電-力-聲類比講解

1、電一力一聲 類比引言：電一力一聲類比是應(yīng)用電路理論來解決力學(xué)與聲學(xué)問題。定義：根據(jù)描述電振蕩系統(tǒng)的微分方程和描述力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)及聲振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程在 形式上的相似性，常將力學(xué)量和聲學(xué)量與相應(yīng)的電學(xué)量作類比，以便借助電路理論來分析力學(xué)振動(dòng)和聲振動(dòng)的規(guī)律，稱電一力一聲類比。類比方法有二種：一種為阻抗型類比， 也稱正類比；另一種為導(dǎo)納型類比， 也稱反類比。 § 5-1電路元件及基本的電振蕩器在電學(xué)系統(tǒng)的分析中， 經(jīng)常用電路圖來描述元件與元件之間的關(guān)系，從而研究電磁運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。通過電路分析，有時(shí)不必去求解微分方程，而能直接了解系統(tǒng)的工作情況和特點(diǎn)。 即使要作定量分析研究，通過形象的電路圖，利

2、用克希霍夫電路定律，再去建立微分方程， 也要簡(jiǎn)單得多。電路圖最容易應(yīng)用于集中參數(shù)的系統(tǒng)，因?yàn)榧袇?shù)元件的唯一變量是時(shí)間。在電聲學(xué)研究的系統(tǒng)中（如電聲換能器），在低頻時(shí)，大都近似地等效成集中參數(shù)系統(tǒng)，只要采用類 比的辦法，把力學(xué)或聲學(xué)系統(tǒng)畫成等效類比線路圖，然后利用電路理論來研究系統(tǒng)的工作情況和特點(diǎn)。1基本電路元件：電阻抗:電容元件:電感元件:Ze瞬態(tài)：E = c /I dt瞬態(tài):E= LedldtdECedt1 l=/Edt2基本的電振蕩器:（1）串聯(lián)諧振電路:IRe Le如左圖：I 電流（安培），E電壓（伏特）>>nJTKyotEtCeLe電感（享利），Ce一電容（法拉），Re

3、電阻（歐姆）di 1由上圖可得：E= Rel + Ledt + C /I dtj co t對(duì)于作簡(jiǎn)諧變化的穩(wěn)態(tài)電流值有：I = 10 e1 1則：E= Rel + j O ei+ ； I = (Re + j 0-e + ； ) I = ZelJ co ej co C式中Ze為串聯(lián)回路的阻抗I = j即為熟知的歐姆定律Ze（2）并聯(lián)諧振電路I 為電流（安培），E 為電壓（伏特），IILe為電感（享利），Ce 為電容（法特）Re-為電阻（歐姆）由上圖可得：1= E +Re1 /Edt +Ce dEdt對(duì)于作簡(jiǎn)諧變化的電壓有：''j OE=E° e則：|=旦+ '

4、e+ j 3花=(丄Re j O 直Re11j °e'' 1+ j oCE =' EZe+j( og-1-')§ 5-2力學(xué)元件和基本的力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng):1力學(xué)元件：F表示外力Fk表示彈性力Fr表示阻力Mm表示質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量Km表示彈性系數(shù)Cm表示順性系數(shù)1CM =爲(wèi)又稱為力順Rm表示阻力系數(shù)，又稱為力阻由牛頓第二定律得：F = ma即 Mm = F + Fk + Fr其中：彈性力：Fk根據(jù)虎克定律有Fk= - Km E = - C / VdtCmE為質(zhì)點(diǎn)Mm離開平衡位置的位移，V為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度, 負(fù)號(hào)表示質(zhì)點(diǎn)移的方向與彈性力方向相反 阻力:d EFr

