立體幾何及向量總結(jié)

1、龍文教育個(gè)性化輔導(dǎo)授課案教師： 學(xué)生： 時(shí)間： 年 月 日 段一、授課目的與考點(diǎn)分析：立 體 幾 何 及 向 量 內(nèi) 容 總 結(jié)二、 授課內(nèi)容知識(shí)精要：1、 平面及其基本性質(zhì)：公理一：如果一條直線(xiàn)有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)都在該平面內(nèi)；作用：判定一條直線(xiàn)在平面內(nèi)的依據(jù)；結(jié)論Û平面過(guò)直線(xiàn)Û直線(xiàn)在平面內(nèi)公理二：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面有且僅有一條過(guò)這點(diǎn)的公共直線(xiàn)；作用：判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)；公理三：經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面；推論：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面；推論：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)有且僅有一個(gè)平面；推論：經(jīng)過(guò)兩條

2、平行直線(xiàn)有且僅有一個(gè)平面；作用：確定平面的依據(jù)；2、 空間直線(xiàn)和平面：空間兩直線(xiàn)直線(xiàn)與平面平面與平面位置關(guān)系相交平行異面在平面內(nèi)平行相交平行相交記號(hào)異面公共點(diǎn)唯一無(wú)無(wú)窮多個(gè)無(wú)唯一無(wú)無(wú)窮多個(gè)3、 平行關(guān)系（重要結(jié)論）：公理四：平行于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行；()如果一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面，過(guò)這條直線(xiàn)的平面與這個(gè)相交，則這條直線(xiàn)與交線(xiàn)平行()兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面相交，交線(xiàn)平行；()垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行；（）若一個(gè)平面外的一條直線(xiàn)與這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則這條直線(xiàn)平行于這個(gè)平面；()若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面；()一個(gè)平面與這個(gè)平面外的一條直線(xiàn)垂直于同一平面，則這個(gè)

3、平面與這條直線(xiàn)平行；（）若一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)平行于一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；()平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；()垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行；（）4、 垂直關(guān)系（重要結(jié)論）：如果兩條直線(xiàn)所成的角為，則這兩條直線(xiàn)垂直；若一直線(xiàn)垂直于一平面，則這條直線(xiàn)垂直于該平面內(nèi)任一直線(xiàn)()若平面內(nèi)一直線(xiàn)垂直于斜線(xiàn)在該平面內(nèi)的射影，則這條直線(xiàn)垂直于該斜線(xiàn)；(，平面的斜線(xiàn)在內(nèi)的射影是，)若平面內(nèi)一直線(xiàn)垂直于平面的斜線(xiàn)，則這條直線(xiàn)垂直于該斜線(xiàn)在該平面內(nèi)的射影；(，平面的斜線(xiàn)在內(nèi)的射影是，)如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)都垂直，則這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面；()兩平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于

4、該平面；()兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面；()一條直線(xiàn)垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線(xiàn)也垂直于另一個(gè)平面；()兩平面所成的二面角是直角，則這兩個(gè)平面垂直； 若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直；（）若一個(gè)平面垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則也垂直于另一個(gè)；（）5、 空間中的角（關(guān)鍵是構(gòu)造三角形或利用空間向量的數(shù)量積）：異面直線(xiàn)所成的角：轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)所成的銳角或直角（構(gòu)造三角形）；范圍線(xiàn)面角：斜線(xiàn)與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，垂直時(shí)為直角，在平面內(nèi)或平行時(shí)為零角，取值范圍是；（解決的關(guān)鍵是找到直線(xiàn)在平面內(nèi)的射影）二面角：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面組成

5、的幾何圖形，用其平面角度量；平面角的作法：定義：在棱上任意取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線(xiàn)；在棱上任意取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)作棱的垂面，得兩條交線(xiàn)（射線(xiàn)）所成的最小正角；當(dāng)已知一個(gè)半平面的垂線(xiàn)時(shí)，可用三垂線(xiàn)定理或其逆定理作。6、 空間中的距離（構(gòu)造三角形或利用空間向量的模）：點(diǎn)到平面的距離（也可用等積法）.7、 空間中的面積和體積的計(jì)算：關(guān)鍵要記住公式，特別是公式中的系數(shù)，找到相應(yīng)的元素.8、 多面體的概念和性質(zhì)（棱柱中的矩形、正棱錐中的兩個(gè)直角三角形、正棱臺(tái)中的兩個(gè)直角梯形；平行于底面的相似或全等的多邊形）.9、 向量(平面向量和空間向量)：既有大小，又有方向的量；向量的運(yùn)算：加法、減法（平行

