2012-2013學(xué)年高中數(shù)學(xué) 1.2.4等差數(shù)列的綜合應(yīng)用2學(xué)案 北師大版必修5

1、第4課時等差數(shù)列的綜合應(yīng)用思路方法技巧命題方向已知Sn求an例1已知數(shù)列an的前n項和Sn=-n2+n,求數(shù)列an的通項公式an.S1(n=1)分析利用an與Sn的關(guān)系an= ，求解. Sn-Sn-1 (n2)解析當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=（-n2+n）- (n-1) 2+ (n-1)=-3n+104.當(dāng)n=1時，a1=S1=-+=101滿足上式，an=-3n+104(nN+).說明由Sn求通項公式an時，要分n=1和n2兩種情況，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示.變式應(yīng)用1Sn是數(shù)列an的前n項和，根據(jù)條件求an.（1）Sn=2n2+3n2；（2）S

2、n=3n-1.解析（1）當(dāng)n=1時，a1=S1=7,當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n2)-2(n-1) 2+3(n-1)2=4n+1，又a1=7不適合上式， 7（n=1）an= .4n+1(n2)(2)當(dāng)n=1時，a1=S1=2,當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=（3n-1）-（3n-1-1）=2×3n-1，顯然a1適合上式，an=2×3n-1(nN+).命題方向求數(shù)列|an|的前n項和例2已知數(shù)列an的前n項和Sn=12n-n2,求數(shù)列|an|的前n項和Tn.分析由Sn12n-n2知Sn是關(guān)于n的無常數(shù)項的二次函數(shù)且nN+，可知an是等差數(shù)列，可求出an，然后

3、再判斷哪些項為正，哪些項為負，最后求出Tn.解析當(dāng)n=1時，a1=S1=12-12=11.當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=(12n-n2)-12(n-1)-(n-1) 2=13-2n.又n=1時適合上式，an的通項公式為an=13-2n.由an=13-2n0得n，即當(dāng)1n6(nN+)時，an>0,當(dāng)n7時，an<0. 當(dāng)1n6（nN+）時，Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=12n-n2.當(dāng)n7(nN+)時，Tn=|a1|+|a2|+|an|=(a1+a2+a6)-(a7+a8+an)=S6-(Sn-S6)=2S6-Sn=2(12×6-62)-11n+&

4、#215;(-2)=n2-12n+72. 12n-n2(1n6,nN+)Tn= . n2-12n+72(n7,nN+)說明對于帶絕對值符號的數(shù)列求和問題，應(yīng)先弄清n取什么值時，an>0或an<0，然后求解.本題的易錯點是：（1）對n在什么范圍內(nèi)取值時，an>0或an<0的討論.（2）在求Tn時需對n的范圍進行分類討論，不能忽略了當(dāng)1n6時的情況.變式應(yīng)用2等差數(shù)列an的前n項和為Sn=-5n2+20n，求數(shù)列|an|的前n項和Sn.解析設(shè)首項為a1，公差為d，則a1=S1=15,S2=-5×4+40=20.a2=S2-a1=5,d=a2-a1=-10.an=-

5、10n+25.由an0,即-10n+250，得n2.5,又nN+，a1,a2為正，a3,a4,為負,當(dāng)n2時，|an|=an,Sn=-5n2+20n;當(dāng)n>2時，|an|=-an,Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2-a3-a4-an=-(a1+a2+an)+2(a1+a2)=-Sn+2S2=5n2-20n+40. -5n2+20n（n2）Sn= .5n2-20n+40（n>2）命題方向等差數(shù)列前n項和性質(zhì)例3項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，求這個數(shù)列的中間項及項數(shù).分析設(shè)項數(shù)為2n1，則奇數(shù)項有n項，偶數(shù)項為n-1項，由奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的

