一元方差分析ppt課件

1、二、二元方差分析二、二元方差分析 一一 、一元方差分析、一元方差分析 方差分析方差分析二、統(tǒng)計(jì)分析二、統(tǒng)計(jì)分析一一 、總平方和的分解、總平方和的分解單因素試驗(yàn)的方差分析 例1 假定某型號(hào)的電子管的使用壽命服從正態(tài)分布，并且原料差異只影響平均壽命，不影響方差 。現(xiàn)用三種不同來源的材料各試生產(chǎn)了一批電子管。從每批中各抽取若干只做壽命實(shí)驗(yàn)，得數(shù)據(jù)如下表。2試問測(cè)試結(jié)果是否說明這批電子管的壽命有明顯差異？材料批號(hào)壽命測(cè)定值 (單位:小時(shí)）1231600 1610 1650 1680 1700 1700 18001580 1640 1640 1700 17501460 1550 1600 1620 16

2、40 1660 1740 1820三個(gè)水平因素試驗(yàn)指標(biāo)例例2 2 設(shè)對(duì)四種玉米品種進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，每個(gè)品設(shè)對(duì)四種玉米品種進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，每個(gè)品種都在同一塊田的五個(gè)小區(qū)各做一次實(shí)驗(yàn)，實(shí)種都在同一塊田的五個(gè)小區(qū)各做一次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表所示。試問不同品種對(duì)玉米的平驗(yàn)結(jié)果如下表所示。試問不同品種對(duì)玉米的平均產(chǎn)量是否有顯著影響？均產(chǎn)量是否有顯著影響？品種品種產(chǎn)量斤產(chǎn)量斤/小區(qū)）小區(qū)）32.3 34.0 34.3 35.0 36.5 33.3 33.0 36.3 36.8 34.530.8 34.3 35.3 32.3 35.81A2A3A4A 29.3 26.0 29.8 28.0 29.8水平因素試驗(yàn)

3、指標(biāo)設(shè)在試驗(yàn)中，因素A有m個(gè)不同水平12,.,mA AA在水平下的試驗(yàn)結(jié)果2(,)(1,2,.,)iiXNim 。其中 和 是未知參數(shù)。在水平 下作 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果如表1所示。i2iAin123in11211mXXX12222mXXX13233mXXX11nXmmnX子樣均值 iX22nX1XmX2X容量樣本水平1A2AmA2. 數(shù)學(xué)模型表1 是來自總體 的容量為 的 一個(gè) 樣本，其觀察值為 12iiiinXXX， ，iXin2iiiinxxx， ，012:mH112:,mH 不全相等(1)由于 相互獨(dú)立，且ijX2(,)ijiXN 1,2,.,;1,2,iim jn若記那么( 1,2,;

4、1,2,)ijijiiXm jn2(0,),ijN且相互獨(dú)立 要判斷因素的各水平間是否有顯著差異，也就是要 判斷各正態(tài)總體的均值是否相等，即檢驗(yàn)假設(shè)2(0,)1,2,1,2,ijiijijijiXNimjn相互獨(dú)立(2)其中 與 均為未知參數(shù)。式2稱為單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型。iij11miiiiinn(1,2,)im(3)再令1miinn(5)1201,2,;1,2,(0,)ijiijmiiiiijXnimjnN且相互獨(dú)立則是各水平下總體均值的加權(quán)平均，稱為總平均值； 代表了第i水平下的總體均值與平均值的差異，這個(gè)差異稱為 的效應(yīng)，iiA10miiin(4)由式(2),(3)可以得到單因素方

5、差分析的等價(jià)數(shù)學(xué)模型它滿足式式(5)說明：樣本由總平均值說明：樣本由總平均值 因素的水平效應(yīng)因素的水平效應(yīng) 隨機(jī)誤差三部分疊加而成。隨機(jī)誤差三部分疊加而成。因而式因而式(5)也稱為線性可加模型。也稱為線性可加模型。(5)1201,2,;1,2,(0,)ijiijmiiiiijXnimjnN且相互獨(dú)立由于當(dāng) 為真時(shí)，0H12m，=各水平的效應(yīng)0,1,2,iiim=統(tǒng)計(jì)假設(shè)模型(1)等價(jià)于012:0mH112:,mH 不全為零(6)基本任務(wù)：根據(jù)樣本提供的信息，對(duì)假設(shè) (6)進(jìn)行檢驗(yàn)，并估計(jì)未知參數(shù)212,m，111,miiimiin Xnnn其中injijiin11 則類似記號(hào)：11111inr

