基于支持向量機(jī)和模擬退火算法的位移反分析

1、第24卷 第22期巖石力學(xué)與工程學(xué)報 V ol.24 No.222005年11月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Nov . ，2005基于支持向量機(jī)和模擬退火算法的位移反分析許傳華12，任青文1，周慶華3，(1. 河海大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 南京 210098；2. 馬鞍山礦山研究院，安徽 馬鞍山 243004；3. 廣東省惠州勘察工程公司，廣東 惠州 516300摘要：提出了一種基于支持向量機(jī)和模擬退火算法的位移反分析方法，一方面用支持向量機(jī)代替有限元計算提高計算分析速度，另一方面用模擬退火算法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的優(yōu)化算法，避免優(yōu)

2、化過程中目標(biāo)函數(shù)陷入局部極小值而無法繼續(xù)尋優(yōu)的狀態(tài)，從而提高反演的效率精度。應(yīng)用該方法對邊坡的巖體力學(xué)參數(shù)進(jìn)行反演，反演結(jié)果驗證了模型的可行性。關(guān)鍵詞：巖石力學(xué)；支持向量機(jī)；模擬退火算法；位移反分析中圖分類號：TU 452 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：10006915(200522413405DISPLACEMENT BACK ANALYSIS BASED ON SUPPORT VECTORMACHINE AND SIMULATED ANNEALINGXU Chuan-hua12，REN Qing-wen1，ZHOU Qing-hua3，(1. College of Civil Engineer

3、ing，Hohai University，Nanjing 210098，China ； 2. Maanshan Institute of Mining Research，Maanshan 243004，China ； 3. Huizhou Corporation of Investigation Engineering，Huizhou 516300，China Abstract ：A displacement back analysis is proposed by combining the support vector machine and simulated annealing. Fi

4、rstly the support vector machine is used to substitute the time-consuming finite element analysis；and secondly simulated annealing is used for the optimization of objective function for fear that the search often falls in one of the minimums and cannot go any further when the conventional mathematic

5、al optimization methods are employed. The feasibility of this approach is verified by back analysis of the mechanical parameters of a slope. Key words：rock mechanics；support vector machine；simulated annealing；displacement back analysis基本參數(shù)14。位移反分析法按照其采用的計算方1 引 言位移量是描述物體受力變形形態(tài)的一類重要的物理量，目前已被用作反演確定初始地應(yīng)

6、力和地層材料特性參數(shù)的主要依據(jù)，為理論分析(特別是數(shù)值分析 在巖土工程中的成功應(yīng)用提供了符合實際的收稿日期：20040615；修回日期：20041102 基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(50379005法可分為解析法和數(shù)值法。數(shù)值法按實現(xiàn)反分析的過程不同又可以分為逆解法、圖譜法和直接法三類。其中直接法又稱為直接逼近法，也稱優(yōu)化反分析法，它把參數(shù)反分析問題轉(zhuǎn)化為一個目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)問題，直接利用正分析的過程和格式，通過迭代計算，逐次修正未知參數(shù)的試算值，直到獲得“最作者簡介：許傳華(1971 ，男，博士，1994年畢業(yè)于河北地質(zhì)學(xué)院水文地質(zhì)工程地質(zhì)專業(yè)，現(xiàn)為高級工程師，主要從事巖土體非線性穩(wěn)定

7、性方面的教學(xué)與研究工作。E-mail ：chuanhuaxu。第24卷 第22期 許傳華等. 基于支持向量機(jī)和模擬退火算法的位移反分析 4135 優(yōu)值”。最優(yōu)化方法是進(jìn)行位移反分析的有力工具，目前已有多種優(yōu)化方法用于位移反分析，解決問題的范圍也日漸廣泛。一方面，該方法計算工作量大，解的穩(wěn)定性差，易陷入局部極小值，特別是待定參數(shù)的數(shù)目較多時，費時且收斂速度緩慢，不能保證搜索收斂到全局最優(yōu)解；另一方面，在目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化求解過程中，每次參數(shù)調(diào)整均需進(jìn)行有限元計算。如果能建立一種待定參數(shù)與位移之間的函數(shù)關(guān)系，代替上述有限元計算，計算效率將大為提高3。為此，本文采用支持向量機(jī)和模擬退火算法進(jìn)行位移反分析

