牛吃草類型應(yīng)用題解題方法

1、例 1 牧場(chǎng)上一片青草， 每天牧草都勻速生長(zhǎng) 這片牧草可供 10 頭牛吃 20 天，或者可供 15 頭牛吃 10 天問：可供 25 頭牛吃幾天？分析與解： 這類題難就難在牧場(chǎng)上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化， 我們要想辦法從 變化當(dāng)中找到不變的量 總草量可以分為牧場(chǎng)上原有的草和新生長(zhǎng)出來(lái)的草兩部分 牧場(chǎng)上原 有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化， 因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)， 所以這片草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量 相同，即每天新長(zhǎng)出的草是不變的 下面，就要設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長(zhǎng)出的草量這兩 個(gè)不變量設(shè) 1 頭牛一天吃的草為 1 份那么， 10 頭牛 20 天吃 200 份，草被吃完； 15 頭牛 10 天吃

2、 150 份，草也被吃完前者的總草量是 200 份，后者的總草量是 150 份，前者是原有的草 加 20 天新長(zhǎng)出的草，后者是原有的草加 10 天新長(zhǎng)出的草200 150 = 50(份)，20 10 = 10(天)，說(shuō)明牧場(chǎng)1 0天長(zhǎng)草50份， 1天長(zhǎng)草5份也就是說(shuō)， 5頭牛專吃新長(zhǎng)出來(lái)的草 剛好吃完， 5 頭牛以 外的牛吃的草就是牧場(chǎng)上原有的草由此得出，牧場(chǎng)上原有草(10 5) )20 = 100(份)或(15 5) )0 = 100(份).現(xiàn)在已經(jīng)知道原有草 100 份，每天新長(zhǎng)出草 5份當(dāng)有 25頭牛時(shí)，其中的 5頭 專吃新長(zhǎng)出來(lái)的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100亍20 = 5(

3、天). 所以，這片草地可供 25 頭牛吃 5 天.在例 1 的解法中要注意三點(diǎn)：(1) 每天新長(zhǎng)出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù) 的差計(jì)算出來(lái)的.(2) 在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，由剩下 的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量.在所求的問題中， 讓幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原 有的草量可以計(jì)算出能吃幾天.例 2 一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管先打開進(jìn)水管， 等水池存了一些水后，再打開出水管如果同時(shí)打開 2 個(gè)出水管， 那么 8 分鐘后水池空；如果同時(shí)打開 3 個(gè)出水管，那么 5 分鐘后水 池空那么

4、出水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘？ 分析：雖然表面上沒有 “牛吃草”，但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓?“水”相當(dāng)于 “草”， 進(jìn)水管進(jìn)的 水相當(dāng)于新長(zhǎng)出的草， 出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草， 所以也是牛吃草問題， 解 法自然也與例 1 相似出水管所排出的水可以分為兩部分： 一部分是出水管打開之前原有的水量， 另一 部分是開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水 因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊模?所以可以從比 較兩次排水所用的時(shí)間及排水量入手解決問題設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個(gè)出水管8分鐘所排的水是2X8 = 16（ 份）， 3 個(gè)出水管 5分鐘所排的水是3X5 = 15（份），這兩次排出的水量都包括原有

5、水量和從開始排水 至排空這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量.兩者相減就是在 8 5= 3（分）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水 量是 水管排原有的水，可以求出原有水的水量為 解：設(shè)出水管每分鐘排出的水為 1 份.每分鐘進(jìn)水量 答：出水管比進(jìn)水管晚開 40 分鐘.例 3 由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定的 速度在減少.已知某塊草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天，或可供 15 頭牛吃 6 天.照此計(jì)算，可供多少頭牛吃 10 天？ 分析與解：與例 1 不同的是，不僅沒有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在減少.但 是，我們同樣可以利用例 1 的方法，求出每天減少的草量和原有的草量.設(shè) 1 頭牛 1 天