6、rijiiijinnn通過分解，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量組內(nèi)平均111inmijijXXn11(1,2,)iniijjiXXimn(7)(8)兩者間的關(guān)系稱為總離差平方和。稱為總離差平方和。211()inmTijijSXX引入記號(hào)引入記號(hào)211()inmTijijSXX(10)總離差平方和分解總離差平方和分解221111()()iinnmmijiiijijXXXX211()inmijiiijXXXX112()()inmijiiijXXXX其中其中11()()inmijiiijXXXX221111()()iinnmmTijiiijijSXXXX22111()()inmmijiiiijiXXn XXEASS11

7、()()inmiijiijXXXX110inmiijiiijXXXn X211()inmEijiijSXX為各水平下的樣本與該水平下樣本均值的離差平方和，為各水平下的樣本與該水平下樣本均值的離差平方和，反映了各水平下樣本值的隨機(jī)波動(dòng)情況，稱為組內(nèi)平反映了各水平下樣本值的隨機(jī)波動(dòng)情況，稱為組內(nèi)平方和。方和。它是由試驗(yàn)的隨機(jī)誤差引起的，故又稱誤差平方和。它是由試驗(yàn)的隨機(jī)誤差引起的，故又稱誤差平方和。21()mAiiiSn XX為各水平下的樣本均值與樣本總均值的加權(quán)為各水平下的樣本均值與樣本總均值的加權(quán)離差平方和，反映了各水平間的樣本值的差異，離差平方和，反映了各水平間的樣本值的差異，稱為組間平方和

8、。稱為組間平方和。形成它的主要原因是因素形成它的主要原因是因素A的各水平下的不同的各水平下的不同效應(yīng)，故又稱為效應(yīng)平方和。效應(yīng)，故又稱為效應(yīng)平方和。221miiin XnX常見統(tǒng)計(jì)量常見統(tǒng)計(jì)量1 1、樣本均值、樣本均值2 2、樣本方差、樣本方差nkkXnX11設(shè)設(shè)nXXX,21是來自總體是來自總體X的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，常用來估計(jì)常用來估計(jì)EX.nkkXXnS122)(11nkkXnXn122)(11.,) 1 (2nXDXE.)()2(22SE,2DXEX結(jié)論：設(shè)為來自總體結(jié)論：設(shè)為來自總體 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，nXX,1X211()inmEijiijSXX222121()()()im

9、iiiiiniiXXXXXX12222111121112222122222222212()()()()()()()()()mnnmmmmmnmXXXXXXXXXXXXXXXXXX21(1)n222212(1)(1)(1)()EmSnnnnm21(1)miiinS2(,),ijiTXNS 且獨(dú)立 將寫成：2211()(1),inmTijijSXXnS22111 ()1inmijijSXXn其中2222(1)(1),(1)TQnSnn自由度為222111()inmmAiiiijiSXXn XnX2211(,),( ,),0mmiiiiiiiiXNXNnnnnn222211()mmAiiiiiiES

10、En XnXn E XnEX221(1)rAiiiESnn即22221()()miiiinnnn2222111(1)2mmmiiiiiiiimnnnn221(1)miiimn11 0 miiiiiimiiiAnnn 第 個(gè) 水 平的 效 應(yīng)故故2()EE Snm221(1)mAiiiE Smn(12)(13)記EESSnm2EE S22111mAiiiE Snm(14)(15)1AASSm的均方的均方ASES的均方的均方2EES22111mAiiiESnm(14)(15)(14)(14)及及(15)(15)兩式表明：兩式表明：ES是是 的無偏估計(jì)，的無偏估計(jì)，2AS僅當(dāng)僅當(dāng)0H成立時(shí)才是成立時(shí)

11、才是 的無偏估計(jì)，的無偏估計(jì)，2否則它的期望值要大于否則它的期望值要大于2。/AESS在在 成立時(shí)應(yīng)接近于成立時(shí)應(yīng)接近于1 1，0H而當(dāng)而當(dāng) H1成立時(shí)總有偏大的傾向。成立時(shí)總有偏大的傾向。如果比值如果比值比比1大得多，就應(yīng)拒絕假設(shè)大得多，就應(yīng)拒絕假設(shè)/AESS0H 。為此，我們采用為此，我們采用AESFS(16)作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。0H當(dāng) 成立時(shí)，2/ES與2/AS相互獨(dú)立，且分別服從自由度相互獨(dú)立，且分別服從自由度(n-m)，(m-1)的的 分布，故分布，故222/(1)/()AESmFSnm/(1)/()AESmSnm(1,)AESF mnmS復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：F 分布的分位點(diǎn)分布