8、的研究與應(yīng)用。2 巖體力學(xué)參數(shù)與巖體位移非線性映射關(guān)系的確定由于巖體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，巖體力學(xué)參數(shù)與巖體位移之間的關(guān)系很難用顯式數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，所以本文擬用支持向量機(jī)來描述巖體力學(xué)參數(shù)與巖體位移之間的映射關(guān)系。 2.1 支持向量機(jī)的基本原理支持向量機(jī)(support vector machines是Vapnik 等人根據(jù)統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論提出的一種基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論的小樣本學(xué)習(xí)方法，采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則，具有良好的推廣能力。由于支持向量機(jī)需要調(diào)整的參數(shù)少，計算速度快且獨立于訓(xùn)練集和測試集的分布，能較好地解決小樣本、非線性、高維數(shù)和局部極小點等實際問題，已成為機(jī)器學(xué)習(xí)界的研究熱點之一，并成功地應(yīng)用于分類

9、、函數(shù)逼近和時間序列預(yù)測等方面47。本節(jié)簡要介紹支持向量機(jī)的回歸算法。首先考慮線性回歸問題，對于給定的k 個訓(xùn)練樣本x i ， y i (i =1， L ，n ，線性回歸的目標(biāo)就是求回歸函數(shù)，即f (x =w x i +b (1式中：w R n ；b R ；w x i 為w 與x 的內(nèi)積，并且滿足結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原理。假設(shè)所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)在精度下無誤差地用線性函數(shù)擬合，即y i w x i b w x (2i +b y i (i =1， 2， L ，n 優(yōu)化目標(biāo)是最小化12|w |2。根據(jù)統(tǒng)計學(xué)習(xí)理 論，在這個優(yōu)化目標(biāo)下可取得較好的推廣能力。考慮到允許誤差的情況，引入松弛因子10和i 0，則式(2變

10、為y i w x i b +i (i =1， 2， L ，n w x +b y + 2， L ，n (3i i i (i =1，優(yōu)化目標(biāo)是最小化1n|w |2+C (2i +i 。其i =1中，常數(shù)C 為懲罰因子且C 0，表示對超出誤差 的樣本的懲罰程度。上述問題可通過求解以下二次型的參數(shù)a i ，a i 得到解決：min 1nn (a i a i (a j a j (x i x j y i (a 2i a i +i ，j =1i =1n(a i +a i (4i =1其約束條件為n(aia i =0 (0 a i ；a i C ；i =1， 2， L ，n (5i =1求解出上述各參數(shù)i ，

11、*i ，b 后，就可求得支持向量機(jī)擬合函數(shù)為kf (x =w x +b =(a i a i (x x i +b (6i =1式(6中a i a i 不為0所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)就是支持向量。對于非線性支持向量回歸，可以通過非線性映射將原問題映射到高維特征空間中的線性問題進(jìn)行求解。在高維特征空間中，線性問題中的內(nèi)積運算可用核函數(shù)來代替，即K (x i ，x j =(x i (x j ，核函數(shù)可以用原空間中的函數(shù)來實現(xiàn)，沒有必要知道非線性映射的具體形式，從而巧妙地解決了因未知而w 無法顯式表達(dá)的問題。常用的核函數(shù)有多項式核函數(shù)、徑向基函數(shù)(RBF和Sigmoid 函數(shù)等。 2.2 巖體力學(xué)參數(shù)與巖體位移

