圓周運(yùn)動(dòng)典型例題及答案詳解

1、“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”的典型例題 1 / d J Hr f 一 【例1】如圖所示的傳動(dòng)裝置中，A、B兩輪同軸轉(zhuǎn)動(dòng).A、B、C三輪的半徑大 小的關(guān)系是 RA=RC=2RB .當(dāng)皮帶不打滑時(shí)，三輪的角速度之比、三輪邊緣的線 速度大小之比、三輪邊緣的向心加速度大小之比分別為多少？ 【例2】一圓盤可繞一通過圓盤中心 0且垂直于盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng). 在圓盤上放 置一木塊，當(dāng)圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，木塊隨圓盤一起運(yùn)動(dòng)（見圖），那么 A .木塊受到圓盤對(duì)它的摩擦力，方向背離圓盤中心 B .木塊受到圓盤對(duì)它的摩擦力，方向指向圓盤中心 c 因?yàn)槟緣K隨圓盤一起運(yùn)動(dòng)，所以木塊受到圓盤對(duì)它的摩擦力，方向與木塊的 運(yùn)動(dòng)方向相同 D 因

2、為摩擦力總是阻礙物體運(yùn)動(dòng)，所以木塊所受圓盤對(duì)它的摩擦力的方向與木 塊的運(yùn)動(dòng)方向相反 E 因?yàn)槎呤窍鄬?duì)靜止的，圓盤與木塊之間無摩擦力 【例3】在一個(gè)水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放有 A、B、C三個(gè)物體，它們跟臺(tái)面間的摩擦因數(shù) 相同.A的質(zhì)量為2m，B、C各為m. A、B離轉(zhuǎn)軸均為r，C為2r.貝U A 若A、B、C三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)未發(fā)生滑動(dòng)， A、C的向心加速度比B大 B 若A、B、C三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)未發(fā)生滑動(dòng)，B所受的靜摩擦力最小 C.當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，C最先發(fā)生滑動(dòng) D 當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加時(shí)，A比B先滑動(dòng) 【例4】如圖，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘 A、B，相距Lo=O.1m.長(zhǎng)L=1m 的柔軟細(xì)線

3、一端拴在 A上，另一端拴住一個(gè)質(zhì)量為500g的小球.小球的初始位 置在AB連線上A的一側(cè).把細(xì)線拉直，給小球以 2m/ s的垂直細(xì)線方向的水 平速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng).由于釘子 B的存在，使細(xì)線逐步纏在 A、B上. A Q . 丄 H -【 鮎4 若細(xì)線能承受的最大張力Tm=7N，則從開始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂歷時(shí)多長(zhǎng)？ 【說明】圓周運(yùn)動(dòng)的顯著特點(diǎn)是它的周期性.通過對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究，用遞推法 則寫出解答結(jié)果的通式（一般表達(dá)式）有很重要的意義.對(duì)本題，還應(yīng)該熟練掌 握數(shù)列求和方法. 如果題中的細(xì)線始終不會(huì)斷裂，有興趣的同學(xué)還可計(jì)算一下，從小球開始運(yùn)動(dòng)到 細(xì)線完全繞在A、B兩釘子上，共需多少時(shí)間？ 【例5】

4、如圖（a）所示，在光滑的圓錐頂用長(zhǎng)為 L的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的小球, 圓錐頂角為2B,當(dāng)圓錐和球一起以角速度co勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 球壓緊錐面此時(shí) 繩的張力是多少？若要小球離開錐面，則小球的角速度至少為多少？ 【說明】本題是屬于二維的牛頓第二定律問題，解題時(shí)，一般可以物體為坐標(biāo) 原點(diǎn)，建立xoy直角坐標(biāo)，然后沿x軸和y軸兩個(gè)方向，列出牛頓第二定律的方 程，其中一個(gè)方程是向心力和向心加速度的關(guān)系，最后解聯(lián)立方程即可。 【例6】雜技節(jié)目中的“水流星”表演，用一根繩子兩端各拴一個(gè)盛水的杯子， 演員掄起杯子在豎直面上做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)杯口朝下，但水不會(huì)流下， 如下 圖所示，這是為什么？ 【例7】如下圖所示

5、，自行車和人的總質(zhì)量為 M，在一水平地面運(yùn)動(dòng)若自行車 以速度v轉(zhuǎn)過半徑為R的彎道.（1）求自行車的傾角應(yīng)多大？ （ 2）自行車所 受的地面的摩擦力多大？ 【例8】用長(zhǎng)L1=4m和長(zhǎng)為L(zhǎng)2=3m的兩根細(xì)線，拴一質(zhì)量 m=2kg的小球A , L1 和L2的另兩端點(diǎn)分別系在一豎直桿的 Oi, 02處，已知OiO2=5m如下圖(g = 10m s-2) (1) 當(dāng)豎直桿以的角速度 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，02A線剛好伸直且不受拉力求此時(shí) 角速度3 1. (2) 當(dāng)OiA線所受力為100N時(shí)，求此時(shí)的角速度 3 2. 【說明】向心力是一種效果力，在本題中 O2A受力與否決定于物體 A做圓周運(yùn) 動(dòng)時(shí)角速度的臨界值在這

