近幾年安徽中考數(shù)學(xué)壓軸題分類探析-金效奇

1、近幾年安徽省中考數(shù)學(xué)壓軸題分類探析-金效奇數(shù)學(xué)壓軸題是指在一套數(shù)學(xué)試卷中涉及到的數(shù)學(xué)知識點較多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，題型新穎，解法沒有固定模式，難度較大，對同學(xué)們的解題技能、技巧有較高的要求且分值較高排在試卷最后面的題。一般試卷中的壓軸題常以綜合題的形式出現(xiàn)，常常循序漸進(jìn)地設(shè)計成幾道小題目.要順利解答壓軸題，除了基礎(chǔ)知識要扎實之外，審題也很關(guān)鍵.搞清題目的類型，理清題目中的知識點，分清條件和結(jié)論，注意關(guān)鍵語句找出關(guān)鍵條件，特別要挖掘隱含條件，并盡量根據(jù)題意列出相關(guān)的數(shù)式或畫出示意圖形，然后分析條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，從而找到正確合理的解題途徑.將復(fù)雜問題分解或轉(zhuǎn)化成較為簡單或者熟悉的問題則是解此類題目的一

2、條重要原則。近幾年來，隨著中考改革的進(jìn)行，許多應(yīng)用型的中考壓軸題在不斷的涌現(xiàn)，壓軸題的類型也在不斷的變化，本文力求從中考知識點和數(shù)學(xué)思想的角度對近幾年來安徽省中考數(shù)學(xué)壓軸題進(jìn)行分類，找出其中的共性，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，為2010年及以后的中考探明方向。1、二次函數(shù)題仍是“熱點”二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的一個難點也是歷年來中考的熱點，是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接最緊密的地方。但是近年來由于對二次函數(shù)題類型與深度的挖掘，二次函數(shù)題的“新”與“深”受到了限制，不過安徽省中考題還有非常美好的一面。例1、（2004年）某企業(yè)投資100萬元引進(jìn)一條農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)線，若不計維修、保養(yǎng)費用，預(yù)計投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬元該生產(chǎn)

3、線投產(chǎn)后，從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費用累計為y(萬元)，且y=ax2+bx，若第1年的維修、保養(yǎng)費為2萬元，第2年的為4萬元(1)求y的解析式；(2)投產(chǎn)后，這個企業(yè)在第幾年就能收回投資?解：(1)由題意，x=1時，y=2；x=2時，y=6分別代入y=ax2+bx，解得：a=1 、b=1y=x2+x(2)，設(shè)g=33x-100-x2-x，則g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156 由于當(dāng)1xl 6時，g隨x的增大而增大且當(dāng)x=1，2，3時，g的值均小于O，當(dāng)x=4時，g=-122+156>0，可知投產(chǎn)后該企業(yè)在第4年就能收回投資。 此題作為壓軸題，關(guān)鍵考查學(xué)生對應(yīng)用題的審

4、題能力，當(dāng)年,這個題的錯誤率相當(dāng)高，因為大家對“費用累計”這個概念不清楚，把x=2時，y=4代入，從而導(dǎo)致結(jié)果錯誤。例2、（2007年）按右下圖所示的流程，輸入一個數(shù)據(jù)x，根據(jù)y與x的關(guān)系式就輸出一個數(shù)據(jù)y，這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)，要使任意一組都在20100（含20和100）之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足下列兩個要求：（）新數(shù)據(jù)都在60100（含60和100）之間；（）新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致，即原數(shù)據(jù)大的對應(yīng)的新數(shù)據(jù)也較大。（1）、若y與x的關(guān)系是yxp(100x)，請說明：當(dāng)p時，這種變換滿足上述兩個要求；（2）若按關(guān)系式y(tǒng)=a(xh)2k(a&

5、gt;0)將數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，請寫出一個滿足上述要求的這種關(guān)系式。解：（1）略，（2）本題是開放性問題，答案不唯一。若所給出的關(guān)系式滿足：（a）h20；（b）若x=20,100時，y的對應(yīng)值m，n能落在60100之間，則這樣的關(guān)系式都符合要求。如取h=20,y=,a0，當(dāng)20x100時，y隨著x的增大令x=20,y=60，得k=60 令x=100,y=100，得a×802k=100 由解得， 。04年和07年二次函數(shù)的考題中可看出，從復(fù)雜的應(yīng)用到自變量的取值范圍的逆向考查，方向發(fā)生了很大的變化。應(yīng)用題的類型在全國各省市中考題中已經(jīng)貫穿到位，那么，如何讓二次函數(shù)題有深度有新意，07年的壓軸