12、的分位點(diǎn) 對(duì)于給定的正數(shù)對(duì)于給定的正數(shù)10 ,稱滿足條件稱滿足條件),(2121)(),(nnFdzzfnnFFP的點(diǎn)的點(diǎn)為為分位點(diǎn)分位點(diǎn)分布的上分布的上),(21nnF),(21nnF),(21nnF對(duì)給定的顯著性水平 ，由(1,)P FF mnm得檢驗(yàn)問題(1.1)或(1.6)的拒絕域?yàn)?1,)FF mnm(17)上述分析的結(jié)果可排列成表2的形式稱為方差分析表方差來源方差來源誤差誤差E因素因素A總和總和均方均方自由度自由度平方和平方和顯著性顯著性F比比211()inmEijiijSXXn m/()EESSn m/AEFSS1m1n/(1)AASSm211()inmTijijSXX21()m

13、AiiiSn XX在實(shí)際計(jì)算時(shí)，通常使用下列公式在實(shí)際計(jì)算時(shí)，通常使用下列公式22221111111iiinnnmmmTijijijijijijTSxxxnn22221111111iinnmmmiAijijijijiiiTTSxxnnnnETASSS11inmijijTx1,iniijjTx其中其中設(shè)對(duì)四種玉米品種進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，每個(gè)品種設(shè)對(duì)四種玉米品種進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，每個(gè)品種都在同一塊田的五個(gè)小區(qū)各做一次實(shí)驗(yàn)，實(shí)都在同一塊田的五個(gè)小區(qū)各做一次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表所示。試問不同品種對(duì)玉米的驗(yàn)結(jié)果如下表所示。試問不同品種對(duì)玉米的平均產(chǎn)量是否有顯著影響？平均產(chǎn)量是否有顯著影響？(=0.01)品種品種產(chǎn)

14、量斤產(chǎn)量斤/小區(qū)）小區(qū)）32.3 34.0 34.3 35.0 36.5 33.3 33.0 36.3 36.8 34.530.8 34.3 35.3 32.3 35.81A2A3A4A 29.3 26.0 29.8 28.0 29.8解解 分別以分別以 表示不同品種玉米平均表示不同品種玉米平均產(chǎn)量總體的均值，按題意需檢驗(yàn)假設(shè)產(chǎn)量總體的均值，按題意需檢驗(yàn)假設(shè)1234, 01234:H11234:,H 不全相等1234nnnn=5,1234nnnnn=20656.4,ijx 221677.50ijx 4m 品種地塊產(chǎn)量1A2A4A3A1 32.3 33.3 30.8 29.3 172.1 173

15、.9 168.5 141.9 656.45 36.5 34.5 35.8 28.84 35.0 36.8 32.3 28.03 34.3 36.3 35.3 29.82 34.0 33.0 34.3 26.0iT2iT2/5iT521ijjx 5923.682 6048.242 5678.45 4027.122 21677.5029618.41 30241.21 28392.25 20195.61 5933.03 6060.07 5696.15 4035.97 21725.2224521120TijijTSx47.72ETASSS2241520iAiTTS134.452注意到注意到4,m 12

16、345,nnnn可得方差分析表可得方差分析表656.421725.22182.172202656.421677.520方差分析表方差分析表方差來源方差來源誤差誤差E因素因素A總和總和均均 方方自由度自由度平方和平方和顯著性顯著性F 比比47.72ES 2.98ES 15.04F 44.817AS 182.172TS 134.452AS 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0.01由由F分布表可查得分布表可查得0.01(3,16)(3,16)5.29FF由于由于0.0115.045.29(3,16),FF故拒絕故拒絕0,H即認(rèn)為即認(rèn)為這四個(gè)品種對(duì)玉米平均產(chǎn)量的影響高度顯著。這四個(gè)品種對(duì)玉米平均產(chǎn)量的影響高度顯著。31

17、916作區(qū)間估計(jì)，ji作點(diǎn)估計(jì)對(duì)為此可用jijiXX)11(),()(2jijijijijinnNXX，有代替以的無偏估計(jì)為EEESrnQS,22)()11()(rntSnnXXTEjijiji）（)()(2222rnSrnQEEjiHji,:1至少有一對(duì)接受有時(shí)需要對(duì)有時(shí)需要對(duì)ji那么 的置信度為1 的置信區(qū)間為11)(2EjijiSnnrntXX由上面討論，可得未知參數(shù)由上面討論，可得未知參數(shù)2,i 的估計(jì)的估計(jì)2ESnm是是 的無偏估計(jì)。的無偏估計(jì)。21111iinniijiijjiiE XE Xnn11111iinnmijiiiijjE XE XnnniiXX, 如果檢驗(yàn)結(jié)果為拒絕如果

18、檢驗(yàn)結(jié)果為拒絕 ，0H即即12,m 不全相等。不全相等。 有時(shí)需要對(duì)第有時(shí)需要對(duì)第i個(gè)水平及第個(gè)水平及第k個(gè)水平均個(gè)水平均值差值差 作出區(qū)間估計(jì)。作出區(qū)間估計(jì)。ik為此，我們可以取為此，我們可以取作為作為 的點(diǎn)估計(jì)，的點(diǎn)估計(jì)，ikXXik注意到注意到()ikikE XX211()()ikikD XXnn()(0,1)11ikikikXXNnn又又2/ESnm是是 的無偏估計(jì)，的無偏估計(jì)，2而而2/ES2(),nm可以證明可以證明 與與 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。ikXXES2()1/1/()ikikikEXXnnTSnm() ()11()ikikEikXXt nmSnm nnik的置信度為的置信度為