6、吃的草為 1 份. 20 頭牛 5 天吃 100 份， 15 頭牛 6 天吃 90 份， 100 90= 10（ 份），說(shuō)明寒冷使牧場(chǎng) 1 天減少青草 10 份，也就是說(shuō)，寒冷相當(dāng)于 10 頭牛在吃草.由 “草地 上的草可供 20 頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的 10頭牛同時(shí)在吃草，所以牧場(chǎng)原有草 （2010） X5= 150（份）.由150X0 = 15知，牧場(chǎng)原有草可供15頭牛吃10天，寒冷占去10頭牛，所以， 可供 5 頭牛吃 10天.例 4 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶 梯上樓已知男孩每分鐘走 20 級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走 15 級(jí)梯級(jí)， 結(jié)果男孩用了 5

7、分鐘到達(dá)樓上，女孩用了 6 分鐘到達(dá)樓上問： 該扶梯共有多少級(jí)？分析：與例 3 比較， “總的草量 ”變成了“扶梯的梯級(jí)總數(shù) ”， “草”變成了“梯級(jí)”， “牛” 變成了 “速度”，也可以看成牛吃草問題 上樓的速度可以分為兩部分： 一部分是男、 女孩自己的速度， 另一部分是自動(dòng)扶 梯的速度男孩5分鐘走了 20X5 = 100（級(jí)），女孩6分鐘走了 15X6 = 90（級(jí)），女孩比男孩 少走了 100 90 = 10（級(jí)），多用了 6 5 = 1（分），說(shuō)明電梯1分鐘走10級(jí)由男孩5分鐘到達(dá)樓上， 他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20 + 10） X= 150（級(jí)）.解：

8、自動(dòng)扶梯每分鐘走（20 >5 15X6） （6 5） = 10（級(jí)），自動(dòng)扶梯共有（20 + 10） >5 = 150（級(jí)）.答：扶梯共有 150 級(jí).例 5 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一 樣多.從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開 4 個(gè)檢票口需 30 分鐘，同時(shí)開 5個(gè)檢票口需 20 分鐘.如果同時(shí)打開 7個(gè)檢票口，那 么需多少分鐘？分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化， “旅客”相當(dāng)于“草”， “檢票口 ”相當(dāng)于“牛”， 可以用牛吃草問題的解法求解.旅客總數(shù)由兩部分組成： 一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊(duì)的原有旅客， 另一部分 是開始檢票后新來(lái)的旅客.設(shè)

9、1個(gè)檢票口 1分鐘檢票的人數(shù)為1份因?yàn)?個(gè)檢票口 30分鐘通過（4 >30）份，5 個(gè)檢票口 20 分鐘通過(5 >20)份，說(shuō)明在(30 20)分鐘內(nèi)新來(lái)旅客(4 >30 5X20)份，所以每分鐘 新來(lái)旅客(4 X0 5 X20)千30 20) = 2(份).假設(shè)讓 2 個(gè)檢票口專門通過新來(lái)的旅客， 兩相抵消，其余的檢票口通過原來(lái)的旅 客，可以求出原有旅客為(4 2) X0 = 60(份) 或(5 2) X0 = 60(份).同時(shí)打開 7 個(gè)檢票口時(shí)，讓 2 個(gè)檢票口專門通過新來(lái)的旅客，其余的檢票口通 過原來(lái)的旅客，需要60(7 2) = 12(分).例 6 有三塊草地，面

10、積分別為 5， 6 和 8 公頃.草地上的草一樣厚， 而且長(zhǎng)得一樣快.第一塊草地可供 11 頭牛吃 10 天，第二塊草地可 供 12 頭牛吃 14 天.問：第三塊草地可供 19 頭牛吃多少天？ 分析與解：例 1 是在同一塊草地上， 現(xiàn)在是三塊面積不同的草地. 為了解決這個(gè) 問題，只需將 三塊草地的面積統(tǒng)一起來(lái).5, 6, 8 = 120 .因?yàn)?公頃草地可供11頭牛吃10天，120弋=24，所以120公頃草地可供11X24 =264(頭)牛吃10天.因?yàn)?公頃草地可供12頭牛吃14天，12020，所以120公頃草地可供12X20=240(頭)牛吃14天.120弋=15，問題變?yōu)椋?20公頃草地