6、題是二次函數(shù)命題的巔峰之作。它提示我們復(fù)習(xí)二次函數(shù)知識時要與高中知識聯(lián)系在一塊，努力挖掘新的東西。 2、分段函數(shù)題“異軍突起”分段函數(shù)是初中數(shù)學(xué)里一個非常重要的內(nèi)容，也是函數(shù)部分與高中數(shù)學(xué)聯(lián)系最緊密的地方，它的命題范圍有一次函數(shù)的基礎(chǔ)也有二次函數(shù)的內(nèi)容，因此，無論從命題還是從考試的角度它能考查的知識點還是有深度的。當(dāng)然，它成為這兩年中考的熱點。例3、（2008年）剛回營地的兩個搶險分隊又接到救災(zāi)命令：一分隊立即出發(fā)往30千米的A鎮(zhèn)；二分隊因疲勞可在營地休息a（0a3）小時再往A鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊出發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在離營地10千米處發(fā)生塌方，塌方地形復(fù)雜，必須由一分隊用1小時打通道路

7、，已知一分隊的行進(jìn)速度為5千米/時，二分隊的行進(jìn)速度為（4a）千米/時。若二分隊在營地不休息，問二分隊幾小時能趕到A鎮(zhèn)？若二分隊和一分隊同時趕到A鎮(zhèn)，二分隊?wèi)?yīng)在營地休息幾小時？下列圖象中，分別描述一分隊和二分隊離A鎮(zhèn)的距離y(千米)和時間x(小時)的函數(shù)關(guān)系，請寫出你認(rèn)為所有可能合理的代號，并說明它們的實際意義。解：（1）若二分隊在營地不休息，則a0，速度為4千米/時，行至塌方處需（小時）因為一分隊到塌方處并打通道路需要（小時），故二分隊在塌方處需停留0.5小時，所以二分隊在營地不休息趕到A鎮(zhèn)需2.5+0.5+8（小時）（2）一分隊趕到A鎮(zhèn)共需+17（小時）（）若二分隊在塌方處需停留，則后20

8、千米需與一分隊同行，故4+a5，即a=1，這與二分隊在塌方處停留矛盾，舍去；（）若二分隊在塌方處不停留，則（4+a）(7a)=30，即a23a+20,解得a1=1，a2=2均符合題意。答：二分隊?wèi)?yīng)在營地休息1小時或2小時。（其他解法只要合理即給分） (3)合理的圖像為（b）、（d）. 圖像（b）表明二分隊在營地休息時間過長（2a3），后于一分隊趕到A鎮(zhèn)；圖像（d）表明二分隊在營地休息時間恰當(dāng)（1a2），先于一分隊趕到A鎮(zhèn)。 此題從表面上看是一元一次方程和一元二次方程應(yīng)用題，實際上是一個分段函數(shù)問題，解決整個問題關(guān)鍵是找清楚塌方前和塌方后時間與路程之間的關(guān)系，只是中間有“在塌方處是否停留”作為分

9、類的標(biāo)準(zhǔn)提高了難度。特別是在第3問中讓大家選擇圖像時，可以說命題人要考查分段函數(shù)意圖得到了充分的體現(xiàn)。 例4、（2009年）已知某種水果的批發(fā)單價與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖（1）所示金額w（元）O批發(fā)量m（kg）300200100204060（1）請說明圖中、兩段函數(shù)圖象的實際意義O60204批發(fā)單價（元）5批發(fā)量（kg）圖（1）O6240日最高銷量（kg）80零售價（元）圖（2）48（6，80）（7，40）（2）寫出批發(fā)該種水果的資金金額w（元）與批發(fā)量m（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式；在下圖的坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象；指出金額在什么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果（3）經(jīng)調(diào)查，某經(jīng)銷商

