導(dǎo)數(shù)中雙變量的函數(shù)構(gòu)造

1、 .wd.導(dǎo)數(shù)中雙變量的函數(shù)構(gòu)造2112分函數(shù)1假設(shè)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；2求證：當(dāng)時(shí)，都有21解：1函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)是單調(diào)函數(shù)，或在上恒成立，即，令，那么，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，那么在上遞減，上遞增，；，即，由得在上遞減，上遞增，又，時(shí)，；綜上可知，或；.6分2由1可知，當(dāng)時(shí)，在上遞減，即，要證，只需證，即證，令，那么證，令，那么，在上遞減，又，即，得證 .12分典例函數(shù)f(x)ax2xln x(aR)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線x3y0垂直(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求證：當(dāng)nm0時(shí)，ln nln m解(1)因?yàn)閒(x)ax2xln x，所以f(x)2axln x1，因?yàn)榍芯€與

2、直線x3y0垂直，所以切線的斜率為3，所以f(1)3，即2a13，故a1(2)證明：要證ln nln m，即證ln，只需證ln 0令x，構(gòu)造函數(shù)g(x)ln xx(x1)，那么g(x)1因?yàn)閤1，)，所以g(x)10，故g(x)在(1，)上單調(diào)遞增由nm0，得1，所以gg(1)0，即證得ln 0成立，所以命題得證1(2017·石家莊質(zhì)檢)函數(shù)f(x)a(x0)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)當(dāng)a0時(shí)，判斷函數(shù)yf(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)假設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1x2)，設(shè)t，證明：x1x2隨著t的增大而增大解：(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)(x0)，f(x)，令f(x)0，得x2，

3、當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)0，yf(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)0，yf(x)單調(diào)遞增，所以x2是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，即函數(shù)yf(x)有一個(gè)極值點(diǎn)(2)證明：令f(x)a0，得xaex，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1x2)，所以x1aex1，xaex2，可得ln x1ln ax1，取對(duì)數(shù)，做差將兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1x2)，用t表示，注意的隱含范圍。ln x2ln ax2故x2x1ln x2ln x1ln又t，那么t1，且解得x1，x2所以x1x2·令h(x)，x(1，)，那么h(x)令u(x)2ln xx，得u(x)2當(dāng)x(1，)時(shí)，u(x)0因此，u(

4、x)在(1，)上單調(diào)遞增，故對(duì)于任意的x(1，)，u(x)u(1)0，由此可得h(x)0，故h(x)在(1，)上單調(diào)遞增因此，由可得x1x2隨著t的增大而增大2(2016·全國(guó)乙卷)函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個(gè)零點(diǎn)(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1x2<2.解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)設(shè)a0，那么f(x)(x2)ex，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)a>0，那么當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又f(1)e

5、，f(2)a，取b滿足b<0且b<ln ，那么f(b)>(b2)a(b1)2a>0，故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)設(shè)a<0，由f(x)0得x1或xln(2a)假設(shè)a，那么ln(2a)1，故當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，因此f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)假設(shè)a<，那么ln(2a)>1，故當(dāng)x(1，ln(2a)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(ln(2a)，)時(shí)，f(x)>0.因此f(x)在(1，ln(2a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)內(nèi)單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)<0，所以f(x)不存在兩

6、個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(0，)(2)證明：不妨設(shè)x1<x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，又f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以x1x2<2等價(jià)于f(x1)>f(2x2)，即f(2x2)<0.由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2，而f(x2)(x22)ex2a(x21)20，所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2.設(shè)g(x)xe2x(x2)ex，那么g(x)(x1)(e2xex)所以當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0，而g(1)0，故當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0.從而g(x2)f(2x2)<0，故x1x2<2

7、.3.函數(shù)f(x)exax1(a為常數(shù))，曲線yf(x)在與y軸的交點(diǎn)A處的切線斜率為1(1)求a的值及函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)假設(shè)x1ln 2，x2ln 2，且f(x1)f(x2)，試證明：x1x22ln 2解：(1)由f(x)exax1，得f(x)exa又f(0)1a1，所以a2，所以f(x)ex2x1，f(x)ex2由f(x)ex20，得xln 2所以函數(shù)yf(x)在區(qū)間(，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增(2)證明：設(shè)xln 2，所以2ln 2xln 2，f(2ln 2x)e(2ln 2x)2(2ln 2x)12x4ln 21令g(x)f(x)f(2ln 2x)

