第四講空間幾何體

1、第04講：空間幾何體一【要點精講】1柱、錐、臺、球的結構特征（1）柱棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱為底；其余各面叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。底面是三角形、四邊形、五邊形的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的母線棱柱與

2、圓柱統(tǒng)稱為柱體；一些特殊棱柱的概念和主要性質棱柱直棱柱正棱柱名稱定 義有兩個面互相平行，而其余每相鄰兩個面的交線都互相平行的多面體側棱垂直于底面的棱柱底面是正多邊形的直棱柱側棱平行且相等平行且相等平行且相等側面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對角面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底面的截面的形狀與底面全等的多邊形與底面全等的多邊形與底面全等的正多邊形（2）錐棱錐：一般的，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。底面是三

3、角錐、四邊錐、五邊錐的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉形成的曲面叫做圓錐的側面。棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體（3）臺棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側面、側棱、頂點。圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側面、母線、軸圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。名稱棱錐正棱錐棱臺正棱臺圖

4、形定義有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形的多面體底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的射影是底面和截面之間的部分用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分由正棱錐截得的棱臺側棱相交于一點但不一定相等相交于一點且相等延長線交于一點相等且延長線交于一點側面的形狀三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形對角面的形狀三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形狀與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形其他性質高過底面中心；側棱與底面、側面與底面、相鄰兩側面所成角都相等兩底中心連線即高；側棱與底面、側面與底面、相鄰兩側面所成角都相等（

5、4）球以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。（5）組合體由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫組合體。2空間幾何體的三視圖三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。他具體包括：（1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；（2）側視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度；.三視圖畫法規(guī)則高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊長對正：主視圖

6、與俯視圖的長應對正寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應相等3空間幾何體的直觀圖（1）斜二測畫法建立直角坐標系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐標系；畫出斜坐標系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應的OX,OY,使=450（或1350），它們確定的平面表示水平平面；畫對應圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?；擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）。（2）平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點4、空間

7、幾何體的表面積和體積名稱側面積(S側)全面積(S全)體 積(V)棱柱棱柱直截面周長×lS側+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱錐棱錐各側面積之和S側+S底S底·h正棱錐ch棱臺棱臺各側面面積之和S側+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱臺 (c+c)h表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h表示斜高，l表示側棱長。2旋轉體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球S側2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22

8、)R3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺 上、下底面半徑，R表示半徑二【典例解析】題型1：三視圖例1（1）畫出下列幾何體的三視圖（2）解析：這二個幾何體的三視圖如下（2）如圖，設所給的方向為物體的正前方，試畫出它的三視圖（單位：cm）點評：畫三視圖之前，應把幾何體的結構弄清楚，選擇一個合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應符合三條投射規(guī)律。例2某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀解析：該幾何體為一個正四棱錐分析：三視圖是從三個不同的方向看同

9、一物體得到的三個視圖。點評：主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀（2010北京理數(shù)）（3）一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正（主）視圖與側（左）視圖分別如右圖所示，則該幾何體的俯視圖為 題型3：空間幾何體的表面積和體積例1一個長方體全面積是20cm2，所有棱長的和是24cm，求長方體的對角線長.解：設長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、lcm依題意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）

10、（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。練習一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是（ ）A2 B3 C6 D解析：設長方體共一頂點的三邊長分別為a=1，b，c，則對角線l的長為l=；答案D。點評：解題思路是將三個面的面積轉化為解棱柱面積、體積的幾何要素棱長。例2如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1V2= _ _。解：設三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2Sh。E、F分別為AB、AC的中點，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=

11、Sh-V1=Sh，V1V2=75。點評：解題的關鍵是棱柱、棱臺間的轉化關系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應關系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結論即可題型2：空間幾何體的構造例11.如圖，已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊長分別為3和4，過直角頂點的側棱長為4，且垂直于底面，該三棱錐的主視圖是2. (2009湖南卷理)正方體ABCD的棱上到異面直線AB，C的距離相等的點的個數(shù)為（C）A2 B 3 C. 4 D. 5 【解析】解析如圖示，則BC中點，點，點，點分別到兩異面直線的距離相等。即滿足條件的點有四個，故選B項例2（07江蘇9）兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體