6、種題目中找好臨界值是關(guān)鍵. 例9一輛實(shí)驗(yàn)小車可沿水平地面(圖中紙面)上的長(zhǎng)直軌道勻速向右運(yùn)動(dòng)，有 一臺(tái)發(fā)出細(xì)光束的激光器裝在小轉(zhuǎn)臺(tái) M上，到軌道的距離MN為d=10m,如圖 所示。轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使激光束在水平面內(nèi)掃描，掃描一周的時(shí)間為 T=60s,光 束轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖箭頭所示。當(dāng)光束與 MN的夾角為45時(shí)，光束正好射到小車 上，如果再經(jīng)過 t=2.5s光束又射到小車上，則小車的速度為多少？(結(jié)果保留 二位數(shù)字 1 1571 / X f 一 例10圖所示為測(cè)量子彈速度的裝置，一根水平轉(zhuǎn)軸的端部焊接一個(gè)半徑為 R的 薄壁圓筒(圖為其橫截面)，轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速是每分鐘 n轉(zhuǎn)，一顆子彈沿圓筒的水平 直徑由A點(diǎn)

7、射入圓筒，在圓筒轉(zhuǎn)過不到半圓時(shí)從 B點(diǎn)穿出，假設(shè)子彈穿壁時(shí)速 度大小不變，并在飛行中保持水平方向，測(cè)量出 A、B兩點(diǎn)間的孤長(zhǎng)為L(zhǎng),寫出 子彈速度的表達(dá)式。 說明 解題過程中，物理過程示意圖，是常用的方法， 它可以使抽象的物理過程具體形 象化，便于從圖中找出各物理量之間關(guān)系，以幫助建立物理方程，最后求出答案 典型例題答案 【例1】【分析】皮帶不打滑，表示輪子邊緣在某段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)總是跟皮 帶移動(dòng)的距離相等，也就是說，用皮帶直接相連的兩輪邊緣各處的線速度大小相 等根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，結(jié)合線速度、角速度、向心加速度的公式即可得解. 【解】由于皮帶不打滑，因此，B、C兩輪邊緣線速度大小相等，設(shè)VB=VC

8、二V.由 V= 3 R得兩輪角速度大小的關(guān)系 3 B ：3 c=Rc : RB=2 : 1 . 因A、B兩輪同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，即 3A=3 B，所以A、B、C三輪角速度 之比 3 A ：3 B ：3 C=2 : 2 : 1 . 因A輪邊緣的線速度 VA= 3 ARA=2 3 BRB=2VB， 所以A、 B、 C三輪邊緣線速度之比 VA : VB : VC=2 : 1 ： 1. 根據(jù)向心加速度公式a=3 2R，所以A、B、C三輪邊緣向心加速度之比 =8 : 4 : 2=4 : 2 ： 1. 【例2】【分析】由于木塊隨圓盤一起作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，時(shí)刻存在著一個(gè)沿半徑 指向圓心的向心加速度，因此，它

9、必然會(huì)受到一個(gè)沿半徑指向中心、 產(chǎn)生向心加 速度的力向心力. 以木塊為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析： 在豎直方向受到重力和盤面的支持力， 它處于 力平衡狀態(tài)在盤面方向，可能受到的力只有來自盤面的摩擦力（靜摩擦力）， 木塊正是依靠盤面的摩擦力作為向心力使它隨圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng). 所以，這個(gè)摩 擦力的方向必沿半徑指向中心 【答】B 【說明】常有些同學(xué)認(rèn)為，靜摩擦力的方向與物體間相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)方向相反， 木塊隨圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，時(shí)時(shí)有沿切線方向飛出的趨勢(shì)，因此靜摩擦力的方 向應(yīng)與木塊的這種運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反， 似乎應(yīng)該選D .這是一種極普遍的錯(cuò)誤認(rèn) 識(shí)，其原因是忘記了研究運(yùn)動(dòng)時(shí)所相對(duì)的參照系. 通常說做圓運(yùn)動(dòng)

10、的物體有沿線 速度方向飛出的趨勢(shì)， 是指以地球?yàn)閰⒄障刀缘?而靜摩擦力的方向總是跟相 對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，應(yīng)該是指相互接觸的兩個(gè)相關(guān)物體來說的， 即是對(duì)盤面 參照系.也就是說，對(duì)站在盤上跟盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)的觀察者， 木塊時(shí)刻有沿半徑向外 滑出的趨勢(shì)，所以，木塊受到盤面的摩擦力方向應(yīng)該沿半徑指向中心 【例3】【分析】A、B、C三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它們的角速度都等于轉(zhuǎn) 臺(tái)的角速度，設(shè)為3.根據(jù)向心加速度的公式an=32，已知rA=rBVrc，所以三 物體向心加速度的大小關(guān)系為 aA=aB rA=rB，所以當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速逐漸增加時(shí)，物體 C最先發(fā)生滑動(dòng).轉(zhuǎn)速繼 續(xù)增加時(shí)，物體A、B將同時(shí)發(fā)生滑動(dòng).C