5、= Rm d二RmV 式中負(fù)號(hào)表示阻力總是與系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方向相反dv1八 M = F c rVdt RmVdv10 F= M Mdt + RmV + 無 j Vdt1Rm并聯(lián)諧振電路相比較:與并聯(lián)諧振電路比較山R'1 dE+ 匚 /Edt + CedEF I , V E , M m Ce ,j cot對(duì)簡(jiǎn)諧作用力 F= F0 eF= MmJ gV RmV +. 1:C V = ( Rm + j wMm + : C )V = ZmVJ 3 Cj 3 C、 1式中Zm = Rm + j gM m +稱為力阻抗j gC1Rm為力阻，j GMm稱為質(zhì)量抗，jCC稱為彈性抗j 3C§ 5

6、-3兩種力電類比及其相互轉(zhuǎn)換:串聯(lián)諧振回路并聯(lián)諧振回路dl1Led +Rel + C 'I dt =Mm + RmV1阻抗型類比：比較上面三個(gè)方程式：若把力阻抗Zm類比于電阻抗Z e，稱為阻抗型類比。對(duì)應(yīng)類比關(guān)系：F E, Rm R e , Mm Le , Cm Ce由此可得出力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)的阻抗型類比線路圖。由圖運(yùn)用電路克?；舴蚨煽芍苯恿谐龇匠獭 (I)F(E)RM(Re TmM(L eCM(Ce)而不必用力平衡的方法來得出。2導(dǎo)納型類比對(duì)并聯(lián)諧振電路有：Cef+FRe +£/別=l= Ze E串聯(lián)諧振回路F (I)C e (Ml m)E(V)Re并聯(lián)諧振回路對(duì)力學(xué)振動(dòng)系

7、統(tǒng)有：MmV + RmV+ Cl /Vdt =F = ZmV1 E= (Rm + j cM m + : C )V= ZmVj cm1把力阻抗Zm類比于電導(dǎo)納稱為導(dǎo)納型類比Ze即 F l', V 類比于 E, Rm 古,Mm -Ce , Cm -LeRe由此可得出力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)的導(dǎo)納型類比線路圖:ICmRm3轉(zhuǎn)換法則：一個(gè)力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)，既可以畫成阻抗型的類比線路，也可以畫成導(dǎo)納型的類比線路，而這兩種類比線路所描述的卻是同一物理事實(shí)。 其轉(zhuǎn)換法則：（1）一種類比圖中的串（并）聯(lián)元件，變?yōu)榱硪环N類比圖中的并（串）聯(lián)元件。（2）種類比圖中的電阻（電導(dǎo)）性元件，變?yōu)榱硪环N類比圖中的電導(dǎo)（電阻） 性

8、元件。一種類比圖中的電感（電容）性元件，變?yōu)榱硪环N類比圖中的電容（電感） 性元件。電壓（電流）源變?yōu)殡娏鳎妷海┰?。?）種類比線路的網(wǎng)孔中，各串聯(lián)元件上各降落之和，相當(dāng)于另一種類比線路中一個(gè)分支點(diǎn)的流量之和。§ 5-4力學(xué)線路圖的畫法 阻抗型電路圖 電流線把各個(gè)元件貫穿 在一起，形成電路圖； 電位的相對(duì)性：跨在元 件兩端的量是電位差，其 零電位端即接地端；導(dǎo)納型力學(xué)線路圖 力線把各個(gè)元件貫穿起來形成力學(xué)線路圖 速度的相對(duì)性：跨在力學(xué)元 件兩端的量是速度差，因?yàn)?力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)速度相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的，因此，速度 為零的一端是接地端。n在電流分叉點(diǎn)2 i=1 Ii=0符1=1在力的作用

9、點(diǎn)，符合動(dòng)力合克?；舴虻谝欢?。n學(xué)平衡條件，即：2日Fi=0根據(jù)以上三點(diǎn)分析，可仿效電路圖的畫法來畫出力學(xué)系統(tǒng)的類比線路圖。應(yīng)當(dāng)指 出，用力線和電流線的類比作出的力學(xué)線路圖，必然是導(dǎo)納型的。如果需要作出阻抗 型的力學(xué)線路，則當(dāng)需按法則進(jìn)行轉(zhuǎn)換。【例1】單振子強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)在外力 F作用下，試求解這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。上/V=0導(dǎo)納型類比圖我們從外力F （即恒流源）出發(fā)，弓|出一條力線，力線到達(dá)Mm時(shí)分成三支，分別與三個(gè)力相平衡：一支穿過 Mm，與慣性力相平衡終止于剛性壁（因元件的速度都是 相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的，所以力線穿過元件Mm到達(dá)零速度的剛性壁）另一支穿過力阻元件 Rm，與摩擦力相平衡，終止于剛性