10、銷售該種水果的日最高銷量與零售價之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，該經(jīng)銷商擬每日售出60kg以上該種水果，且當(dāng)日零售價不變，請你幫助該經(jīng)銷商設(shè)計進(jìn)貨和銷售的方案，使得當(dāng)日獲得的利潤最大解：（1）圖表示批發(fā)量不少于20kg且不多于60kg的該種水果，可按5元/kg批發(fā)；金額w（元）O批發(fā)量m（kg）300200100204060240圖表示批發(fā)量高于60kg的該種水果，可按4元/kg批發(fā)（2）解：由題意得：，函數(shù)圖象如圖所示由圖可知資金金額滿足240w300時，以同樣的資金可批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果（3）設(shè)日最高銷售量為xkg（x60）則由圖日零售價p滿足：，于是銷售利潤當(dāng)x80時，此時p6即經(jīng)銷商

11、應(yīng)批發(fā)80kg該種水果，日零售價定為6元/kg 如果說08年的中考壓軸題中分段函數(shù)是隱藏在里面，那么09年的壓軸題對分段函數(shù)進(jìn)行了最全面的考查。由圖像得出解析式然后再由解析式畫圖像，函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)的非常明顯。在解分段函數(shù)時首先要注意自變量的取值范圍，哪些是包含的哪些是不包含的要看清楚，其次分段函數(shù)的關(guān)系式的書寫要有規(guī)范如，再次要認(rèn)真分析每一個自變量段之間的函數(shù)關(guān)系。分段函數(shù)題是近兩年來安徽省中考題的熱點，也是與高中知識聯(lián)系最緊密的地方。3、“新定義試題”不斷出現(xiàn) 所謂定義試題是指在試題中出現(xiàn)新的概念，讓學(xué)生通過認(rèn)識新的概念，分析概念從而去解決問題的的試題。可以這么說，新定義試題

12、的出現(xiàn)首先來源于安徽省中考，03年的中考中已經(jīng)出現(xiàn)了。 例5 、（2003年）如圖，這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把這與正三角形的接近程度稱為“正度”。在研究“正度”時，應(yīng)保證相似三角形的“正度”相等。設(shè)等腰三角形的底和腰分別為a，b，底角和頂角分別為，。要求“正度”的值是非負(fù)數(shù)。同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子|a-b|來表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子|-|來表示“正度”，|-|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。探究：（1）他們的方案哪個較合理，為什么？2）對你認(rèn)為不夠合理的方案，請加以改進(jìn)（給出式子即可）；（3）請再給出一種衡量“

13、正度”的表達(dá)式解：（1）同學(xué)乙的方案較為合理。因為|-|的值越小，與越接近600，因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相似三角形的“正度”相等。 同學(xué)甲的方案不合理，不能保證相似三角形的“正度”相等。如：邊長為4，4，2和邊長為8，8，4的兩個等腰三角形相似，但|2-4|=2|4-8|=4 （2）對同學(xué)甲的方案可改為用等（k為正數(shù)）來表示“正度” （3）還可用等來表示“正度”。 此題在2003年的中考中得分率非常低，關(guān)鍵是有很多學(xué)生不理解“正度”的概念，實際上這個題就是一個概念分析題，通過對概念的多角度理解，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力。正是因為此題得分率很低，新定義試題在安徽省中考

14、中消失了幾年，但是它留給大家的卻是對壓軸題命題新方向的思考。例6 、（2006年）如圖（ l ) ，凸四邊形 ABCD ，如果點P滿足APD APB =且B P C CPD ，則稱點P為四邊形 ABCD的一個半等角點 ( l ）在圖（ 3 ）正方形 ABCD 內(nèi)畫一個半等角點P，且滿足。( 2 ）在圖（ 4 ）四邊形 ABCD 中畫出一個半等角點P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法） . ( 3 ）若四邊形 ABCD 有兩個半等角點P1 、P2（如圖（ 2 ) ) ，證明線段P1 P2上任一點也是它的半等角點 。解：（1）P點在AC上且不是AC的重點和AC的端點；（2）、作B點關(guān)于AC的對稱點E，連