11、可供19X15 = 285(頭)牛吃幾天？ 因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，所以原題可變?yōu)椋?“一塊勻速生長(zhǎng)的草地，可供 264 頭牛吃 10 天，或供 240 頭牛吃 14 天，那么可 供 285 頭牛吃幾天？ ”這與例 1 完全一樣.設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草為 1 份.每天新長(zhǎng)出的草有(240 X4 264X10)弋4 10) = 180(份).草地原有草(264 180) X0 = 840(份).可供285頭牛吃840 勺285 180) = 8(天).所以，第三塊草地可供 19頭牛吃8天我將“牛吃草 ”歸納為兩大類，用下面兩個(gè)例題來(lái)說(shuō)明例 1. 牧場(chǎng)上有一片均勻生長(zhǎng)的牧草，可供

12、27 頭牛吃 6 天，或供 23頭牛吃 9 天。那么它可供 21 頭牛吃幾天？例2.有三塊草地，面積分別為 5，6和 8公頃草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快第一塊草地可供 11 頭牛吃 10 天，第二塊草地可供 12 頭牛吃 14 天問：第三塊草地可供 19 頭牛吃多少天？ 分析與解：例 1 是在同一塊草地上，例 2 是三塊面積不同的草地（這就兩者 本質(zhì)的區(qū)別） 第一章：核心思路 普通解法請(qǐng)參考上面三位前輩的帖子。我沒把鏈接做好，不好意思現(xiàn)在來(lái)說(shuō)我的核心思路：例 1. 牧場(chǎng)上有一片均勻生長(zhǎng)的牧草， 可供 27 頭牛吃 6 天，或供 23 頭牛吃 9 天 那么它可供 21 頭牛吃幾天？將它想象成

13、一個(gè)非常理想化的數(shù)學(xué)模型：假設(shè) 27 頭牛中有 X 頭是“剪草工 ” ，這 X 頭牛只負(fù)責(zé)吃 “每天新長(zhǎng)出的草， 并且把它們吃完 ”，這樣以來(lái)草場(chǎng)相當(dāng)于 不長(zhǎng)草，永遠(yuǎn)維持原來(lái)的草量，而剩下的（27 -X）頭牛是真正的 顧客”它們負(fù)責(zé)把草場(chǎng) 原來(lái)的草吃完。（請(qǐng)慢慢理解，這是關(guān)鍵）例 1 ：解 :設(shè)每天新增加草量恰可供 X 頭牛吃一天 ,21 ?？沙?Y 天（后面所有 X 均為 此意）可供27頭牛吃6天，列式：（27 X） 6注：（27 X）頭牛6天把草場(chǎng)吃完 可供23頭牛吃9天，列式:（23 X） 9注：（23 X）頭牛9天把草場(chǎng)吃完 可供21頭牛吃幾天？列式：（21 X） Y注：（21 X）頭

14、牛丫天把草場(chǎng)吃完 因?yàn)椴輬?chǎng)草量已被 “清潔工”修理過，總草量相同，所以，聯(lián)立上面 1、2、3（27 X） 6 =（ 23 X） 9 =（ 21 X） 丫（27 X） 6 =（ 23 X） 9【1 】（23 X） 9 =（ 21 X） 丫【2 】解這個(gè)方程組，得X = 15 （頭）丫 = 12 （天）例 2：有三塊草地，面積分別為 5， 6 和 8 公頃草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得 一樣快第一塊草地可供 11頭牛吃10天，第二塊草地可供 12頭牛吃14天問：第三塊草 地可供 19 頭牛吃多少天？解析：現(xiàn)在是三塊面積不同的草地 為了解決這個(gè)問題， 需要將三塊草地的面積 統(tǒng)一起來(lái)（這是面積不同時(shí)得解題

