03一階線性微分方程

1、第三節(jié)一階線性微分方程分布圖示 一階線性微分方程及其解法例1例2例3例4例5例6伯努利方程例7例8例9例10內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題8-3內(nèi)容要點(diǎn)：一、一階線性微分方程形如dy P(x)y = Q(x)(3.1)dx的方程稱為 一階線性微分方程.其中函數(shù) P(x)、Q(x)是某一區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù).當(dāng)Q(x)三0,方程(3.1)成為dy P(x)y =0(3.2)dx這個(gè)方程稱為一階齊次線性方程.相應(yīng)地，方程(3.1)稱為一階非齊次線性方程. 方程(3.2)的通解y -Ce-P(x)dx.(3.3)其中C為任意常數(shù).求解一階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法：即在求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解(3.3)后，將

2、通解中的常數(shù)C變易為待定函數(shù)u( x),并設(shè)一階非齊次方程通解為y =u(x)e-P(x)dx一階非齊次線性方程(3.1)的通解為(3.5)yQ(x)e P(x)dxdx - C eP(x)dx、伯努利方程：形如3 P(x)y = Q(x)yn37)的方程稱為伯努利方程，其中n為常數(shù)，且n#0,1.伯努利方程是一類非線性方程，但是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，就可以把它化為線性的.事實(shí)上, 在方程(3.7)兩端除以yn,得y字 P(x)y1=Q(x),dx1或(y1 )P(x)y1J1 =Q(x),1 - n于是，令z = y1j,就得到關(guān)于變量 z的一階線性方程 (1 -n)P(x)z-(1-n)Q(x)

3、.dx(3.7)的通解利用線性方程的求解方法求出通解后，再回代原變量，便可得到伯努利方程1jn_(1q)P(x)dx(1)P(x)dxy1=eQ(x)(1 -n)edx C .例題選講:一階線性微分方程1sin x例1 (E01)求萬(wàn)程y +- y =的通解.x x解 P(x) , Q(x) =2二于是所求通解為 xx41dxsin x產(chǎn)"產(chǎn)小八+斗沁.例2(E02)求方程dy 一-2匕=(x+1)5/2的通解. dx x 1解這是一個(gè)非齊次線性方程.先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解.由 電 一y =0 = =_?dx = ln y = 2ln(x 1) In C = y = C(x 1)2.

4、 dx x 1y x 1用常數(shù)變易法，把C換成u,即令y =u(x+1)2，則有包=u'(x+1)2 +2u(x+1), dx代入所給非齊次方程得u'=(x+1)2/1，兩端積分得u=2(x+1)3/2+C,3回代即得所求方程的通解為y =(x 1)2 2(x 1)3/2 C .3例3求下列微分方程滿足所給初始條件的特解x ln xdy (y -ln x)dx = 0,ln2解 將方程標(biāo)準(zhǔn)化為y%Ly=1,于 xln x x_ln ln x1 In In x11=e -e dx C =11y = In x .2 In xxIn x 21由初始條件y x旌=1,得C =,故所求特

5、解為 xe2dy d , 、 d例4求斛方程+ y=5(x),中(x)是x的已知函數(shù).dx dx dx解原方程實(shí)際上是標(biāo)準(zhǔn)的線性方程，其中 P(x)=吧，Q(x) =<p(x),dxdx直接代入通解公式，得通解y =edx 卬(x)吧3降=+/=3功F(x)e*x)d邛+C d(xl+Ce®*.1dx，例5求方程y3dx +(2xy2 -1)dy =0的通解.解 當(dāng)將y看作x的函數(shù)時(shí)，方程變?yōu)?3dy 二 y dx 1 -2xy2這個(gè)方程不是一階線性微分方程，不便求解.如果將x看作y的函數(shù)，方程改寫為3 dx 2 dy 2y x =1dy則為一階線性微分方程，于是對(duì)應(yīng)齊次方程為

6、y3 2y2x =0dy分離變量，并積分得包=2業(yè)，即x =C112x yy1其中C1為任意常數(shù)，利用常數(shù)變易法，設(shè)題設(shè)方程的通解為x=u(y) ) ,代入原方程，得y1u (y)= y積分得 u(y) =ln | y | C1故原萬(wàn)程的通解為x=(ln|y|+C),其中C為任意常數(shù). y例6如所示，平行于y軸的動(dòng)直線被曲線 y = f (x)與y =x3(x±0)截下的線段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積，求曲線f(x).x解"xRxn&xy)2 =x3 y,兩邊求導(dǎo)得y' + y = 3x2,解此微分方程得y=e1戶 F + j3x2eFxdxj=Ce&

