立體幾何位置關系-平行與垂直證明方法匯總

1、立體幾何位置關系-平行與垂直證明方法匯總（一）立體幾何中平行問題證明直線和平面平行的方法有：利用定義采用反證法；平行判定定理；利用面面平行，證線面平行。主要方法是、兩法在使用判定定理時關鍵是確定出面內的與面外直線平行的直線.常用具體方法：中位線和相似例1、 P是平行四邊形ABCD所在平面外一點,Q是PA的中點.求證：PC面BDQ.證明：如圖，連結AC交BD于點O.ABCD是平行四邊形，AO=OC.連結OQ，則OQ在平面BDQ內，且OQ是APC的中位線，PCOQ.PC在平面BDQ外，PC平面BDQ. 例2、在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，設M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、

2、C1D1、B1C1的中點.求證：(1)E、F、B、D四點共面；（2）面AMN面EFBD.證明:(1)分別連結B1D1、ED、FB，如圖，則由正方體性質得 B1D1BD.E、F分別是D1C1和B1C1的中點，EFB1D1.EFBD.E、F、B、D對共面.（2）連結A1C1交MN于P點，交EF于點Q，連結AC交BD于點O，分別連結PA、QO.M、N為A1B1、A1D1的中點，MNEF，EF面EFBD.MN面EFBD.PQAO,四邊形PAOQ為平行四邊形.PAOQ.而OQ平面EFBD，PA面EFBD.且PAMN=P，PA、MN面AMN，平面AMN平面EFBD.例3如圖（1），在直角梯形P1DCB中，

3、P1D/BC，CDP1D，且P1D=8，BC=4，DC=4，A是P1D的中點，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如圖（2），使二面角PCDB成45°，設E、F分別是線段AB、PD的中點. 求證：AF/平面PEC； 證明：如圖，設PC中點為G，連結FG， 則FG/CD/AE，且FG=CD=AE，四邊形AEGF是平行四邊形AF/EG，又AF平面PEC，EG平面PEC，AF/平面PEC例4、 正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點P、Q，且AP=DQ.求證：PQ面BCE.證法一：如圖（1），作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N,連接MN,因

4、為面ABCD面ABEF=AB,則AE=DB.又AP=DQ,PE=QB.又PMABQN,.PMQN.四邊形PMNQ為平行四邊形.PQMN.又MN面BCE，PQ面BCE，PQ面BCE.證法二：如圖(2)，連結AQ并延長交BC或BC的延長線于點K，連結EK.ADBC,.又正方形ABCD與正方形ABEF有公共邊AB，且AP=DQ，.則PQEK.EK面BCE，PQ面BCE.PQ面BCE.例5、正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如圖所示）M、N在對角線AC、FB上且AM= FN。求證：MN /平面BCE證明：過N作NP/AB交BE于P，過M作MQ/AB交BC于Q 又 MQPN例6、 ，線段GH、GD、

5、HE交、于A、B、C、D、E、F，若GA=9，AB=12，BH=16，求。證明：ACBD AEBF 立體幾何每日一練基礎部分線面平行問題（中位線）1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q分別是AD1、BD上的點，且AP=BQ，求證：PQ平面DCC1D1。2 如圖所示，線段，所在直線是異面直線，分別是線段，的中點.(1) 求證：，共面并且所在平面平行于直線和；(2) 設，分別是和上任意一點，求證：被平面平分3.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點.求證：MN平面AA1C1.4.如圖所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一點，且SA=SB=SC，SG為S

6、AB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點，試判斷SG與平面DEF的位置關系，并給予證明.5.正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點P、Q，且AP=DQ.求證：PQ平面BCE.（三種方法）6. 如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中點，試判斷A1B與平面ADC1的位置關系，并證明你的結論.7.設，是單位正方體的面、面A1B1C1D1的中心.證明：平面AA1B1B線面平行問題（類中位線）1、如圖，在正四棱錐SABCD中，底面ABCD的邊長為，側棱長為2，P、Q分別在BD和SC上，且BP:PD=1:2， PQ平面SAD，求線段PQ的長。2、如

7、圖所示,已知正方形與正方形不共面，.求證：平面.3、如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，點N在BD上，點 M在B1C上，且CM=ND，求證：MN平面AA1B1B.4、如圖所示，正四棱錐PABCD的各棱長均為13，M，N分別為PA，BD上的點，且PMMA=BNND=58.求證：直線MN平面PBC；面面平行問題1、正方體ABCDA1B1C1D1中(1)求證：平面A1BD平面B1D1C；A1AB1BC1CD1DGEF(2)若E、F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1平面FBD9已知三棱錐，B，C是PBC,PCA,PAB的重心.(1)求證：面面；(2)求SABC：SABC .2.如

