高等數(shù)學(xué)清華出版社習(xí)題集答案解析

1、 習(xí)題一（A）1.設(shè)，求.解 ；.2. 設(shè)表示某大學(xué)學(xué)習(xí)英語的學(xué)生的集合，表示學(xué)習(xí)日語的學(xué)生集合，則各表示怎樣的集合.解 表示該大學(xué)不學(xué)習(xí)英語的大學(xué)生集合；表示該大學(xué)不學(xué)習(xí)日語的大學(xué)生集合；表示該大學(xué)學(xué)習(xí)英語但不學(xué)習(xí)日語的大學(xué)生集合；表示該大學(xué)既不學(xué)習(xí)英語又不學(xué)習(xí)日語的大學(xué)生集合；表示該大學(xué)不學(xué)習(xí)英語或不學(xué)日語的大學(xué)生集合.3. 求下列函數(shù)的定義域.（1）； （2）（3） （4）（5） （6）解 （1）； （2） ；（3） 即； （4）且；（5） 即；（6） 即.4.設(shè)的定義域，求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2）（3）.解 （1），即. （2），即； （3）且.所以當(dāng)時，定義域為；當(dāng)時，定義

2、域為空集.5. 下列函數(shù)和是否相同？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）.解 (1) 兩個函數(shù)不同,因為對應(yīng)法則或表達(dá)式不同.(2)兩個函數(shù)相同,因為定義域和對應(yīng)法則都相同.(3)兩個函數(shù)不同,因為它們的定義域不同.(4)這對函數(shù)是相同的。因為它們的定義域相同且對應(yīng)法則相同.6. 已知，求.解 ； ； .7. 設(shè) 證明是奇函數(shù).解 .即是奇函數(shù).8. 將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，并作出函數(shù)的圖形.解 .函數(shù)圖形如圖所示.9. 試證明下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：（1）； （2）解 （1）,在上單調(diào)遞增；（2）在上單調(diào)遞增.10. 設(shè)為定義域在內(nèi)的奇函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)增加，證明在內(nèi)也單調(diào)增加.證明:

3、 設(shè),且,則,且.在上單增且為奇, ,即,從而,所以在上也單調(diào)增加.11.設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在區(qū)間內(nèi)的，證明：(1)兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；(2)兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù). 證明 只證明偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù),其它略. 設(shè)與分別是區(qū)間上的偶函數(shù)和奇函數(shù),即,則,所以是奇函數(shù),也就是說, 偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).12. 試證明：任何一個在內(nèi)有定義的函數(shù)總可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和.證明 令，則當(dāng)時,即為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，易見,所以,任何一個在內(nèi)有定義的函數(shù)總可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的

4、和.13. 求下列函數(shù)的反函數(shù)，并注明反函數(shù)的定義域：(1) ； (2) ； (3) ； （4）.解 （1）；(3) .14. 在下列各題中，求由所給函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，并求這函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值的函數(shù)值：（1） ；（2） ；（3） ；（4） . 解 （1）；(2) ；(3) ；(4) .15. 用鐵皮作一個容器為圓柱形罐頭筒，試將它的表面積表示為底半徑的函數(shù)，并確定此函數(shù)的定義域.解 設(shè)其全表面面積為A，底半徑為r,高為h，則，并且，從而，所以，.16. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角（圖1-11）.當(dāng)過水?dāng)嗝娴拿娣e為定值時，求濕周與水深之間的函數(shù)關(guān)系，并指明其定義域.圖1-11解

5、由圖易得 ,.17.設(shè)需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為： ，求市場均衡點(diǎn).解 令即，解得，市場均衡點(diǎn)為.18. 某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品每日最多生產(chǎn)100單位，設(shè)日固定成本130元，生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品的可變成本為6元，求該企業(yè)日總成本函數(shù)及平均單位成本函數(shù).解 ，.19. 設(shè)銷售某商品的總收益是銷售量的二次函數(shù)，已知時，總收益分別是，試確定總收益函數(shù).解 設(shè)，則有 解得 .20. 已知需求函數(shù)為，總成本函數(shù)為,分別為價格與銷售量.試求利潤與銷售量的關(guān)系式，并求平均利潤.解 ,.習(xí)題二（A）1.觀察下列數(shù)列的變化趨勢，收斂的寫出其極限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6） 解 （1）收斂，極限為1