7、quot; +3x2 -6x+6,由 y=0,得 C =-6,故所求曲線為y =3(qe" +x2 -2x +2).x w例7求以_4y =x21的通解.dx x解兩端除以"，得工曳，丙=x2, .y dx x '令 z ="，得 2 f z =x2，解得 z = x2 - +C j dx x2故所求通解為y =x41- +C 2.2伯努利方程例8 (E03)求方程dy + = (a In x)y2的通解. dx x解 以y2除方程的兩端，得y-2 +1 y，=a In x,即 dx x也口y=alnx, dx x令z = yt則上述方程變?yōu)榻獯司€性微分方

8、程得 z = x以y，代z,得所求通解為dz 1-z = -aIn x.dx xC -a-(lix)2 .IL 2yx C -1 (In x)2 =1.例9求方程 +x(y -x) +x3 (y -x)2 =1的通解. dx解 令y-x =U,則 曳=+1,于是得到伯努利方程 dx dxdu3 2-xu - -x u . dx令z =U1 ” =L上式即變?yōu)橐浑A線性方程包-udx其通解為2 xz =e 22 x32x e 22xdx+C =Ce2 -x2 -2.回代原變量，即得到題設(shè)方程的通解1二 x 2xCe三-x2 -2例10求解微分方程dy=1， dx xsin (xy) x解 令z=x

9、y,則dz =y+x曳， dx dxdz1 y)1二一二y +x 2=2,dx、xsin (xy) x sin z利用分離變量法解得2z -si r2z =4x - C,將z = xy代回，得所求通解為2xy _s i龍(xy) = 4x +C.課堂練習(xí)1 .求微分方程包=cosy的通解.dx cosysin 2y -xsin y2 .設(shè)函數(shù)f(x)可微且滿足關(guān)系式x02f(t) -1dt = f(x)-1,求 f (x).雅各布.伯努利(Jacob Bermoulli , 16541705)伯努利瑞士數(shù)學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)家。1654年12月27日生于瑞士巴塞爾；1705年8月16日卒于巴塞爾。

10、雅各布.伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位藥商，1662年移居巴塞爾。他的父親接過(guò)興隆的藥材生意，并成了市議會(huì)的一名成員和地方行政官。他的母親是市議員兼銀行家的女兒。雅格布在 1684年一位富商的女兒結(jié)婚，他的兒子尼古拉，伯努得是藝術(shù)家，巴 塞爾市議會(huì)的議員和藝術(shù)行會(huì)會(huì)長(zhǎng)。雅格布畢業(yè)于巴塞爾大學(xué)，1671年獲藝術(shù)碩士學(xué)位。這里的藝術(shù)是指“自由藝術(shù)” ，它 包括算術(shù)、幾何、天文學(xué)、數(shù)理、音樂(lè)的基礎(chǔ)，以及方法、修辭和雄辯術(shù)等七大門類。遵照 他父親的愿望，他又于 1676年得碩士學(xué)位。同時(shí)他對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，但是他在數(shù)學(xué) 上的興趣遭到父親的反對(duì)，他違背父親的意愿，自學(xué)了數(shù)學(xué)和天文學(xué)。1676

11、年，他到日內(nèi)瓦做家庭教師。從 1677年起，他開始在這里寫內(nèi)容豐富的沉思錄。1678年雅格布進(jìn)行了他第一次學(xué)習(xí)旅行，他到過(guò)法國(guó)、荷蘭、英國(guó)和德國(guó)，與數(shù)學(xué)家們建立了廣泛的通信聯(lián)系。 然后他又在法國(guó)度過(guò)了兩年時(shí)光，這期間他開始研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。起初他還不知道牛頓和萊布尼茲的工作，他首先熟悉了笛卡爾的幾何學(xué)、活利斯的無(wú)窮的算術(shù)以及巴羅的幾何學(xué)講義。他后來(lái)逐漸地熟悉了萊布尼茲的工作。1681-1682年間，他做了第二次學(xué)習(xí)旅行，接觸了許多數(shù)學(xué)家和科學(xué)家。通過(guò)訪問(wèn)和閱讀文獻(xiàn)，豐富了他的知識(shí)，拓寬了個(gè)人的興趣。這次旅行，他在科學(xué)上的直接收獲就是發(fā)表了還不夠完備的有關(guān)慧星的理論以及受到人 們高度評(píng)價(jià)的重力理論?；氐桨腿麪柡螅瑥?1683年起，雅格布做了一些關(guān)于科技問(wèn)題的文 章，并且也繼續(xù)研究數(shù)學(xué)著作。1687年，雅格布在教師學(xué)報(bào)上發(fā)表了他的“用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分方法”。1684年之后，雅格布轉(zhuǎn)向詭辯邏輯的研究。1685年出版了他最早的關(guān)于概率論的文章。由于受到活利斯以及巴羅的涉及到數(shù)學(xué)、光學(xué)、天文學(xué)的那些資料的影響，他又轉(zhuǎn)向了微分幾何學(xué)。在這同時(shí)，他的弟弟約翰.伯努利一直跟其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。16