11、正確，D錯(cuò). 【答】B、C. 【例4】【分析】小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于細(xì)線逐步繞在 A、B兩釘上，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半 徑會(huì)逐漸變小，但小球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大小保持不變. 【解】小球交替地繞A、B作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因線速度不變，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的減 小，線中張力T不斷增大，每轉(zhuǎn)半圈的時(shí)間t不斷減小. 在第二個(gè)半圓內(nèi)G =垃=鞏O, (L-G V 叫L-2LJ. V 在第n個(gè)半圓內(nèi) 令Tn=Tm=7N，得n=8，所以經(jīng)歷的時(shí)間為 t = t +坊+氐 (nL-l + 2H-3+-十 GiDLJi, n ii(n -1) 血_七 v J =8 2s. 【例5】【分析】小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由繩子的張力和錐面的支持

12、力兩者的合力提供向心力，在豎直方向則合外力為零。由此根據(jù)牛頓第二定律列 方程，即可求得在第一個(gè)半圓內(nèi)耳=過十 XL 在第三個(gè)半圓肌=垃_七 解答。 阿斯 【解】對(duì)小球進(jìn)行受力分析如圖（b）所示，根據(jù)牛頓第二定律，向心方向上有 T sin B -N cos 0 =m w 2r y方向上應(yīng)有 N sin 0 +T cos 0 -G=0 由、式可得 T = mgcos 0 +m w 2Lsin 0 當(dāng)小球剛好離開錐面時(shí)N=0 （臨界條件） 則有 Tsin 0 =m w 2r T cos0 -G=0 由式可”再 即小球的角速度至少為 【例6】【分析】水和杯子一起在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，需要提供一個(gè)向心力

13、。 當(dāng)水杯在最低點(diǎn)時(shí)，水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由杯底的支持力提供， 當(dāng)水杯在最高 點(diǎn)時(shí)，水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和杯底的壓力共同提供。 只要做圓周運(yùn)動(dòng)的 速度足夠快，所需向心力足夠大，水杯在最高點(diǎn)時(shí)，水就不會(huì)流下來。 【解】以杯中之水為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律 可知：Fg二y ,此時(shí)重力G-N的會(huì)力充當(dāng)了向心力, G + N=m 由上式可知茸I, NJ,當(dāng)1 mg 由此知O2A受拉力F2。則對(duì)A受力分析得 F1COS0 -F2sin 0 -mg=0 F1Sin 0 +F2COS 0 = mR 3 22 由式（4）（ 5）得 JFj cos2 B - mg cos Q + 耳 si

14、n 8 a=y 忑 100X 0 64-20X 08 +100X06 2X 2.4 474(rad/ s) 【例9】分析激光器掃描一周的時(shí)間T=60s,那么光束在 t=2.5s時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的 角度 卩二牛咒咒呼=15 激光束在豎直平面內(nèi)的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)， 但在水平方向上光點(diǎn)的掃描速度是變化的， 這 個(gè)速度是沿經(jīng)向方向速度與沿切向方向速度的合速度。 當(dāng)小車正向N點(diǎn)接近時(shí)，在 t內(nèi)光束與MN的夾角由45變?yōu)?0 由幾何知識(shí)知 R cos 9 由式（1）匕）解得CO aw 隨著9減小，v掃在減小若45時(shí)，光照在小車上，此時(shí)v掃v車時(shí)，此后光點(diǎn) 將照到車前但V掃J v車不變，當(dāng)V車V掃時(shí)，它們的距離在縮小。

15、解在厶t內(nèi)，光束轉(zhuǎn)過角度 = 15Q 如圖，有兩種可能 1)光束照射小車時(shí)，小車正在接近 N點(diǎn)， t內(nèi)光束與MN的夾角從45變 為30，小車走過L1，速度應(yīng)為 由圖可知 Li=d(tg45 - tg30 ) 由、兩式并代入數(shù)值，得 v1=1.7m/s (2)光束照到小車時(shí)，小車正在遠(yuǎn)離 N點(diǎn)， t內(nèi)光束與MN的夾角從45為 60，小車走過L2速度為 由圖可知 L2=d(tg60 - tg45 ) 由、兩代并代入數(shù)值，得 V2=2.9m/s 說明光點(diǎn)在水平方向的掃描速度是變化的，它是沿經(jīng)向速度和切向速度的合速 度。很多人把它理解為切向速度的分速度，即 則掃描速度不變化，就談不上與小車的“追趕”了，將不可能發(fā)生經(jīng)過一段時(shí)間, 再照射小車的問題。這一點(diǎn)速度的合成與分解應(yīng)理解正確。 另外光束與MN的夾角為45時(shí)，光束正好射到小車上有兩種情況（見分析） 要考慮周全，不要丟解。 【例10】分析子彈穿過筒壁，子彈與筒壁發(fā)生相互作用，既影響筒的轉(zhuǎn)速，又 影響子彈飛行速度，因?yàn)檫@種影