10、壁（力阻Rm與質(zhì)量Mm一起運(yùn)動(dòng)，因而其速度也是相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的）；還有一支穿過彈簧 Cm與彈性力相平衡，終止于剛性壁（力順元件Cm的速度也是相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的）這三條分支線最后都匯合于剛性壁，即都聯(lián)接于“接地端”。從物理上來看，質(zhì)量 Mm，力阻Rm，力順Cm三個(gè)元件的速度都相同，因此它們 在導(dǎo)納型類比線路圖中應(yīng)是并聯(lián)的。由導(dǎo)納型類比圖可得：VVV1+丄+j 3 MFj3MmRmM/(j3 v+ RmV +1 V = FCm j 3dv1 j 3tMm不 + RmV + C /V dt = F°e由類比線路圖得到的是代數(shù)方程組，求解代數(shù)方程比解微分方程容易得多。【例2】隔振系統(tǒng)M M

11、外力F作用彈簧的一端，從 F出發(fā)弓| 一條力線，穿過 Cm到達(dá)Mm，此時(shí)， 力線將分為兩個(gè)分支，分別與慣性力和RmF V. -CMiTfc 心-M MR/i摩擦力相平衡，其一穿過 Mm而終止于 慣性系統(tǒng)（地）另一條則穿過 Rm終止 剛性地面，此二條分支共同匯合于地 端。Vi Vj WCMj 3M mRMj wMmV + RmV +1j wCmj wCmVi1V =二 MMdv + RmV+ C /Vdt = C /Vidt§ 5-5聲學(xué)元件及基本的聲振動(dòng)系統(tǒng) 1 .赫姆霍茲共鳴器:赫姆霍茲共鳴器是最基本的聲振動(dòng)系統(tǒng)。 該共鳴器必須符合下列條件：1/3 a、 I 、 V1/3a為開口半

12、徑,I為開口長(zhǎng)度，V 為腔體線開口管內(nèi)體積SIV 其中S為開口的截面積蓄S= n a 器壁為剛性的，它不會(huì)把腔內(nèi)媒質(zhì)的疏密過程傳遞到腔外去根據(jù)條件短管內(nèi)媒質(zhì)可以看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)根據(jù)條件短管可以看成是一個(gè)質(zhì)量元件根據(jù)條件體腔內(nèi)壓強(qiáng)的變化相當(dāng)于作用在管內(nèi)質(zhì)量上的彈性力，亦即起了力學(xué)系統(tǒng)彈簧的作用設(shè)開口管中媒質(zhì)的質(zhì)量為Mm貝U Mm= p I S腔體內(nèi)媒質(zhì)的力順 Cm= 開口管內(nèi)媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)的摩擦力阻為Rmj cot若在開口處有聲壓 P=PAe的作用，則該振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為:d E j ot d E 1 MMdT= SpAe -Rm dt -CM E二 MmV + RmV+ C /Vdt = SPAeV為

13、開口管空氣柱的運(yùn)動(dòng)速度M m dv Rm豐S dt 十 S若令U = VSV + CS/Vdt= PAe則運(yùn)動(dòng)方程為:u為體積速度PAeMa + RaU+ C /Udt = Pae其 Ma = MSM = P01P1Za = U = Ra+ j(3Ma 市Za為聲歐姆1聲歐姆=1牛頓秒/米 5E= Rel + Ledt +du P = RaU+ M Adu與串聯(lián)諧振電路比較:Re>Ce串聯(lián)諧振電路）為聲阻抗1C /Idt1 + C AJdtURaaMaP0等效聲學(xué)線路CaS為聲質(zhì)量 Ca = CmS2 = C2為聲容（或聲順）sp C類比的聲學(xué)系統(tǒng)（同電學(xué)、力學(xué)線路圖一樣，聲學(xué)線路圖也有