6、關(guān)系，列式求解.解析設(shè)等差數(shù)列共2n-1項，則奇數(shù)項有n項，偶數(shù)項有n-1項，中間項是第n項，記為an,設(shè)公差為d,S奇a1+a3+a5+a2n-1=44則S偶a2+a4+a6+a2n-2=33S奇S偶nan-(n-1)an=an=11即中間項an=11.又S2n-1=S奇S偶77.=77(2n-1)×1177，2n-1=7.即數(shù)列的中間項為11，這個數(shù)列共7項.說明等差數(shù)列an中，公差為d:若共有2n項，則S2n=n(an+an+1);S偶S奇nd;S偶：S奇an+1：an.若共有2n-1項，則S2n-1=(2n-1)an;S奇S偶an;S偶：S奇（n-1）：n.變式應(yīng)用3在等差數(shù)

7、列an中，前12項和為354，前12項中奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為27：32,求公差d.解析解法一：設(shè)這個數(shù)列的首項為a1,公差為d,則12a1+d=354.=d=5. S奇S偶354， S偶192，解法二： S奇162.又S偶S奇6d,d=5.探索延拓創(chuàng)新命題方向等差數(shù)列的實際應(yīng)用例4從5月1日開始，有一新款服裝投入某商場銷售，5月1日該款服裝銷售出10件，第二天銷售出25件，第三天銷售出40件，以后，每天售出的件數(shù)分別遞增15件，直到5月13日銷售量達到最大，然后，每天銷售的件數(shù)分別遞減10件.（1）記該款服裝五月份日銷售量與銷售天數(shù)n的關(guān)系為an，求an；（2）求五月份的總銷售量；（3

8、）按規(guī)律，當(dāng)該商場銷售此服裝超過1300件時，社會上就流行，而日銷售量連續(xù)下降，且日銷售量低于100件時，則流行消失，問：該款服裝在社會上流行是否超過10天？說明理由.分析由題意可知：從5月1日到5月13日，服裝日銷售量成遞增的等差數(shù)列；從5月14日到5月31日，服裝日銷售量成遞減的等差數(shù)列.解答本題可先確定an與n的關(guān)系，然后用等差數(shù)列的前n項和公式解決問題.解析（1）依題意，數(shù)列a1,a2,a13是首項為10，公差為15的等差數(shù)列.an=15n-5(1n13)，a14,a15,a16,a31是首項為a14=a13-10=180,公差為-10的等差數(shù)列.an=180+(n-14)(-10)=

9、-10n+320(14n31)， 15n-5(1n13，nN+)an= .-10n+320(14n31，nN+)(2)五月份的總銷售量為+17×180+3000（件）.(3)5月1日至5月13日銷售總數(shù)為=1200<1300.5月13日前還沒有流行，由-10n+320<100得n>22,第22天流行結(jié)束，故該服裝在社會流行沒有超過10天.說明數(shù)列應(yīng)用題的解法一般是根據(jù)題設(shè)條件，建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系（即等差數(shù)列模型），然后確定公差、首項、項數(shù)是什么，分清an與Sn,然后選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，最后回歸實際.變式應(yīng)用4某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，共需1 150萬

10、元，購買當(dāng)天先付150萬元，以后每月這一天都交付50萬元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交付150萬元后的第一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第10個月應(yīng)付多少錢？全部付清后，買這40套住房實際花了多少錢？解析因購房時付150萬元，則欠款1 000萬元，依題意分20次付款，則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列an.則a1=50+1 000×1%=60,a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,a3=50+(1 000-50×2)×1%=59,a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5,an=50+1 000-50

11、(n-1)×1%=60- (n-1)(1n20,nN).an是以60為首項，-為公差的等差數(shù)列，a10=60-9× =55.5，a20=60-19× =50.5.S20=×（a1+a20）×20=10×（60+50.5）=1 105.實際共付1 105+150=1 255萬元.名師辨誤做答例5已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足關(guān)系式lg(Sn+1) =n+1(n=1,2,),試求數(shù)列an的通項公式.誤解由lg(Sn+1)=n+1得Sn=10n+1-1.an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=9·10n.數(shù)列an的通項公式為an=9·10n. S1,n=1辨析上面解法在運用公式an= 時漏掉了n=1時的情況，實際上當(dāng)n=1時，Sn-Sn-1,n2a1=S1=1