12、非線性映射關(guān)系的支持向量機(jī)模型為了建立巖體力學(xué)參數(shù)與巖體位移之間的非線性映射關(guān)系，需要給出一組樣本模式對支持向量機(jī)模型進(jìn)行訓(xùn)練，用來訓(xùn)練的樣本可以通過數(shù)值計算方法獲得。為了減少計算量和試驗次數(shù)，用較少的樣本較高效率地訓(xùn)練支持向量機(jī)，采用正交試驗設(shè)計的思想來安排不同參數(shù)組合的有限元計算。這樣可以使得試驗點安排得比較均勻且具有代表性，從而能以較少的試驗得出較好的試驗結(jié)果2。 4136 巖石力學(xué)與工程學(xué)報 2005年3 模擬退火算法基本原理模擬退火(simulated annealing算法屬于直接反演，是一種非線性反演，其優(yōu)點在于能避免使反演陷入目標(biāo)函數(shù)的局部極小。算法的思想來源于模擬液體冷卻而結(jié)

13、晶時的物理狀態(tài)。在金屬熱加工工藝中，退火是指將金屬材料加熱到某一高溫狀態(tài)，然后讓其慢慢冷卻下來這樣一個金屬熱處理過程。從統(tǒng)計熱力學(xué)的觀點來說，隨著溫度的降低，物質(zhì)的能量將逐漸趨近于一個較低的狀態(tài)，并最終達(dá)到某種平衡。模擬退火算法就是基于金屬退火的機(jī)理而建立起來的一種全局最優(yōu)化方法，能夠以隨機(jī)搜索技術(shù)從概率的意義上找出目標(biāo)函數(shù)的全局最小點810。模擬退火算法的構(gòu)成要素如下：(1 搜索空間搜索空間也稱為狀態(tài)空間，該空間由可行解的集合所組成，其中一個狀態(tài)x 就代表一個可行解。(2 能量函數(shù)E (x 能量函數(shù)也就是需要進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)，其最小點所對應(yīng)的參數(shù)即為所求的最優(yōu)解。(3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則狀態(tài)

14、轉(zhuǎn)移規(guī)則是指從一個狀態(tài)x old (一個可行解 向另一個狀態(tài)x new (另一個可行解 轉(zhuǎn)移的概率，常采用Metropolis 接受準(zhǔn)則。(4 溫度t k 下降規(guī)律指從一個高溫狀態(tài)T 0向低溫狀態(tài)冷卻時的降溫規(guī)則。假設(shè)第k 步迭代時溫度用T 0來表示，則經(jīng)典模擬退火算法的降溫方式為t k =T 0lg(1+k (7在實際應(yīng)用中，為計算簡便起見，常用下式來進(jìn)行溫度管理：t k =tk 1 (8式中：為略小于1.0的系數(shù)，其值為0.850.98。圖1為能量函數(shù)隨參數(shù)變化過程曲線。如果搜索過程陷入局部最優(yōu)點A ，若要使搜索過程脫離這個局部最優(yōu)點而達(dá)到點C ，則必須使系統(tǒng)至少要具有點B 所對應(yīng)的能量，

15、即允許能量函數(shù)在一定時間內(nèi)有所增大。O圖1 能量函數(shù)隨參數(shù)變化過程曲線Fig.1 Change curve of energy function with parametervariation假設(shè)在狀態(tài)x old 時，系統(tǒng)受到某種擾動而可能會使其狀態(tài)變?yōu)閤 new 。與此相應(yīng)，系統(tǒng)的能量也可能會從E (x old 變成E (x new 。系統(tǒng)由狀態(tài)x old 變?yōu)闋顟B(tài)x new 的接受概率可由下面的Meteopolis 規(guī)則來確定：1 (p =E (x new E (x old exp E (x new E (x old(E (x E (x T new old (9式(9的含義是：當(dāng)新狀態(tài)使系

16、統(tǒng)的能量函數(shù)值減少時，系統(tǒng)一定接受這個新的狀態(tài)；而當(dāng)新狀態(tài)使系統(tǒng)的能量函數(shù)值增加時，系統(tǒng)也以某一概率接受這個新的狀態(tài)。一般可以這樣來實現(xiàn)，生成一個0，1間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，若exp E (x T ，則以新狀態(tài)x new 取代x old 作為當(dāng)前狀態(tài)；否則仍保留x old 作為當(dāng)前狀態(tài)。固定溫度參數(shù)，反復(fù)進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，接受概率將服從以下分布：p (x =1Z exp E (x T (10 式中：Z 為使概率值正規(guī)化的系數(shù)。由式(10可見，隨著溫度參數(shù)的減小，接受概率也逐漸減小，即能量函數(shù)增大的可能性也逐漸減小，最后系統(tǒng)會收斂于某一能量最小的狀態(tài)，該狀態(tài)就可作為目標(biāo)函數(shù)的全局最小值。4 基于支

