直線對(duì)稱問題新

1、對(duì)稱問題對(duì)稱問題（1）點(diǎn)到直線距離公式：）點(diǎn)到直線距離公式： ，0022AxByCdAB（2）兩平行直線間的距離：）兩平行直線間的距離： ，2122CCdAB注意：用該公式時(shí)應(yīng)先將直線方程化為一般式；注意：用該公式時(shí)應(yīng)先將直線方程化為一般式；有關(guān)知識(shí)：有關(guān)知識(shí)：1、直線互相垂直的條件：、直線互相垂直的條件：_2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為 _3、點(diǎn)、點(diǎn) ( x o，yo ) 在直線在直線 Ax + By + C = 0 上的上的條件是條件是 _斜率存在，斜率存在，k1k2=1Axo + Byo + C = 0)2,2(2121yyxx 對(duì)稱問題對(duì)

2、稱問題中心對(duì)稱問題中心對(duì)稱問題點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱問題點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱線關(guān)于線的對(duì)稱線關(guān)于線的對(duì)稱軸對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)稱有一條對(duì)稱軸有一條對(duì)稱軸 :直線直線有一個(gè)對(duì)稱中心有一個(gè)對(duì)稱中心:點(diǎn)點(diǎn)定定義義沿軸翻轉(zhuǎn)沿軸翻轉(zhuǎn)180繞中心旋轉(zhuǎn)繞中心旋轉(zhuǎn)180翻轉(zhuǎn)后重合翻轉(zhuǎn)后重合旋轉(zhuǎn)后重合旋轉(zhuǎn)后重合性性質(zhì)質(zhì)1、兩個(gè)圖形是全等形、兩個(gè)圖形是全等形2、對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連、對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線線的垂直平分線3、對(duì)稱線段或延長(zhǎng)線相、對(duì)稱線段或延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)在對(duì)稱軸上交，交點(diǎn)在對(duì)稱軸上1、兩個(gè)圖形是全等形、兩個(gè)圖形是全等形2、對(duì)稱點(diǎn)連線都

3、經(jīng)過、對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。中心平分。例例1. 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(5,8) ，B(-4 ，1) ，試求，試求A點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱解題要點(diǎn)解題要點(diǎn)：中點(diǎn)公式的運(yùn)用：中點(diǎn)公式的運(yùn)用ACBxyOC(-13，-6)-4=5+x 21=8+y 2解解:設(shè)設(shè)C(x,y) 則則得得x=-13y=-6 練1：點(diǎn)A(6,-3)關(guān)于點(diǎn)P(1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)A/的坐標(biāo)是( )-4,-1練2：過點(diǎn)P(1,3)與兩坐標(biāo)軸交成的線段以P為中點(diǎn)的直線方程_分析：用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求的直線在坐標(biāo)軸的截距分別為2和6用截

4、距式寫出方程為x/2+y/6=1即3x+y-6=0例例3.求直線求直線l l 1 1 : : 3x-y-4=0關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P(2,-1)對(duì)稱對(duì)稱的的 直線直線l l 2 2的方程。的方程。二、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱二、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱解題要點(diǎn)解題要點(diǎn)： 法一：法一： l l 2 2上的任意一點(diǎn)的上的任意一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在對(duì)稱點(diǎn)在l l 1 1上上; 法二法二： L1L2 點(diǎn)斜式或?qū)ΨQ兩點(diǎn)式點(diǎn)斜式或?qū)ΨQ兩點(diǎn)式 法三：法三： l l 1 1 / l / l 2 2且且P到兩直線等距。到兩直線等距。解解 ：設(shè)：設(shè)A(x，y)為為L(zhǎng)2上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn) 則則A關(guān)于關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A在在L1上上3(4-x)-

5、(-2-y)-4=0即直線即直線l 2的方程為的方程為3x-y-10=0 AL2L1YXOPA 練3：求直線2x-3y+6=0關(guān)于點(diǎn)A（1，2）對(duì)稱的直線方程方法一：待定系數(shù)法：設(shè)為2x-3y+C=0,用點(diǎn)到直線距離公式的C=2（6舍去）方法二：用相關(guān)點(diǎn)法設(shè)直線上的點(diǎn)為P(x1,y1),點(diǎn)P關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P/(x,y),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式推出用x,y表示x1,y1的表達(dá)式后代入直線方程化簡(jiǎn)即可.方法三、賦值法注意：是否平行方法四、點(diǎn)到直線距離相等（平行）3、求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)軸對(duì)稱練4：已知點(diǎn)A（-4，6），則 (1) A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A/坐標(biāo)是 （ ）(2) A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A/坐標(biāo)

