比例式、等積式證明的常用方法

1、比例式、等積式證明的常用方法一、三點(diǎn)定形法例1如圖，在RtABC中，NACB=90 , CD_LAB于D, E為AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) P,求證：PD2 =PB PC例2如圖，在 AABC中，AB _L AC , D為BC中點(diǎn),DE _L BC交AC于F ,交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于E .求證：AD2 = DE DF7注：三點(diǎn)定形法證明等積式的一般步驟：1 .先把等積式轉(zhuǎn)化為比例式；2 .觀(guān)察比例式的線(xiàn)段確定可能相似的兩個(gè)三角形;3 .再找這兩個(gè)三角形相似所需的條件.二、找相等的量（比、線(xiàn)段、等積式）替換1、等線(xiàn)段替換例 1 已知等腰 AABC 中，AB = AC, AD _L BC

2、于 D , CG/AB , BG 分別交 AD、2_BAC 于 E、F ,求證：BE =EF EG例 2 如圖，在 MBC 中，AB = AC , AD _L BC 于 D , BE _L AC 于 E , EG _L BC 于 G ,L是AF的中點(diǎn).求證：CD2=EGDL例3求證:_2OA =OC OE.DB如圖，在 AABC 中，AB .L AC , AD 1 BC , E 為 AC 中點(diǎn),ED延長(zhǎng)線(xiàn)交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于F .求證：AB AF =AC DF2、等比替換已知梯形 ABCD中，AB/CD, AC、BD交于點(diǎn)O, BE/ AD交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) E,3、等積替換例5如圖，在 MBC中，

3、AD、BF分別是BC、AC邊上的高，過(guò)D作AB的垂線(xiàn)交AB于E ,交BF于G ,交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于H .求證：DE 2 = EG EH .例6如圖，已知 CE是RtAABC斜邊AB上的高，在 EC的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn) P,連結(jié)AP, BG_LAP 垂足為 G,交 CE 于 D,求證：CE2 = PE DE .注：當(dāng)要證明的比例式中的線(xiàn)段在同一條直線(xiàn)上時(shí)，可以用相等的比、相等的線(xiàn)段、相等的等積式來(lái)替換相應(yīng)的量，把看似無(wú)路可走的題目盤(pán)活，從而達(dá)到“車(chē)到山前疑無(wú)路，柳暗花 明又一村”的效果.三、把求證等積式、比例式轉(zhuǎn)化為求證垂直、求證角、線(xiàn)段相等，使證明簡(jiǎn)化1 . _例1 已知在正方形 ABCD中，E是AB

4、的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上的一點(diǎn)，且 AF=1AD,42EG -LCF ,垂足為 G ,求證：EG =CG FG .四、利用相似三角形的性質(zhì)例 1 如圖，RtAABC 中，NACB =90 , CD _L AB 于點(diǎn) D , /CAB 的平分 AE 交 CD 于 點(diǎn)F ,交CB于點(diǎn)E .求證：AF CB =CD .AE .ADB注：相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比，我們可以利用這些性質(zhì)來(lái)證明有關(guān)的等積式往往會(huì)起到事半功倍的效果！練習(xí)鞏固：1.如圖，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且/ADE =/C求證：(1) AADE s AACB ； (2) AD AB = AE AC .2 .如圖， MBC中，點(diǎn)DE在邊BC上，且 MDE是等邊三角形，/ BAC =120求證：(1) AADB s ACEA ; ( 2 ) DE 2 = BD CE ;(3) AB AC = AD BC .3 .如圖，在平行四邊形 ABCD中，E為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，ND =/ECA.求證：AD EC =AC EB4 .如圖， AD為 MBC中NBAC的平分線(xiàn)，EF是AD的垂直平分線(xiàn).求證：FD2 = FC FB 。B5 .如圖，E是平行四邊形 ABCD的邊DA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),EC交AB于點(diǎn)G ,交BD于點(diǎn) F ,求證：FC