17、持向量機(jī)和模擬退火算法的位移反分析位移反分析的實質(zhì)就是尋找一組待反演的參數(shù)使與之相應(yīng)的位移值與實測位移值不斷逼近。目標(biāo)函數(shù)可取以下形式：第24卷 第22期 許傳華等. 基于支持向量機(jī)和模擬退火算法的位移反分析 4137 nF (X =f i (X u i 2 (11i =1式中：X 為一組待反演參數(shù)，f i (X 為巖體第i 個量測點位移量的計算值，u i 為相應(yīng)的位移量的實測值，n 為位移監(jiān)測點總數(shù)。據(jù)此，利用Fortran 和Matlab 語言工具箱編寫了位移反分析計算程序，具體步驟如下：(1 依據(jù)實際問題，確定巖體力學(xué)參數(shù)的取值范圍，并依據(jù)正交試驗設(shè)計原理構(gòu)造計算方案。(2 采用有限元法

18、對構(gòu)造的每一個方案進(jìn)行計算，每個計算方案與對應(yīng)的位移值將構(gòu)成一個樣本對，將所有樣本分為學(xué)習(xí)樣本集和測試樣本集。(3 利用支持向量機(jī)對學(xué)習(xí)樣本進(jìn)行學(xué)習(xí)，調(diào)整相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，利用測試樣本集進(jìn)行檢驗，建立待反演巖體力學(xué)參數(shù)與位移之間的非線性映射關(guān)系。(4 選擇合適的退火策略，給初始溫度以足夠高的值，并設(shè)置循環(huán)記步數(shù)初值為1。(5 隨機(jī)給定初始狀態(tài)(即巖體力學(xué)參數(shù)的初始值 ，以它作為當(dāng)前最優(yōu)點，代入支持向量機(jī)模型預(yù)測出對應(yīng)的位移值，并計算出相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。(6 對當(dāng)前最優(yōu)點作一隨機(jī)變動，產(chǎn)生一新的最優(yōu)點，代入支持向量機(jī)模型，預(yù)測出位移值并計算出新的目標(biāo)函數(shù)值和目標(biāo)函數(shù)的增量。(7 如果0，則接受該新

19、產(chǎn)生的最優(yōu)點為當(dāng)前最優(yōu)點；如果0，則以概率p =exp(/T 接受該新產(chǎn)生的最優(yōu)點為當(dāng)前最優(yōu)點。(8 如果迭代次數(shù)小于終止步數(shù)，則轉(zhuǎn)向步驟(4繼續(xù)迭代。(9 如果未達(dá)到冷卻狀態(tài)，則降低溫度，轉(zhuǎn)向步驟(6；如果達(dá)到冷卻狀態(tài)，則輸出當(dāng)前的最優(yōu)點，計算結(jié)束。5 應(yīng)用算例采場邊坡巖體由單一巖性組成，相應(yīng)的物理力學(xué)參數(shù)為：重度 = 26 kN/m3，彈性模量E = 4 GPa，泊松比 = 0.30，粘聚力c = 0.6 MPa，內(nèi)摩擦角 = 40°。初始應(yīng)力場按自重應(yīng)力場考慮，屈服條件采用Drucker-Prager 準(zhǔn)則，假定在平面應(yīng)變狀態(tài)下分析。有限元的計算網(wǎng)格如圖2所示。3#5#2#1#