6、是 （ ）(3) A關(guān)于直線y=x軸的對(duì)稱點(diǎn)A/坐標(biāo)是 （ ）6，-4-4，-64，6例例2.已知點(diǎn)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-4,4)，直線，直線l l 的方的方 程為程為3x+y-2=0,求點(diǎn)求點(diǎn)A關(guān)于直線關(guān)于直線l l 的的 對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。 三、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱三、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱解題要點(diǎn)解題要點(diǎn)： k kAA = -1 AA中點(diǎn)在中點(diǎn)在l l 上上 AAYXO-3y-4x-(-4)=-13-4+x 2+4+y 2-2=0(x，y)(2，6)解：設(shè)解：設(shè) A（x,y)則則 （L為對(duì)稱軸）為對(duì)稱軸）例1：求點(diǎn)A（-1，3）關(guān)于直線l：x+y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)基本方法：設(shè)所求點(diǎn)為A

7、/ (a,b)利用斜率和中點(diǎn)在對(duì)稱軸上建立關(guān)于a,b的兩個(gè)方程而求之（-2，2）練5：在x軸上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(-2,1)和B(4,5)的距離之和最小P(-1,0)方法：利用軸對(duì)稱求得A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A/，直線A/B與x軸的交點(diǎn)為所求例2(光線反射問題)有一條光線從點(diǎn)A(-2,1)射到直線l:x-y=0上后在反射到點(diǎn)B(3,4),求反射光線的方程方法：先求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A/的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A/和B確定反射光線的方程3x-y-5=0方法小結(jié)：求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)利用連線的線段與對(duì)稱軸垂直、線段的中點(diǎn)在軸上，列方程求解；例例4. 試求直線試求直線l1:x-y+2=0關(guān)于直線關(guān)于直線

8、 l2:x-y+1=0 對(duì)稱的直線對(duì)稱的直線l 的方程。的方程。四、直線關(guān)于直線對(duì)稱四、直線關(guān)于直線對(duì)稱L2L1L解：設(shè)解：設(shè)L方程為方程為x-y+m=0則則 與與 距離等于距離等于 與與 距離距離L1L2L2L建立等量關(guān)系，解方程求建立等量關(guān)系，解方程求mxoy4、求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線練：求直線x+y-3=0關(guān)于直線x+y+3=0 對(duì)稱的直線方程分析：是平行關(guān)系待定系數(shù)法，設(shè)為x+y+C=0,平行線間的距離公式的C=-9x+y-9=0為所求例例4. 試求直線試求直線l l1:x-y-2=0關(guān)于直線關(guān)于直線 l l2:3x-y+3=0對(duì)稱的直線對(duì)稱的直線l l 的方程。的方程。 四、直線關(guān)

9、于直線對(duì)稱四、直線關(guān)于直線對(duì)稱L1L2Lx-y-2=03x-y+3=0P L：7x+y+6=0yXO解：解：P( ， )-12-52得得在在 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)Q(2,0),求其關(guān)于求其關(guān)于 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q(x,y)L1 L2 Q(2,0), Q(x,y)3y-0 x-2=-13y+0 2+3=0則則X+22求出求出Q點(diǎn)坐標(biāo)后，兩點(diǎn)式求點(diǎn)坐標(biāo)后，兩點(diǎn)式求L方程。方程。四、直線關(guān)于直線對(duì)稱四、直線關(guān)于直線對(duì)稱 L1L2LPyXO Q(2,0),Q(x,y)解題要點(diǎn)解題要點(diǎn)：（1）若兩直線相交，先求交點(diǎn)）若兩直線相交，先求交點(diǎn)P,再在再在 上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)Q求其對(duì)稱點(diǎn)得另一點(diǎn)求其對(duì)稱點(diǎn)得另一

10、點(diǎn)Q兩點(diǎn)式求兩點(diǎn)式求L方程方程L1求求 關(guān)于關(guān)于 的對(duì)稱直線的對(duì)稱直線L的方程的方程L1L2思考：若思考：若l l1/l l2, 如何求如何求l l1 關(guān)于關(guān)于l l2的對(duì)稱直線方程？的對(duì)稱直線方程？練：求直線2x+y-3=0關(guān)于直線x-y-6=0對(duì)稱的直線方程方法：1）先求出交點(diǎn)M（3，-3）； 2）在已知直線找一點(diǎn)A(0,3),求出點(diǎn)A關(guān)于直線x-y-6=0的對(duì)稱點(diǎn)A/(-6,9); 3)由點(diǎn)M（3，-3）和A/(-6,9)得出所求直線的方程4x+3y-3=0也可用相關(guān)點(diǎn)法四、直線關(guān)于直線對(duì)稱四、直線關(guān)于直線對(duì)稱解題要點(diǎn)解題要點(diǎn)：(先判斷兩直線位置關(guān)系先判斷兩直線位置關(guān)系)（1）若兩直線相