15、關(guān)鍵） 求【5， 6， 8】得最小公倍數(shù)為 1201、因?yàn)?公頃草地可供11頭牛吃10天，120/5 = 24，所以120公頃草地可供11*24 = 264（頭）牛吃 10 天2、因?yàn)?公頃草地可供12頭牛吃14天，120/6 = 20，所以120公頃草地可供12*20 = 240（頭）牛吃 14 天3、 1208 = 15,問題變?yōu)椋?20公頃草地可供19/15 = 285（頭）牛吃幾天？ 這樣一來(lái)，例 2 就轉(zhuǎn)化為例 1 ，同理可得：（264 X） 10 =（ 240 X） 44 =（ 285 X） Y（264 X） 10 =（ 240 X） 14【1 】（240 X） 14 =（ 285

16、 X） Y【2】解方程組： X=180 （頭）Y=8 （天）典型例題 “牛吃草”已介紹完畢。第二章： “牛吃草”變型.以下幾道題目都是 “牛吃草”的變型，解法和上面我講的一摸一樣，因?yàn)槲以谇斑?寫的很詳細(xì) 了，所以下面的例題不再給出詳解，略作說(shuō)明即可。請(qǐng)大家自行驗(yàn)證。例 3 由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定的速度在減 少已知某塊草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天，或可供 15 頭牛吃 6 天照此計(jì)算，可供多少 頭牛吃 10 天？解析：本題的不同點(diǎn)在草勻速減少，不管它，和前邊設(shè) X、 Y 一樣來(lái)理想化，解 出的 X 為負(fù)數(shù)（無(wú)所謂，因?yàn)?X 是我們理想化的產(chǎn)物，沒有實(shí)際意義

17、），解出 Y 為我們所 求。例 4 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓已 知男孩每分鐘走 20 級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走 15 級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了 5 分鐘到達(dá)樓上，女 孩用了 6 分鐘到達(dá)樓上問：該扶梯共有多少級(jí)？ 解析：總樓梯數(shù)即總草量，設(shè)略 列式（20 X） 5=（ 15-X） 6X= 10（級(jí)）？（例 3 已說(shuō)過， X 是理想化的產(chǎn)物，沒有實(shí)際意義）將X= 10代入（20 X） 5得150級(jí)樓梯例 5 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多從開 始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開 4 個(gè)檢票口需 30 分鐘，同時(shí)開 5 個(gè)檢票口需 20 分

18、鐘如果同時(shí)打開 7 個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？解析：原有旅客即原有草量， 新來(lái)排隊(duì)得旅客即每天新長(zhǎng)出得草量， 其它不用我 多說(shuō)了吧。例 6 現(xiàn)欲將一池塘水全部抽干，但同時(shí)有水勻速流入池塘。若用 8 臺(tái)抽水機(jī) 10 天可以抽干；用 6 臺(tái)抽水機(jī) 20 天能抽干。問：若要 5 天抽干水，需多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)來(lái)抽 水？解析：原有水量即原有草量， 新勻速注入得水即每天新長(zhǎng)出得草量， 繼續(xù)。 例 7 一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi). 如果 10 人淘水， 3小時(shí)淘完；如5 人淘水 8 小時(shí)淘完 . 如果要求 2 小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？ 解析：（ 10-X ）*3=（5-x）*8=（n-x）*2 。例 8 、牧場(chǎng)有一片青草，每天生成速度相同。現(xiàn)在這片牧場(chǎng)可供16 頭牛吃 20天，或者供 80只羊吃 12 天，如果一頭牛一天吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，那么 10 頭牛 與 60 只羊一起吃 可以吃多少天？解析：思路，把羊轉(zhuǎn)化為牛4羊=1牛，也可以供80只羊吃12