6、；（2）不收斂；（3）不收斂；（4）收斂，極限為0；（5）收斂，極限為2 ；（6）不收斂。 2.判斷下列命題是否正確：（1）收斂數(shù)列一定有界；（2）有界數(shù)列一定收斂；（3）若收斂數(shù)列的通項大于0，則其極限一定大于0；（4）若數(shù)列的極限大于0，則數(shù)列的每一項也一定大于0 解 僅（1）是正確的。 設(shè) ，考察，求出，使得當(dāng)時，有.當(dāng)時，=？解 ，要使，因為，所以，只需，取，則當(dāng)時，就有成立.當(dāng)時，. 用數(shù)列極限的分析定義證明：（1）； （2）；（3）； （4）. 證明 （1），要使，因為，所以，只需，取，則當(dāng)時，就有成立.即. （2），要使， ，所以，只需，取. （3），要使，即，取. （4），要使

7、， 即，取.5.利用函數(shù)的圖形，從幾何上觀察變化趨勢，并寫出下列極限：（1） ； （2）是常數(shù)）；（3）； （4）；（5） ； （6）.解（1）0；（2）C；（3）；（4）1；（5）3；（6）3. （圖略）6. 在處有定義是當(dāng)時極限存在的_(A) 必要條件 (B)充分條件(C) 充分必要條件 (D)無關(guān)條件解 （D） 7. 與都存在是當(dāng)時極限存在的_(A) 必要條件 (B) 充分條件(C) 充分必要條件 (D) 既非充分條件也非必要條件解 (A) 8. 若 ，則=（ ）(A) (B) (C) (D) 解 (A)9. 在處有定義是在處連續(xù)的_(A) 必要條件 (B)充分條件(C) 充分必要條件

8、(D)無關(guān)條件 解 (A) .用極限的分析定義證明下列極限：（1）； （2）；（3）； （4）. 解 (1) ，要使，取，則當(dāng)時，總有成立。即。 （2），要使，只需取. （3），要使，只需，取，當(dāng)時，有，.（4）（無論多大），要使，只需，取，則當(dāng)時，總有，.11.設(shè) 問：（1）在自變量的什么變化過程中，是無窮??？（2）在自變量的什么變化過程中，是無窮大？解（1）當(dāng)時，是無窮??； （2）當(dāng)時，是無窮大.12.求下列極限：(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ；(7) ; (8) ;(9) ; (10) ；(11) ; (12) . 解（1）0；（2）0；（3）；（4）-

9、3；（5）（提示：通分化簡）； （6）2；（7）（提示：利用立方公式）；（8）；（9）-1；（10）（提示：先求和，再求極限）；（11）；（12）；（提示：求其倒數(shù)的極限）.13.判斷下列命題是否正確？如果正確說明理由，如果錯誤試給出一個反例（1）如果存在，但不存在，那么不存在； （2）如果不存在，且也不存在，那么不存在； （3）如果存在，且也不存在，那么不存在解（1）正確. （反證法，利用極限四則運(yùn)算法則） （2）錯誤. 反例： 時，極限均不存在，但極限存在. （3）錯誤.反例：時，極限存在為零，極限不存在，但極限存在為零.14.求下列極限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6

10、）；（7）； （8）；（9）； (10) .解（1）；（2）1（提示：，或令）；（3）；（4）；（5）1；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。15.利用極限存在準(zhǔn)則證明：（1）(2) .解（1）提示：。 （2）。16.設(shè) ，證明這數(shù)列的極限存在，并求其極限證明 （單調(diào)性），設(shè)，則，因此單調(diào)遞增.（有界性），設(shè)，則，有上界.故存在.設(shè)，對兩邊取極限得 ，即舍去）.即.17. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形：（1）； （2）解 （1）連續(xù)；（2）在處間斷，圖形略.18.求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)的類型（1）； （2）;(3) ; (4) ;(5) 解（1）間斷點(diǎn)：，其中是可去間