19、 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1211()()ikEikXXtnmSnn 求例2中未知參數(shù) 的點(diǎn)估計(jì)及均值差的置信度為0.95的區(qū)間估計(jì)。2i， ，解解 的點(diǎn)估計(jì)為222.98ESSnm= 及 的無偏估計(jì)分別為i45111656.432.8220ijijxxn(1,2,3,4)5iiiTxi1134.42,5T2234.78,5T333.70,428.38。當(dāng)0.05 時(shí)， /20.025(204)(16)2.1199tt0.02511(16)()EiktSnn12,13,13的置信度為的置信度為0.95的置信的置信區(qū)間分別為區(qū)間分別為22.11992.982.3155(34.4233.702.3

20、15,34.4233.702.315)( 1.595,3.035) 34.4228.382.315,34.4228.382.315(3.725,8.355)(34.4234.782.315,34.4234.782.315)( 2.675,1.955) 121341 因素因素A分分3個(gè)水平，對(duì)每個(gè)水平進(jìn)行個(gè)水平，對(duì)每個(gè)水平進(jìn)行4次試驗(yàn)，次試驗(yàn)，結(jié)果如下表：結(jié)果如下表：1 38 20 21 試驗(yàn)號(hào)試驗(yàn)號(hào)i2 36 24 22 3 35 26 31 4 31 30 34 因因 素素 水水 平平1A3A2A假定樣本都是從同方差的正態(tài)總體中抽取的。假定樣本都是從同方差的正態(tài)總體中抽取的。 （1在顯著性水

21、平 下，檢驗(yàn)假設(shè)0.050:H組均值相等。組均值相等。 （2求未知參數(shù)及的點(diǎn)估計(jì)以及均值差的置信區(qū)間置信度為的點(diǎn)估計(jì)以及均值差的置信區(qū)間置信度為95%）2123, , 123, 解解（1用下表進(jìn)行計(jì)算用下表進(jìn)行計(jì)算1 38 1444 20 400 21 414 試驗(yàn)號(hào)試驗(yàn)號(hào)i2 36 1296 24 576 22 484 3 35 1225 26 676 31 9614 31 961 30 900 34 1156因因 素素 水水 平平1A3A2A21jnjijiQx 4926 2552 3042 10520jQ 1ix2ix23ix3ix22ix21ix 140 100 108 19600 1

22、0000 11664 4900 2500 2916 1jnjijiTx2jTjjjTPn348jTT10316jP221110520(348)42812TjSQTn2110316 10092224AjSPTn428224209ETASSS方差分析表方差分析表方差來源因素誤差總和 224 3-1=2 112 4.94 204 13-3=9 22.67 428 12-1=11 均方自由度平方和 比AF查表得查表得0.05(2,9)4.26,4.944.26,AESFFS回絕回絕0,H即在顯著性水平下，可以認(rèn)為組平即在顯著性水平下，可以認(rèn)為組平0.05均值在整體上是有顯著差異的。均值在整體上是有顯著

23、差異的。（2）222.67EESSns1.1140/44.26x2.23.325,27xx1348291212xT1.135296xx查表查表0.025(9)2.2622t。0.0511(9)()EjktSnn121323, 的置信度為的置信度為95%的置信區(qū)間分別為的置信區(qū)間分別為(2.3837,17.6162),(0.3837,15.6162)3.327292xx 2.225294xx ( 9.6162,5.6162)2.2622222.6747.61626 一共進(jìn)行了一共進(jìn)行了13次試驗(yàn)，假設(shè)樣本都是從同次試驗(yàn)，假設(shè)樣本都是從同方差的正態(tài)總體中抽取的，試驗(yàn)結(jié)果如下表：方差的正態(tài)總體中抽取的，試驗(yàn)結(jié)果如下表： 1 2 3 4 5 6試驗(yàn)號(hào)i因素水平1A2A3A 37 47 40 60 60 86 67 92 95 98 69 100 98 （1在顯著性水平在顯著性水平 下檢驗(yàn)假設(shè)下檢驗(yàn)假設(shè)0.0101231123:,:,HH 不全相等（2求求 及及 的點(diǎn)估計(jì)及均值的點(diǎn)估計(jì)及均值2, ,i (1,2,3)ii差的差的95%置信區(qū)間。置信區(qū)間。解解用下表進(jìn)行計(jì)算，得用下表進(jìn)行