20、4#圖2 有限元的計算網(wǎng)格圖 Fig.2 Calculation mesh of FEM在邊坡體中選取5個測點，測點1#5#的相應(yīng)坐標(biāo)分別為(300.00 m，200.00 m，(360.00 m，400.00 m，(328.57 m，295.24 m，(385.66 m， 231.93 m和(423.53 m，271.70 m。對于每一個測點利用有限元法計算該點的位移全量作為實測值進(jìn)行位移反分析。作為示例，本文只反分析巖體的抗剪強度參數(shù)c ，對每個參數(shù)取5個水平，即c 取0.2，0.4，0.6，0.8和1.0 MPa；取20°，30°，40°， 50°

21、和60°，共有25組不同的參數(shù)組合。其中的20組數(shù)據(jù)作為學(xué)習(xí)樣本，另5組數(shù)據(jù)作為測試樣本檢驗支持向量機(jī)的預(yù)測效果。在模擬退火優(yōu)化計算中，共進(jìn)行7 200次迭代，得到目標(biāo)函數(shù)最小值為127.6，與該最小目標(biāo)函數(shù)值對應(yīng)的參數(shù)，即為本次反演過程得到的最優(yōu)參數(shù)值。位移反分析結(jié)果如表1所示。目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化如圖3所示。表1 位移反分析結(jié)果與理論值比較Table 1 Comparison of back-analysis results and theoreticsolutionsc /MPa /(° 反演值理論值絕對誤差反演值理論值絕對誤差0.572 0.600 0.028

22、 37.110 40.000 2.890 注：c 的相對誤差為4.67%， 的相對誤差為7.24%。值數(shù)函標(biāo)目迭代次數(shù)/次圖3 目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化圖 Fig.3 Objective function value with iteration times 4138 巖石力學(xué)與工程學(xué)報 2005年從表1中可以看出，基于支持向量機(jī)和模擬退火算法的位移反分析所得結(jié)果誤差較低，和理論值比較接近。筆者將這一模型應(yīng)用于某大型水電站地下洞室?guī)r體力學(xué)參數(shù)反演中，取得了良好的效果。6 結(jié) 語本文借助現(xiàn)代人工智能的相關(guān)研究成果，提出了基于支持向量機(jī)和模擬退火算法的位移反分析方法，給出了該模型的數(shù)值算例。本反

23、演模型利用支持向量機(jī)的非線性映射、推理和預(yù)測功能，模擬有限元計算過程，從而提高了反分析計算速度。同時，由于模擬退火算法具有全局搜索能力，解決了局部極小與全局極小問題，也就是解決了反問題中解的不唯一性問題，為解決全局優(yōu)化問題提供了一種新的搜索策略，并且具有良好的魯棒性，在處理變量與目標(biāo)函數(shù)值之間無明顯的數(shù)學(xué)表達(dá)式的復(fù)雜工程問題中，具有較高的應(yīng)用意義。 參考文獻(xiàn)(References：1 楊林德. 巖土工程問題的反演理論與工程實踐M. 北京：科學(xué)出版社，1996.(Yang Linde. Theories of Back Analysis of GeotechniqueProblems and I

24、ts ApplicationM. Beijing：Science Press，1996.(in Chinese2 馮夏庭，張治強，楊成祥，等. 位移反分析的進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法研究J. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報，1999，18(5：497502.(Feng Xiating，Zhang Zhiqiang，Yang Chengxiang，et al. Study on genetic-neural network method of displacement back analysisJ. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，1999，18(5

25、：497502.(in Chinese3 鄧建輝，李焯芬，葛修潤. BP網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法在巖石邊坡位移反分析中的應(yīng)用J. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報，2001，20(1：15.(Deng Jianhui ，Lee C F，Ge Xiurun. Application of BP network and genetic algorithm to displacement back analysis of rock slopesJ. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2001，20(1：15.(in Chinese4 趙洪波，馮夏庭. 位移反分析的進(jìn)化支持向量機(jī)研究J. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報，2003，22(10：1 6181 622.(Zhao Hongbo，F(xiàn)eng Xiating. Study on genetic-support vector machine in displacement back analysisJ. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering ，2003，22(10：1 6181 622.(in Chinese5 Vapnik V N. The Nature of Statistical Learning TheoryM. Ne