8、圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是BC、CC1、C1D1、A1A的中點.求證：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H.9.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ平面PAO？立體幾何中垂直問題證垂直的幾種方法：勾股定理、等腰（邊）三角形三線合一、菱形對角線、矩形（含正方形）、90o、相似三角形（與直角三角形）、圓直徑對的圓周角、平行線、射影定理（三垂線定理）、線面垂直、面面垂直等1、如圖1，在正方體中，為 的中點，AC交BD

9、于點O，求證：平面MBD2、如圖2，是ABC所在平面外的一點，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求證：BC平面PAC3、如圖所示，ABCD為正方形，平面ABCD，過且垂直于的平面分別交于求證：， 4、如圖2，在三棱錐BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，為垂足，作AHBE于求證：AH平面BCD5、如圖，是圓的直徑，是圓周上一點，平面ABC若AEPC ，為垂足，是PB上任意一點，求證：平面AEF平面PBC6、ABCABC是正三棱柱，底面邊長為a，D，E分別是BB，CC上的一點，BD1/2a，ECa（1）求證：平面ADE平面ACCA；（2）求截面ADE的面積7、如圖，在三棱錐SABC中，S

10、A平面ABC，平面SAB平面SBC求證：ABBC；8、如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點（1）求平面PCD與平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求證：平面MND平面PCD9、如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點（1）求證：平面MNF平面ENF（2）求二面角MEFN的平面角的正切值（二）立體幾何中垂直問題證垂直的幾種方法：勾股定理等腰（邊）三角形三線合一菱形對角線、矩形（含正方形）、90o相似三角形（與直角三角形）圓直徑對的圓周角平行線射影定理（三垂線定理）線面垂直面面垂直。

11、等1、 如圖1，在正方體中，為 的中點，AC交BD于點O，求證：平面MBD證明：連結MO，DB，DBAC， DB平面，而平面 DB 設正方體棱長為，則， 在Rt中，（勾股定理） OMDB=O， 平面MBD評注：在證明垂直關系時，有時可以利用棱長、角度大小等數據，通過計算來證明利用面面垂直尋求線面垂直2、如圖2，是ABC所在平面外的一點，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求證：BC平面PAC證明：在平面PAC內作ADPC交PC于D 平面PAC平面PBC，且兩平面交 于PC，平面PAC，且ADPC， AD平面PBC 又平面PBC，ADBCPA平面ABC，平面ABC，PABC ADPA=A，BC

12、平面PAC3、如圖所示，ABCD為正方形，平面ABCD，過且垂直于的平面分別交于求證：，證明：平面ABCD，平面SAB又平面SAB，平面AEFG，平面SBC同理證4、如圖2，在三棱錐BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，為垂足，作AHBE于求證：AH平面BCD證明：取AB的中點，連結CF，DF ， ，（等腰三角形三線合一） 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， ， 平面BCD5、 如圖，是圓的直徑，是圓周上一點，平面ABC若AEPC ，為垂足，是PB上任意一點，求證：平面AEF平面PBC證明：AB是圓的直徑，（直徑對的圓周角）平面ABC，平面ABC，平面APC平面PBC，平

13、面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC平面AEF，平面AEF平面PBC6、ABCABC是正三棱柱，底面邊長為a，D，E分別是BB，CC上的一點，BD1/2a，ECa（1）求證：平面ADE平面ACCA；（2）求截面ADE的面積（1）【證明】分別取AC、AC的中點M、N，連結MN，則MNAABB，（平行證共面）B、M、N、B共面，M為AC中點，BC=BA，BMAC，又BMAA且AAAC=ABM平面AACC設MN交AE于P，CEAC，PNNA又DBa，PNBDPNBD， PNBD是矩形，于是PDBN，BNBM，PDBMBM平面ACCA，PD平面ACCA，而PD平面ADE

14、，平面ADE平面ACCA（2）【解】PD平面ACCA，PDAE，而PDBMa，AEaSADE×AE×PD×7、如圖，在三棱錐SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC求證：ABBC；【證明】作AHSB于H，平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB，AH平面SBC，又SA平面ABC，SABC，而SA在平面SBC上的射影為SB，BCSB，（射影定理）又SASB=S，BC平面SABBCAB8、如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點（1）求平面PCD與平面ABCD所成的二面角的大??；（2）求證：平面MND平面PCD（1）【解】PA平面ABCD，CDAD，PDCD，故PDA為平面ABCD與平面PCD所成二面角的平面角，在RtPAD中，PA=AD，PDA=45°（2）【證明】取PD中點E，連結EN，EA，則EN CD AM，四邊形ENMA是平行四邊形，EAMNAEPD，AECD，（平行證垂直）AE平面PCD，從而MN平面PCD，MN平面MND，平面MND平面PCD9、如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點（