8、ex4x4ln 2(xln 2)，所以g(x)ex4ex40，當(dāng)且僅當(dāng)xln 2時(shí)，等號(hào)成立，所以g(x)f(x)f(2ln 2x)在(ln 2，)上單調(diào)遞增又g(ln 2)0，所以當(dāng)xln 2時(shí)，g(x)f(x)f(2ln 2x)g(ln 2)0，即f(x)f(2ln 2x)，所以f(x2)f(2ln 2x2)，又因?yàn)閒(x1)f(x2)，所以f(x1)f(2ln 2x2)，由于x2ln 2，所以2ln 2x2ln 2，因?yàn)閤1ln 2，由(1)知函數(shù)yf(x)在區(qū)間(，ln 2)上單調(diào)遞減，所以x12ln 2x2，即x1x22ln 24(2017·沈陽(yáng)質(zhì)監(jiān))函數(shù)f(x)x2aln

9、 xb(aR)(1)假設(shè)曲線yf(x)在x1處的切線的方程為3xy30，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)假設(shè)x1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(3)假設(shè)2a0，對(duì)任意x1，x2(0,2，不等式|f(x1)f(x2)|m恒成立，求m的最小值解：(1)因?yàn)閒(x)x2aln xb，所以f(x)x，因?yàn)榍€yf(x)在x1處的切線的方程為3xy30，所以即解得(2)因?yàn)閤1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，所以f(1)1a0，所以a1當(dāng)a1時(shí)，f(x)x2ln xb，定義域?yàn)?0，)，f(x)x，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以a1(3)因?yàn)?a0,0x2

10、，所以f(x)x0，故函數(shù)f(x)在(0,2上單調(diào)遞增，不妨設(shè)0x1x22，那么|f(x1)f(x2)|m可化為f(x2)f(x1)，設(shè)h(x)f(x)x2aln xb，那么h(x1)h(x2)所以h(x)為(0,2上的減函數(shù)，即h(x)x0在(0,2上恒成立，等價(jià)于x3axm0在(0,2上恒成立，即mx3ax在(0,2上恒成立，又2a0，所以ax2x，所以x3axx32x，而函數(shù)yx32x在(0,2上是增函數(shù)，所以x32x12(當(dāng)且僅當(dāng)a2，x2時(shí)等號(hào)成立)所以m12，即m的最小值為125函數(shù)f(x)x，g(x)aln x(aR)(1)當(dāng)a2時(shí)，求F(x)f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)

11、h(x)f(x)g(x)，且h(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，其中x1，求h(x1)h(x2)的最小值解：(1)由題意得F(x)xaln x(x0)，那么F(x)，令m(x)x2ax1，那么a24當(dāng)2a2時(shí)，0，從而F(x)0，所以F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a2時(shí)，0，設(shè)F(x)0的兩根為x1，x2，所以F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為綜上，當(dāng)2a2時(shí)，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a2時(shí)，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)對(duì)h(x)xaln x，x(0，)求導(dǎo)得，h(x)1，h(x)0的兩根分別為x1，x2，那么有x1·x

12、21，x1x2a，所以x2，從而有ax1令H(x)h(x)hxln x2，即H(x)2ln x(x0)當(dāng)x時(shí)，H(x)0，所以H(x)在上單調(diào)遞減，又H(x1)h(x1)hh(x1)h(x2)，所以h(x1)h(x2)minH5ln 236.設(shè)f(x)exa(x1)(1)假設(shè)xR，f(x)0恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)g(x)f(x)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是曲線yg(x)上任意兩點(diǎn)，假設(shè)對(duì)任意的a1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍解(1)因?yàn)閒(x)exa(x1)，所以f(x)exa由題意，知a0，故由f(x)exa0，解得xln a故當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的最小值為f(ln a)eln aa(ln a1)aln a由題意，假設(shè)xR，f(x)0恒成立，即f(x)exa(x1)0恒成立，故有aln a0，又a0，所以ln a0，解得0a1所以正實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1(2)設(shè)x1，x2是任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1x2那么直線AB的斜率為k，由km，即m因?yàn)閤2x10，所以g(x2)g(x1)m(x2x1)，即g(x2)mx2g(x1)mx1因?yàn)閤1x2，所以函數(shù)h(x)g(x)mx在R上為增函數(shù)，故有h