12、內，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（ ）A1個B2個 C3個D無窮多個解析：由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，有對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，問題轉化為邊長為1的正方形的內接正方形有多少種，所以選D。點評：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學會將空間問題向平面問題轉化。（2010陜西文數(shù)） 8.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該

13、幾何體的體積是（A）2（B）1（C）（D）解析：本題考查立體圖形三視圖及體積公式如圖，該立體圖形為直三棱柱所以其體積為（2010遼寧理數(shù)）（15）如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為_.【答案】【命題立意】本題考查了三視圖視角下多面體棱長的最值問題，考查了同學們的識圖能力以及由三視圖還原物體的能力。【解析】由三視圖可知，此多面體是一個底面邊長為2的正方形且有一條長為2的側棱垂直于底面的四棱錐，所以最長棱長為（2010浙江文數(shù)）（8）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（A）cm3 （B） cm3（C）cm3

14、 （D）cm3解析：，本題主要考察了對三視圖所表達示的空間幾何體的識別以及幾何體體積的計算，屬容易題（2010天津文數(shù)）（12）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 ?！窘馕觥勘绢}主要考查三視圖的基礎知識，和主題體積的計算，屬于容易題。由俯視圖可知該幾何體的底面為直角梯形，則正視圖和俯視圖可知該幾何體的高為1，結合三個試圖可知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何題的體積為【溫馨提示】正視圖和側視圖的高是幾何體的高，由俯視圖可以確定幾何體底面的形狀，本題也可以將幾何體看作是底面是長為3，寬為2，高為1的長方體的一半。例3 7. (2009山東卷理)一空間幾何體的三視圖如圖所

15、示,則該幾何體的體積為( ).A. B. C. D. 【解析】:該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,2 2 2 正(主)視圖 2 2 側(左)視圖 圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為,四棱錐的底面邊長為，高為，所以體積為所以該幾何體的體積為.答案:CPABCDOE俯視圖 例4.(2009年廣東卷文)（本小題滿分13分）某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖4所示,墩的上半部分是正四棱錐PEFGH,下半部分是長方體ABCDEFGH.圖5、圖6分別是該標識墩的正(主)視圖和俯視圖.（1）請畫出該安全標識墩的側(左)視圖;（2）求該安全標識墩的體積（3）證明:直線BD平面PEG【解析】(1)側視圖

16、同正視圖,如下圖所示.（）該安全標識墩的體積為：（）如圖,連結EG,HF及 BD，EG與HF相交于O,連結PO. 由正四棱錐的性質可知,平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG；. 題來求解。構造以點B為頂點，EFG為底面的三棱錐是解此題的關鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運算。例52009年上海卷理）已知三個球的半徑，滿足，則它們的表面積，滿足的等量關系是_. 【答案】【解析】，同理：，即R1，R2，R3，由得（2010湖北理數(shù)）13.圓柱形容器內部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如

17、圖所示），則球的半徑是 cm。13.【答案】4【解析】設球半徑為r，則由可得,解得r=4.例6是正ABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那么ABC的面積為_。解析：。點評：該題屬于斜二測畫法的應用，解題的關鍵在于建立實物圖元素與直觀圖元素之間的對應關系。特別底和高的對應關系。三【思維總結】1.幾種常凸多面體間的關系2.一些特殊棱柱、棱錐、棱臺的概念和主要性質名稱棱柱直棱柱正棱柱圖 形定 義有兩個面互相平行，而其余每相鄰兩個面的交線都互相平行的多面體側棱垂直于底面的棱柱底面是正多邊形的直棱柱側棱平行且相等平行且相等平行且相等側面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對角面的形狀平行四邊形

18、矩形矩形平行于底面的截面的形狀與底面全等的多邊形與底面全等的多邊形與底面全等的正多邊形名稱棱錐正棱錐棱臺正棱臺圖形定義有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形的多面體底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的射影是底面和截面之間的部分用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分由正棱錐截得的棱臺側棱相交于一點但不一定相等相交于一點且相等延長線交于一點相等且延長線交于一點側面的形狀三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形對角面的形狀三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形狀與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形其他性質高過底面中心；側棱與底面、側面與底面、相鄰兩側面所成角都相等兩底中心連線即高；側棱與底面、側面與底面、相鄰兩側面所成角都相等幾種特殊四棱柱的特殊性質名稱特殊性質平行六面體底