huán)格內(nèi)，使得外環(huán)旋轉(zhuǎn)任意格后有且僅有一個格中內(nèi)外環(huán)的數(shù)字相同？j 1=n-2, jn-1 = n-4, j3= n-6, ，第7頁共8頁【答案】見解析【解析】【詳解】設(shè)對應(yīng)于內(nèi)環(huán)1, 2,，n的外環(huán)數(shù)字為ii, i2,，in,它是數(shù)字1, 2,，n的一個 排列.對k=1, 2,，n,記外環(huán)數(shù)字ik在按順時針方向轉(zhuǎn)動jk格時，和內(nèi)環(huán)數(shù)字相同， 即i, - k = j, rriodn,k=1, 2,，n.根據(jù)題意，j1，j2,，jn應(yīng)是0, 1, 2,，n-1的排列.求和n