11、斷點(diǎn)，是無窮間斷點(diǎn)； （2），可去間斷點(diǎn)； （3），其中是可去間斷點(diǎn)，其他是無窮間斷點(diǎn); （4），跳躍間斷點(diǎn)； （5），間斷點(diǎn)：是跳躍間斷點(diǎn).19.求下列極限：（1）； （2）;(3) ; (4) .解（1）1；（2）；（3）；（4）（提示：利用平方差公式化簡）.20. 設(shè)函數(shù)常數(shù)為何值時，使得解 要使，只需在處連續(xù)，得.21證明方程 在內(nèi)至少有一個實根證明 令，則在連續(xù)，且，由零點(diǎn)定理得證.22. 設(shè)多項式證明：當(dāng)為奇數(shù)時，方程至少有一個實根證明 ，當(dāng)n為奇數(shù)時，由零點(diǎn)定理得證.23. 如果存在直線，使得當(dāng)（或，）時，曲線上的動點(diǎn)到直線的距離,則稱為曲線的漸近線，當(dāng)時，稱為斜漸近線（1）證明

12、：直線為曲線的斜漸近線的充分必要條件為， （2）求曲線的斜漸近線證明（1），即. （2），因此曲線的斜漸近線為.習(xí)題三(A) 1.求自由落體 在時的速度.解 2.下列各題中均假設(shè)存在，按導(dǎo)數(shù)定義考察下列極限，指出A表示什么？ （1）； （2）； （3）.解 (1) A表示 ；（2）A表示 ；（3）A表示 3. 設(shè)，則在處（ ） （A）左、右導(dǎo)數(shù)都存在； （B）可導(dǎo)； （C）左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在； （D）左導(dǎo)數(shù)不存在，右導(dǎo)數(shù)存在.解 C 4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）； （2）； （3） .解 （1）；（2）；（3） 5.求曲線上切線斜率等于的點(diǎn)的坐標(biāo).解 ，. 6.求過點(diǎn)（2,0）且與相切

13、的直線方程.解 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線方程為，又，令得故所求直線方程為 7.討論函數(shù) 在處的連續(xù)性、可導(dǎo)性. 解 函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo)（） 8.設(shè)函數(shù)， 問為何值時，可使在處連續(xù)且可導(dǎo).解 9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 解（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）. 10.設(shè)，求. 解（提示：分段函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)時，分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一般要用導(dǎo)數(shù)定義來求） 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，綜合得 11.設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，則=_.解 . 12.設(shè)由方程確定.則=_.解 13.求雙曲線在點(diǎn)處的切線方程及法線方程.解 切線方程為：；法線方程為：14.設(shè)

14、，求及.解 15.設(shè)，求. 解法1：； 解法2：兩端取對數(shù)，得，兩端對x求導(dǎo)：，即 16.求方程確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).解 兩端對x求導(dǎo)數(shù)：，； 17.填空 （1）; (2) ; （3）； （4）； （5）； （6）. 解（1）+c；（2）+c；（3）+c；(4) +c；(5) +c；（6）+c 18.選擇 （1）設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義，則在處可導(dǎo)的一個充分條件是（ ）存在. （A）； （B）； （C）； （D）. （2）設(shè)，則使存在的最高階數(shù)為（ ） （A）0 ； （B）1 ； （C）2 ； （D）3 （3）若曲線和在點(diǎn)（1，-1）處相切，則( ) (A) ; (B) ;(C) ; (D) .

15、 解（1）D; (2) C(提示：) ; （3）D 19.設(shè)，其中存在，求. 解 ； =. 20.設(shè)，其中具有三階導(dǎo)數(shù)，且，求.解 . 21.求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式. （1）； （2）； 解（1）；（2） 22.求. 解 （提示：）. 習(xí)題四（A）1. 下列函數(shù)在給定的區(qū)間上滿足羅爾定理條件的是（ ）A B. C. D. .答案 C 2. 函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的=（ ）A. B. 0 C. 3 D. 1答案 C 3. 驗證函數(shù)，在區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件答案 略。4.利用拉格朗日中值定理證明不等式（1）；（2）提示（1） 令在上滿足拉格朗日定理的條件。（2） 令若時，顯