14、類似的）特點(diǎn)： 聲流線：流過各個(gè)聲學(xué)元件的是聲流線即體積速度流線； 壓強(qiáng)的相對(duì)性：在元件兩端是壓強(qiáng)差，對(duì)于大氣壓強(qiáng)Po端，可接地； 在元件交界處刀U i=0注意用聲流線與電流線相類比畫出的圖是阻抗型的。例U M A1x Ra1Ra2M A1 Ca1Ca2racCA1S=1如果存在由力學(xué)振動(dòng)策動(dòng)聲振動(dòng)的系統(tǒng)（如揚(yáng)聲器箱等），則從力學(xué)線路的輸出端，應(yīng)當(dāng)連結(jié)著聲學(xué)線路。但由于力阻抗和聲阻抗的量綱不一致，因而這兩種線路不能直接相連， 必須經(jīng)過一個(gè)變量器，才能把它們連接起來。設(shè)有一個(gè)如上圖所示的力學(xué)一聲學(xué)綜合系統(tǒng)，有一簡(jiǎn)諧力Fi作用在質(zhì)量Mm為的活塞上，活塞受力振動(dòng)，其振動(dòng)速度為 V，腔體內(nèi)的聲壓為 P

15、,容積速度為U,活塞面積為 S在外力（簡(jiǎn)諧力）作用在面積為S,質(zhì)量為Mm的活塞上，使活塞振動(dòng)，振速為V，活塞振動(dòng)時(shí)壓迫空氣進(jìn)入腔內(nèi)，單位時(shí)間流入腔內(nèi)的流量為U，形成的逾壓為 P1活塞與腔體接觸的界面處的力學(xué)與聲學(xué)特性： 設(shè)活塞振動(dòng)時(shí)，推動(dòng)腔內(nèi)空氣的力為F2從腔體向活塞方向看去，活塞這個(gè)力學(xué)系統(tǒng)呈現(xiàn)的力阻抗為Zm=E2從活塞向腔體方向看去，腔體這個(gè)聲學(xué)系統(tǒng)呈現(xiàn)的聲阻抗為Za=P =U V S又因?yàn)榛钊饔糜谇恢袣怏w的力，在數(shù)值上等于腔中逾壓作用在活塞上的力即F2= PSE2P 里 E2 丄 7 _ Zm 二 U = VS = V S2即 Za = S22與電路中變壓器比較:nF2E2Zm=v1P

16、SUS2=ZaS2Zm力聲變量器相當(dāng)于1n = S的“變壓器”，于是我們把力學(xué)線路和聲學(xué)線路通過變量器統(tǒng)畫在一張圖上了。根據(jù)所討論問題的性質(zhì)，可把力學(xué)端的元件等效到聲學(xué)端，把圖變成一個(gè)等效的聲學(xué)線路,也可以把聲學(xué)端元件等效到力學(xué)端,它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系， 符合理想變壓等效的聲學(xué)線路,也可以把聲學(xué)端元件等效到力學(xué)端,它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系， 符合理想變壓器的運(yùn)算法則。M Ms2F2P=S錯(cuò)誤！未定義書簽。CazFi中去，只要將力學(xué)元件換成去掉變量器，將力學(xué)線路反映到后F2C2聲學(xué)線路相應(yīng)聲學(xué)元件即可力學(xué)元件通過變量器等效致聲聲學(xué)端元件通過變量器，變成等效力學(xué)線路圖如果希望把變量器去掉，把后面的聲學(xué)線路