6、四邊形、三角形法則）； 實(shí)數(shù)與向量的乘積：，同向；，反向；，零向量；模為 向量的數(shù)量積(內(nèi)積)：(為和的夾角)；變式： 數(shù)量積(內(nèi)積)的幾何意義：與在所在直線(xiàn)上的投影的乘積；向量的坐標(biāo)運(yùn)算：，則；存在，使（空間向量類(lèi)似）重要結(jié)論：；向量共線(xiàn)（平行）的充要條件是存在使得向量共面的充要條件是存在使得一、 例題選講：AVECBF1. 兩條異面直線(xiàn)所成的角為，過(guò)空間中一點(diǎn)作與這兩條異面直線(xiàn)都成角的直線(xiàn)可作多少條？2. 在側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐中， = = = 。若過(guò)點(diǎn)的截面，交于，交于，求截面周長(zhǎng)的最小值。3. 有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為。用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能

7、的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則的取值范圍是_。4. 已知：，且，其中。 用表示； 求的最小值，并求此時(shí)的夾角的大小.5. 設(shè)是不平行的兩個(gè)非零向量.(1)若與起點(diǎn)相同，求實(shí)數(shù)為何值時(shí)，向量的終點(diǎn)在一直線(xiàn)上？(2)若, ,，試解關(guān)于的不等式.6. 已知，.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.7. (1)求證：；(2)設(shè)為已知向量，集合，求證：對(duì)中的任意兩個(gè)向量及任意實(shí)數(shù)，總有.8. 直四棱柱中，底面是直角梯形，求異面直線(xiàn)與所成角PABCDOE9. 在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)，平面，與平面所成的角為（1）求四棱錐的體積；（2）

8、若是的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）ED1C1B1A1DABC10. 如圖正方體的棱長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，(1)求異面直線(xiàn)與所成的角；(2)棱上是否存在點(diǎn)，使，若存在，確定的位置，若不存在，說(shuō)明理由；(3)進(jìn)一步探索滿(mǎn)足的點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡；(4)求與平面所成的角；(5)求二面角的大小.二、 鞏固練習(xí)1. 若三棱錐有五條棱長(zhǎng)均為，第六條棱長(zhǎng)為，則僅當(dāng) 時(shí)，三棱錐體積最大2. 給出下面四個(gè)命題：“直線(xiàn)為異面直線(xiàn)”的充分非必要條件是：直線(xiàn)不相交；“直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)所有直線(xiàn)”的充要條件是：平面；“直線(xiàn)”的充分非必要條件是“垂直于在平面內(nèi)的射影”；“直線(xiàn)平面”的必要非充分條件是“直線(xiàn)

9、至少平行于平面內(nèi)的一條直線(xiàn)”其中正確命題的個(gè)數(shù)是 .3. 一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面中有兩個(gè)是等腰直角三角形，另一個(gè)是邊長(zhǎng)為的正三角形，這樣的三棱錐體積可能是 。（只需寫(xiě)出一個(gè)即可）4. 如圖，是四邊形所在平面外一點(diǎn)，是的交點(diǎn)，且平面，當(dāng)四邊形滿(mǎn)足_時(shí)，到四條邊的距離相等(只需填一種正確條件)5. 如圖，在正方體中，分別是正方形和的中心，是的中點(diǎn)，設(shè)與所成的角分別是，則 .6. 如圖幾何體中，底面是矩形，平面，則幾何體的體積 .第5題圖第6題圖第7題圖第4題圖7. 如圖，棱長(zhǎng)為的正方體容器，在棱及對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)各有一小孔，若此容器可任意放置，則該容器可裝水的最大容積是 .ACPBEFD8. 如圖，是底面邊長(zhǎng)為1的正三棱錐，分別為棱長(zhǎng)上的點(diǎn)，截面底面, 且棱臺(tái)與棱錐的棱長(zhǎng)和相等.(棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和)。(1)證明：為正四面體；(2)若, 求二面角的大??；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；(3)設(shè)棱臺(tái)的體積為， 是否存在體積為且各棱長(zhǎng)均相等的直平行六面體，使得它與棱臺(tái)有相同的棱長(zhǎng)和? 若存在,請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。PQSADCB9. 正四棱錐所有棱長(zhǎng)都是，為的中點(diǎn)，如圖，（1）求二面角的大?。唬?）如果點(diǎn)在棱上，那么直線(xiàn)與能否垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由。10. 直三棱柱，底面中，棱，分別是的