16、然成立；若時，在或上滿足拉格朗日定理的條件。5.不用求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷方程有幾個實根，并指出這些根所在的區(qū)間提示 在和上滿足羅爾定理的條件。6. 計算下列極限（1） （2）；（3） （4）；（5） （6）；（7） （8） ；（9）； （10）；（11） （12）； （13） （14）答案（1）；（2）1；（3）2；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）0; (9) ; (10) (提示：先通分再利用洛必達(dá)法則計算)；（11）1；（12）1（提示：）；（13）1；（14）1.7. 已知，求答案 （提示：接連使用兩次洛必達(dá)法則求解）8. 寫出函數(shù)在處的帶佩亞諾型余項的n階泰勒公式答案 。9. 按

17、的冪展開多項式答案 。10. 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1） ； （2）；（3）； （4）；（5）答案（1）在單調(diào)減少；在單調(diào)增加。（2）在單調(diào)減少；在單調(diào)增加。（3）在單調(diào)增加；在單調(diào)減少；在單調(diào)增加。（4）在單調(diào)增加；在單調(diào)減少；在單調(diào)減少；在單調(diào)增加。（5）在單調(diào)增加。11. 證明下列不等式（1）時，； （2）時，；（3）； （4）答案 （1）略；（2）提示：要證，即證，令，當(dāng)時，單調(diào)增加；（3）略；（4）略。12. 證明方程只有一個實根提示 令，則在單調(diào)減少，又根據(jù)零點(diǎn)定理在至少有一個實根，故方程在內(nèi)只有一個實根。13. 求下列函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)（1）； （2）；（3）； （4）答案

18、 （1）曲線在是凹的，在是凸的，在是凹的，拐點(diǎn)為、；（2）曲線在是凸的，在是凹的，在是凸的，拐點(diǎn)為、；（3）曲線在是凸的，在是凹的，拐點(diǎn)為；（4）曲線在是凸的，在是凹的，拐點(diǎn)為.14. 求下列函數(shù)的極值（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）答案（1）極大值為，極小值為；（2）極大值為，極小值為；（3）無極大、極小值；（4）極大值為，極小值為；（5）極大值為；（6）極小值為。15. 為何值時，點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，且是函數(shù)的駐點(diǎn)答案 。16. 求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最大最小值（1）；（2）；（3）答案 （1）最大值為11，最小值為；（2）最大值為，最小值為；（3）最大值為，最小值為.1

19、7. 求函數(shù)在何處取得最小值答案 在有最小值27.18描繪函數(shù)的圖形答案 略。19. 受市場的影響，三峽某旅游公司的經(jīng)濟(jì)效益出現(xiàn)了一定程度的滑坡現(xiàn)需要對某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級，提高旅游增加值經(jīng)過市場調(diào)查，旅游增加值萬元與投入萬元之間滿足,且當(dāng)時，問：（1）的表達(dá)式和投入的取值范圍；（2）求投入為何值時，旅游增加值取得最大值，最大值是多少？答案（1）；（2）在時取得最大值約為10.62.20. 一公司已估算出某產(chǎn)品的成本函數(shù)為，問產(chǎn)量多大時，平均成本能達(dá)到最低，并求出最低平均值成本答案 當(dāng)產(chǎn)量時，平均成本最小值為21. 某產(chǎn)品每批生產(chǎn)臺的成本為（萬元），銷售臺得到的收入為，問每批生產(chǎn)多少臺，能獲得

20、最大利潤？答案 每批生產(chǎn)250臺時，能獲得最大利潤。22. 某產(chǎn)品的成本函數(shù)為,需求函數(shù)為,其中P為該商品的單價，問單價定為多少時，使利潤取得最大值？（單位：元）答案 當(dāng)單價定位6.5元時，取得最大利潤（提示：收入,利潤函數(shù)）23. 一電器制造商以每臺450元的價格出售收錄機(jī)，每周可售出1000臺，當(dāng)價格每降低10元時，每周可多售出100臺，（1）求價格函數(shù)；（2）為達(dá)到最大收益，每臺收錄機(jī)應(yīng)降價多少？（3）假如周成本函數(shù)為，問應(yīng)降價多少時，可獲得最大利潤？答案 (1) 價格函數(shù)；（2）降價175元時，取得最大收益（提示：收益，時，R取得最大值，則（元）；（3）降價100元時，取得最大利潤（提