17、反映到前面來的力阻抗“ 2 1 1Zm=SZa=S=J 3 CM J 3 CM端，變成等效聲學(xué)線路圖聲學(xué)端元件通過變量器，變成等效力學(xué)線路圖?！纠?】閉箱式揚(yáng)聲器電一力一聲類比的方法在聲學(xué)，特別在電聲器件的分析和設(shè)計(jì)中得到廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)代在設(shè)計(jì)高音質(zhì)揚(yáng)聲器系統(tǒng)時(shí)，為了改善低頻輻射效果，常常把揚(yáng)聲器單元放在Das?Mc導(dǎo)納型力學(xué)線路圖阻抗型力學(xué)線路圖再考慮聲學(xué)部分，因紙盆振動(dòng)產(chǎn)生了體積流，聲流線從紙盆出發(fā)，穿過附加在膜前,膜后的聲輻射阻抗Zai和Za2，再穿過由于腔體貢獻(xiàn)的聲容Ca中止于剛性壁，聲學(xué)部分的阻抗型線路圖為:Zai Za28pCa其中P為由于紙盆振動(dòng)在 緊靠紙盆處產(chǎn)生的聲壓Zai為振

18、盆前的聲輻射阻抗Za2為振盆后的聲輻射阻抗P0聲學(xué)部分阻抗型力學(xué)線路圖在阻抗型力學(xué)線路圖和阻抗型聲學(xué)線路圖之間加進(jìn)一個(gè)力聲變量器，就可以得到閉箱 系統(tǒng)的阻抗型力-聲線路圖，其中S為振盆有效面積。MmRm J CmsS:1Zai一只密閉的木質(zhì)箱子中，組成一個(gè)閉箱式揚(yáng)聲器系統(tǒng)。設(shè)由于電一力換能結(jié)果作用在紙盆振動(dòng)系統(tǒng)上的簡(jiǎn)諧力為F首先考慮力學(xué)系統(tǒng)，因?yàn)榕枵駝?dòng)系統(tǒng)具有質(zhì)量 Mm，力阻Rm 及力順Cm。由力F流出的力線作在紙盆上分成三支，分別與慣性力、 阻尼力、彈性力相平衡，因而畫出 的導(dǎo)納型力學(xué)線路圖里 Mm、Rm、Cm是并聯(lián)的。Ca阻抗型力-聲線路圖為計(jì)算方便，可去掉變量器，得到總的阻抗型力學(xué)線路圖

19、Ca2ZA3由上圖再結(jié)合電路部分就可以對(duì)閉箱的電聲性能進(jìn)行詳細(xì)的討論，由于閉箱空氣彈性貢獻(xiàn)的力順SA將附加在紙盆本身的順性以Cm上，并且它們是串聯(lián)的，它們的等效力順就決定了閉箱系統(tǒng)的固有共振頻率【例2】倒相箱式揚(yáng)聲器所謂倒相箱式揚(yáng)聲器，實(shí)際上就是在閉箱安裝揚(yáng)聲器的面板上再開一個(gè)與揚(yáng)聲器紙盆面積差不多的孔。由于揚(yáng)聲器紙盆振動(dòng)在前后方引起的空氣振動(dòng)是反相的，但是向箱內(nèi)輻射的聲波， 經(jīng)過箱體的作用，再通過孔向外輻射時(shí)，它的位相與紙盆前面所輻射聲波的位相可以非常接近， 于是揚(yáng)聲器向外輻射的聲波可以得到加強(qiáng)。聲流線穿過膜片前面與后面的輻射阻抗Zai與Za2以后分成兩支，一支穿過腔體貢獻(xiàn)的聲容Ca終止于箱壁，另一支穿過開孔的聲質(zhì)量Ma3和輻射阻抗Za3，匯合于大氣壓強(qiáng) P。，因而倒相箱的聲學(xué)部分線路如上右圖。§ 5-7電一力一聲線路類比關(guān)系1類比關(guān)系：串聯(lián)電路并聯(lián)電路Led + ReI阻抗型duMA +AdtE 1Re + LjEdt=1導(dǎo)納型RmV+1Cm N dt = F力學(xué)系統(tǒng)聲學(xué)系統(tǒng)2電一力一聲線路圖的分析阻抗型電路圖導(dǎo)納型力學(xué)線路圖阻抗型聲學(xué)線路圖電流線（流經(jīng)各元件的量是電流I）力學(xué)（流經(jīng)各元