11、交，先求交點(diǎn)）若兩直線相交，先求交點(diǎn)P,再在再在 上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)Q求其對(duì)稱點(diǎn)得另一點(diǎn)求其對(duì)稱點(diǎn)得另一點(diǎn)Q兩點(diǎn)式求兩點(diǎn)式求L方程方程L1求求 關(guān)于關(guān)于 的對(duì)稱直線的對(duì)稱直線L的方程的方程L1L2則則 與與 距離等于距離等于 與與 距離距離L1L2L2L建立等量關(guān)系，解方程求建立等量關(guān)系，解方程求m(2)若若 ，設(shè)，設(shè)L方程為方程為x-y+m=0L1L2請(qǐng)大家完成下例填空題請(qǐng)大家完成下例填空題 1. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 2. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 3. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為軸的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 4. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為軸的對(duì)稱點(diǎn)為

12、 ; 5. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 6. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y= -x的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 7. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于x=m的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 8. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y=n的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ;( , )a b),(ba(-a,-b),(ba),(nm(2m-a,2n-b) ),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba(a,-b)(b,a)(-b,-a)(2m-a,b)(-a,b)(a,2n-b)常用結(jié)論常用結(jié)論:0CByAxl的方程為設(shè)直線0)(CyBAx0)(CByxA1. 直線關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程為直線關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程為:2.直線關(guān)于直線

13、關(guān)于x軸的對(duì)稱直線的方程為軸的對(duì)稱直線的方程為:3.直線關(guān)于直線關(guān)于y軸的對(duì)稱直線的方程為軸的對(duì)稱直線的方程為:4.直線關(guān)于直線直線關(guān)于直線y=x的對(duì)稱直線的方程為的對(duì)稱直線的方程為:5.直線關(guān)于直線直線關(guān)于直線y= -x的對(duì)稱直線的方程為的對(duì)稱直線的方程為0CAyBx0)()(CxByA0)()(CybxA例題：例題：的對(duì)稱點(diǎn)。關(guān)于求已知直線lpyxl)5 , 4(, 033:P與與P中點(diǎn)中點(diǎn)垂直垂直PP 例題：例題：的對(duì)稱點(diǎn)。關(guān)于求已知直線lpyxl)5 , 4(, 033:。對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為解得則的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于解：設(shè)點(diǎn))7 , 2( 72),( yxxyyxyxp

14、lp結(jié)論：1)(022),( )0(0:),(000000BAaxbyCbyBaxAyxEBCByAxlbaE的求法：的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線變題一變題一 :的方程。的對(duì)稱的直線關(guān)于點(diǎn)求直線)2 , 3(Ml. 0173 , (7,4), (6,1)Q , (-1,0) , (0,3) yxlRMRQlMl的方程為所以別為的對(duì)稱點(diǎn)分則它們關(guān)于點(diǎn)因此，可取上。的對(duì)稱點(diǎn)必在點(diǎn)關(guān)于上任找兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)在條直線，故只需法一：根據(jù)兩點(diǎn)確定一 . 0173 Q. ) 1 , 6( , )3 , 0( 03 , /yxllQMQlCyxlllMll的方程為所以上，在又點(diǎn)為的對(duì)稱則它關(guān)于點(diǎn)上取一點(diǎn)在的方程為所以設(shè)對(duì)稱

15、，所以關(guān)于點(diǎn)與法二：由圖可知：0173 , 03)4()6(3 ),4 ,6( ),(yxlyxlPyxPMyxPl的方程為整理得所以上，在直線則點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)則它關(guān)于上任找一點(diǎn)法三：在變題二變題二:的方程。直線的對(duì)稱關(guān)于直線求直線 05: lyxml0173 , )4 , 5( , )5 , 2( , )0 , 1(, )3 , 0( 05: yxlRQmRQlyxml的方程為：整理得所以由兩點(diǎn)式的對(duì)稱點(diǎn)分別為們關(guān)于直線則它因此，可取上。的對(duì)稱點(diǎn)必在關(guān)于直線上任找兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)條直線，故只需在法一：根據(jù)兩點(diǎn)確定一0173 6105033 yxlyxyx的方程為：所以由兩點(diǎn)式整理得），為：（得

16、交點(diǎn)坐標(biāo)法二：由. 0173 03)5()5( 3 5510522 , ),( , ),(00000000yxlxylPxyyxxxyyyyxxyxPmPyxPl的方程為：整理得上，所以在直線由于點(diǎn)解得則的對(duì)稱點(diǎn)為：關(guān)于設(shè)上任找一點(diǎn)法三：在請(qǐng)大家完成下例填空題請(qǐng)大家完成下例填空題 1. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 2. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 3. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為軸的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 4. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為軸的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 5. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 6. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y= -x的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 7. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于x=m的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 8. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y=n的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ;( , )a b),(ba(-a,-b),(ba),(nm(2m-a,2n-b) ),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba(a,-b)(b,a)(-b,-a