21、示：利潤，時，L取得最大值，則（元）。24. 某大型超市通過調(diào)查得知，某種毛巾的銷量Q與其成本C的關(guān)系為：（元)，現(xiàn)每條毛巾定價為6元，求使利潤最大的銷量 答案 當(dāng)銷量Q=2000（條）時，利潤取得最大值.（提示：利潤函數(shù)）25. 體育用品商店每年銷售100張臺球桌庫存一張臺球桌一年的費(fèi)用為20元，若訂購，需付40元固定成本，以及每張臺球桌另加16元，為了使總成本（存貨成本和訂購成本之和）最小，商店每年應(yīng)該訂購幾次臺球桌？每次訂購數(shù)量（即批量）為多少？解 設(shè)每次訂購數(shù)量(即批量)為,則一年應(yīng)訂購次臺球桌.由題意知總成本為令,可得.所以,每年訂貨5次，批量為20臺.習(xí)題五（A）1. 求下列不定積

22、分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10) ；(11)； (12).解 (1)； (2)； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.2. 一曲線通過點(diǎn)（9,4），且在任一點(diǎn)處的切線的斜率為.求該曲線的方程.解 設(shè)該曲線方程為,則,所以,將代入得 .3. 一物體由靜止開始運(yùn)動，經(jīng)后的速度是，問（1）在4后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？（2）物體走完250需要多少時間？ 解 （1）16m；（2）10s。4. 驗證都是的原函數(shù).5. 求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（

23、5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）；（17）； （18）；（19）； （20）；（21）； （22）；（23）； （24）；（25）.解 （1）；（2）；（3）；（4）；(5)；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）;(15); (16);(17);(18);(19); (20);(21);(22)； (23); (24)法一:.法二:;（25）.6. 求下列不定積分：（1） （）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）.解

24、（1）； （2）；（3）； （4）；（5）;（6）；（7）；（8）；（9）.（10）.7. 求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）. 解 （1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）；（9）；（10）； (11)；（12)；（13）；（14）；（15）.8. 求下列不定積分： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.解 （1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）.9. 建立的遞推公式.解 由分步積分法可得 ,同理 ，.所以 .習(xí)題

25、六（A）1. 利用定積分的幾何意義，求下列積分：（1）； （2）； （3）.解 （1）原積分相當(dāng)于求半徑為的半球面積,所以；（2）原積分相當(dāng)于求直角邊為的等腰直角三角形的面積,所以； （3）被積函數(shù)為奇函數(shù)而積分區(qū)間為對稱區(qū)間,所以.2. 利用定積分的估值公式，估計下列定積分的值：（1） ； （2）.解 （1）易知,所以 ； （2）當(dāng)時,所以 .3. 求下列各導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)，求；（2）設(shè)由下式所確定，求；（3）設(shè)，求.（4）設(shè)，求.解 （1）； （2）對式子兩邊關(guān)于求導(dǎo) ,整理得 ； （3）因為,所以 .（4）對式子兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 .4. 求下列各極限：（1）； （2）.解 分別利用洛必達(dá)法則

26、得（1）； （2）. 5. 設(shè) 求在內(nèi)的表達(dá)式. 解 6. 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求.解 所以.7. 計算下列定積分.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）設(shè) 計算. 解 （1）； （2）； （3）； （4）由于原積分是奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分所以為0； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）.8. 計算下列定積分.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）.解 （1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）.9. 利用奇偶性計算下列定積分：（1）； （2）.解 （1）因為被積函數(shù)為奇函數(shù),所以該積分值為0； （2）.10. 證明下列各式成立：（1）；（2）；（3），其中在所討論的區(qū)間上連續(xù)； （4）.證明 （1）； （2）； （3）； (4).11. 判斷下列反常積分的斂散性.