初中-八年級-等腰直角三角形中的常用模型

1、 .wd.等腰直角三角形中的常用模型【知識精析】1、等腰直角三角形的特征：邊、角方面的特征：兩直角邊相等，兩銳角相等都是45邊之間的關(guān)系：任意一邊長，可得到其它兩邊長。2、等腰直角三角形與全等三角形：以等腰直角三角形為背景的幾何問題中，常常包含全等三角形，發(fā)現(xiàn)并證明其中的全等三角形往往是解題的關(guān)鍵突破口。熟悉以下根本模型，對解決等腰直角三角形問題很有好處。模型一：一條直線不與三角形的邊重合過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)1以原等腰直角三角形的兩直角邊為對應(yīng)斜邊，必定可以構(gòu)造一對全等的直角三角形：1-1：如圖：RtABC中，BAC=90，AB=AC，點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，過B作BEAD于點(diǎn)E，過C作C

2、FAD于點(diǎn)F。1求證：BE-CF=EF；2假設(shè)D在BC的延長線上如圖2，1中的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)不成立，請寫出新的結(jié)論并證明。變式1：等腰RtABC中，AB=CB，ABC=90，點(diǎn)P在線段BC上不與B、C重合，以AP為腰長作等腰直角PAQ，QEAB于，連CQ交AB于M。1求證：M為BE的中點(diǎn)2假設(shè)PC=2PB，求的值2以原等腰直角三角形的兩直角邊為對應(yīng)直角邊，必定可以構(gòu)造一對全等的直角三角形：1-2：如圖：RtABC中，BAC=90，AB=AC，點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，過B作BEAD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)G，過C作CFAC交AD的延長線與于點(diǎn)F。1求證：BG=AF；2假設(shè)D在BC的延長線上如圖2，1

3、中的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)不成立，請寫出新的結(jié)論并證明。變式1：如圖，在RABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延長線于E，求證：BC垂直且平分DE. 變式2：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AFBD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接DF，求證：1=2。變式3：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90，點(diǎn)D、E是AC上兩點(diǎn)且AD=CE，AFBD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F連接DF，求證：1=2。模型二：等腰直角三角形與另一個(gè)直角三角形共斜邊等腰直角三角形與另一個(gè)直角三角形有公共斜邊，一定可以以兩腰為對應(yīng)邊構(gòu)造全等三角

4、形2-1：連接AD，求證：ADB45。變式1：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90，E是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)D為BE延長線上一點(diǎn)，且ADC135求證：BDDC。變式2：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90，BE平分ABC交AC于E，過C作CDBE于D，DMAB交BA的延長線于點(diǎn)M，1求的值；2求的值。模型三：兩個(gè)等腰直角三角形共一個(gè)頂點(diǎn)1兩個(gè)等腰直角三角形共直角頂點(diǎn)，必定含一對全等三角形：3-1：如圖1，ABC、BEF都是等腰直角三角形，ABC=BEF=90，連接AF、CF，M是AF的中點(diǎn)，連ME，將BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)。猜測CF與EM的數(shù)量關(guān)系并證明；2兩個(gè)等腰直角三角形共銳角頂點(diǎn)且直角開口方

5、向一樣，必定含一對相似三角形：3兩個(gè)等腰直角三角形共銳角頂點(diǎn)且直角開口方向相反，必定可利用平移構(gòu)造含一對全等三角形：如圖，ABC和EBD都是等腰直角三角形，BAC=BED=90。把DE平移到CF，使E與C重合，連接AE、AF，那么AEB與AFC全等關(guān)鍵是利用平行證明ABE=ACF3-2：如圖：兩個(gè)直角三角形ABC、ADE的頂點(diǎn)A重合，P是線段BD的中點(diǎn)，連PC、PE。1如圖1，假設(shè)BAC=DAE=45，當(dāng)A、C、D在同一直線上時(shí)，線段PC、PE的關(guān)系是；2如圖2、3，將BAC繞A旋轉(zhuǎn)度，1中的結(jié)論是否仍然成立？任意選擇一個(gè)證明你的結(jié)論。【經(jīng)典模型】在BAC中，AB=AC，且BAC=90有一點(diǎn)D

6、滿足BDC=90：（1） 當(dāng)點(diǎn)D在邊BC下面時(shí)，試探究DB、DA和DC的大小關(guān)系？（2） 當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上面時(shí)，試探究DB、DA和DC的大小關(guān)系？推廣：（1） ABC為等邊三角形，D為BC下面一點(diǎn)且BDC=120，此時(shí)呢？（2） ABC為等腰三角形，D為BC下面一點(diǎn)且BDC=60，此時(shí)又如何？【猜測】在運(yùn)算中是否發(fā)現(xiàn)，有某種數(shù)量上的對應(yīng)關(guān)系？【穩(wěn)固練習(xí)】1如圖，在中，,、為上兩點(diǎn)，為外一點(diǎn)，且,那么以下結(jié)論：;,其中正確的選項(xiàng)是AFBDECA、B、C、D、2：RtABC中，AB=AC，BAC=90，假設(shè)O是BC的中點(diǎn)，以O(shè)為頂點(diǎn)作MON，交AB、AC于點(diǎn)M、N。1假設(shè)MON=90如圖1，求證：

7、OM=ON；BM2+CN2=MN2；2假設(shè)MON=45如圖2，求證：AM+MN=CN；3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AOB為等腰直角三角形，A4，4。（1） 假設(shè)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰直角ACD，ACD=90，連OD，求AOD的度數(shù)；（2） 過A作y軸的垂線交y軸于E，F(xiàn)為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，G在EF的延長線上，以EG為直角邊作等腰RtEGH，過A作x軸垂線交EH于點(diǎn)M，連FM，等式是否成立？假設(shè)成立，請證明；假設(shè)不成立，說明理由。4.在ABC和DCE中，AB=AC，DC=DE,BAC=EDC=90，點(diǎn)E在AB上，連AD，DFAC于點(diǎn)F。試探索AE、AF、AC的數(shù)量關(guān)系；并

8、求出DAC的度數(shù)。5如圖：等腰RtABC和等腰RtEDB，AC=BC，DE=BD，ACBEDB90，E為AB是一點(diǎn)，P為AE的中點(diǎn)。連接PC，PD；那么PC，PD的位置關(guān)系是；數(shù)量關(guān)系是；并證明你的結(jié)論。當(dāng)E在線段AB上變化時(shí)，其它條件不變，作EFBC于F，連接PF，試判斷PCF的形狀；在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，PCF是否可為等邊三角形？假設(shè)可以，試求ACB與EDB的兩直角邊之比。6.兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME1如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MBCF；2如圖1，假設(shè)CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；3如圖2，當(dāng)BCE=45時(shí)，求證：BM=ME7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A (4，0)，B (0，4)。點(diǎn)N為OA上一點(diǎn)，OMBN于M，且ONB=45+MON。（1） 求證：BN平分OBA；（2） 求的值；（3） 假設(shè)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且APO=135，問