15、接DE交AC于P點，則P點即為所求；（3）、連P1 A、P1 B 、 P1 D、 P2 C、 P2 D 、 P2 C 由 得B、D關(guān)于A、C對稱得 從而P是它的半等角點。 從2003年到2006年中間間隔了兩年，這個新定義試題讓安徽省中考數(shù)學(xué)壓軸題的新穎和深度走在了全國中考命題的前列。 此題由一個定義提出了一個新的概念，通過作圖對這個概念進(jìn)行了由淺入深的分析，然后對這個概念進(jìn)行了應(yīng)用。符合對數(shù)學(xué)知識提出問題、分析問題、解決問題的規(guī)律，中間考查了對稱這一非常重要的知識點，并且考查了三角形全等、四邊形的性質(zhì)等基本的數(shù)學(xué)知識以及構(gòu)造的數(shù)學(xué)思想，當(dāng)然更重要的是考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。 可以說06年的

16、壓軸題也是當(dāng)年各地中考題的經(jīng)典之作，此后各地中考新定義試題不斷的涌現(xiàn)。 4、“概率題”首次出現(xiàn)在壓軸題中例7、（2005年試驗區(qū)）兩人襖去某風(fēng)景區(qū)游玩, 每天某一時段開往該風(fēng)景區(qū)有三輛汽車(票價相同),但是他們不知道這些車的舒適程度, 也不知道汽車開過來的順序. 兩人采用了不同的乘車方案:甲無論如何總是上開來的第一輛車. 而乙則是先觀察后上車, 當(dāng)?shù)谝惠v車開來時, 他不上車, 而是子癇觀察車的舒適狀況, 如果第二輛車的舒適程度比第一輛好, 他就上第二輛車; 如果第二輛車不比第一輛好, 他就上第三輛車.如果把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三等, 請嘗試著解決下面的問題:(1) 三輛車按出現(xiàn)的先

17、后順序工有哪幾種不同的可能?(2) 你認(rèn)為甲、乙采用的方案, 哪一種方案使自己乘上等車的可能性大? 為什么?解：(1)三輛車開來的先后順序有6種可能：(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、中、上)、(下、上、中).(2)由于不知道任何信息，所以只能假定6種順序出現(xiàn)的可能性相同.我們來研究在各種可能性的順序之下，甲、乙二人分別會上哪一輛汽車：于是不難得出，甲乘上、中、下三輛車的概率都是；而乙乘上等車的概率是，乘中等車的概率是，乘下等車的概率是.乙采取的方案乘坐上等車的可能性大.把概率問題作為壓軸題可以說是安徽省中考題的特色，當(dāng)年正因為是試驗區(qū)第一次大考，所以題目的

18、難度不是很大。 5、有關(guān)“圓”的問題“沉寂多年” “圓”作為初中階段內(nèi)容比例較大的部分，因為難度較大，曾經(jīng)作為考試的重點，但是為了考慮到學(xué)生的負(fù)擔(dān)最近幾年沒有了，但是2002年的經(jīng)典壓軸題仍使我們記憶猶新。 例8、（2002年）某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時，進(jìn)行如下討論：甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時，它也不一定是正多邊形，如圖一，ABC是正三角形，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是5時，它是正多邊形，我想，邊數(shù)是7時，它可能也是正多邊形（1） 請你說明乙同學(xué)構(gòu)造的六

19、邊形各內(nèi)角相等（2）請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG（如圖二）是正七邊形（不必寫已知、求證）（3） 根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想（不必證明） （圖一） （圖二） 解：（1）由圖知AFC對因為，而DAF對的所以AFCDAF同理可證，其余各角都等于AFC所以，圖一六邊形各內(nèi)角相等（2）因為A對，B對，又因為AB，所以，所以同理所以七邊形ABCDEFG是正七邊形（3）猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時（或當(dāng)邊數(shù)3，5，7，9，時），各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形此題以考查正多邊形的概念為基礎(chǔ)，在兩個基本問題的基礎(chǔ)上，探索了“邊是奇數(shù)時，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”，這一非常重要的結(jié)論，其實，難度不大，考查了生分析問題解決問題的能力，富有新意。 6、從分類中看以后的中考壓軸題 因為09年的中考題比較難，所以10年的中考題從總體難度上肯定要小一些，但是壓軸題是不是一定在難度上小一些？我認(rèn)為不一定。一份