2001考研數(shù)學(xué)三真題及解析

1、2001年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(1)設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為Q AL K ,其中Q是產(chǎn)出量,L是勞動投入量,K是資本投入量，而A, a幽為大于零的參數(shù)，則當(dāng)Q =1時K關(guān)于L的彈性為(2)某公司每年的工資總額比上一年增加20%的基礎(chǔ)上再追加2百萬.若以W；表示第t年的工資總額(單位:百萬元),則Wt滿足的差分方程是k1設(shè)矩陣A111k1111k111，且秩(A)=3,則k =1k(4)設(shè)隨機變量X,Y的數(shù)學(xué)期望都是2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為0.5.則根據(jù)切比雪夫不等式P X -Y 6 2、(5)設(shè)總體X服從正態(tài)分布 N(0,0.2 )，而Xi,X2,L X15是來自總體X

2、的簡單隨機樣本，則隨22機變量Y Xi2 L一遍服從分布，參數(shù)為2 X11 LX15二、選擇題 f'(x) 設(shè)函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)在x=a#連續(xù)，又lim1,則()x a x a(A) x = a是f (x)的極小值點.(B) x = a是f (x)的極大值點.(C) (a, f(a)是曲線y= f(x)的拐點.(D) x =2不是f (x)的極值點,(a, f(a)也不是曲線y=f(x)的拐點.1 2一(x 1),0 x 1(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(u)du,其中 f(x)2 ，則g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)(1(x 1),1 x 23(A)無界(B)遞減(C)不連續(xù)(D)連續(xù)a11a1

3、2五ai4a14a13al2a110001a21 a22a23a24_a24a23a22a210 10 0設(shè)Aa31a32a33a34,B, Pa34a33 a32 a310010a41 a42a43a44a44a43a42a4110000 0 10 ，1 一P2，其中A可逆，則B 1等于()0 100.1 _ . 1_ 1_ . 1_(A) A RP2 (B) PA P2 (C)RP2A(D)P2A R.(4)設(shè)A是n階矩陣，混n維列向量.若秩秩(A),則線性方程組(A) AX =婚有無窮多解(B) AX = a必有惟一解.A X A X . 一,(C) T0僅有零解(D) T0必有非零解.

4、0 y0 y(5)將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于()(A) -1(B) 0(C)-(D) 12三、(本題滿分5分)設(shè)gf(x,y,z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)y=y(x)及z=z(x)分別由下列兩式確定：xyx x zsint .十 due xy 2和e dt,求0 t dx四、(本題滿分6分)x c已知f(x)在(-巴+訓(xùn)可導(dǎo)，且hmf(x) e lim() limf(x) f(x 1),求c的值.xx x c x五、(本題滿分6分)!(x2 y2),求二重積分y1 xe2dxdyWt淇中D是由直線y=x, y= - 1及x =1圍成

5、的平面D區(qū)域六、(本題滿分7分)已知拋物線y px2 qx(其中p<0,q>0)在第一象PM與直線x+y=5相切，且此拋物線與x 軸所圍成的平面圖形的面積為S.(1)問p和q為何值時，S達到最大？(2)求出此最大值.七、(本題滿分6分)1設(shè)f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f(1) k jxe1 xf (x)dx,(k 1).證明：存在 氏(0,1)，使得f'( )2(11)f().八、(本題滿分7分)已知fn(X)滿足fn(X) fn(X)X” H (n為正整數(shù))且£ £求函數(shù)項級數(shù) nfn (X)之和.九、(本題滿分9分)11a設(shè)

6、矩陣A1a1a11(1) a的值；i 111 .已知線性方程組 AX =陽解但不唯一，試求:2(2)正交矩陣Q,使QTAQ為對角矩陣十、(本題滿分8分)設(shè)A為n階實對稱矩陣，秩(A)=n, Aj是A aj n n中元素a。的代數(shù)余子式(i,j、n n Ai=1,2，,n),二次型 f(4X2，L Xn)2。.i 1 j 1 A .、 n n Aj一 -(1)記A (X1,X2,L Xn),把f(X1,X2,L Xn),X Xj.寫成矩陣形式，并證明二次i 1 j 1 A型f (X)的矩陣為A1；(2)二次型g(X) XTAX與f(X)的規(guī)范形是否相同？說明理由 .十一、(本題滿分8分)生產(chǎn)線生

7、產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5 千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱 才能保障不超載的概率大于0.977.(2)=0.97$中X)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)).十二、(本題滿分8分)設(shè)隨機變量X和Y對聯(lián)和分布是正方形 G= (X,y)|1 X0 3,1產(chǎn))上的均勻分布，試求隨機變量U=X-Y的概率密度p(u).2001年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題（1）【答案】一【使用概念】設(shè)yx在x處可導(dǎo)，且f x0,則函數(shù)y關(guān)于x的彈性在x處的值為EyEx【詳解】由Q性為：AL1時，即AL K是K關(guān)于L的

8、彈EKdLEL（2）【答案】1.2W； 1【詳解】Wt表示第t年的工資總額，則 Wt1表示第t 1年的工資總額，再根據(jù)每年的工資總額比上一年增加20%的基礎(chǔ)上再追加2百萬，所以由差分的定義可得 Wt滿足的差分方程是:Wt (1 20 )Wt 1 2 1.2Wt1 2【答案】-3【詳解】方法1：由初等變換（既可作初等行變換，也可作初等列變換）,不改變矩陣的秩，故對 A進行初等變換k 1 1 1k 111111k1 k 00 k 1可見只有當(dāng)k =-3時，r(A)=3.故k =-3.方法2：由題設(shè)r(A)=3,故應(yīng)有四階矩陣行列式0.由1行(1)分別加到2,3, 4行2,3, 4列分別加到1列(k

9、3)(k1)30,解得k =1或k = -3.當(dāng)k =1時,utUuuUuJuUuuumUiUuuuUiir可知，此時r(A)=1,不符合題意，因此一定有 k =-3.1(4)【答案】一 12【所用概念性質(zhì)】切比雪夫不等式為:P X E(X)D(X)2期望和方差的性質(zhì)：E(X Y) EX EY ； D(X Y) DX 2cov(X,Y) DY【詳解】把X Y看成是一個新的隨機變量，則需要求出其期望和方差E(X Y)EX EY 2 2 0又相關(guān)系數(shù)的定義:(X,Y)8V(X,Y)DX . DYcov(X,Y)(X,Y) , DX , DY ( 0.5) J .41D(X Y)DX 2cov( X

10、,Y) DY 1 2 ( 1) 4 3所以由切比雪夫不等式:(5)【答案】(10,5)【所用概念】1.P X Y E(X Y) 6D(X Y)62XF分布的定義：F Q其中X n22(n1)2(1)22.分布的定義：若乙,L ,Zn相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),則Z： 2(n)i 13.正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化的定義：若N(0,1)【詳解】因為Xi : N(0, 22)i1,2,L ,15 ,將其標(biāo)準(zhǔn)化有Xi 02Xi一 一-y : N(0,1),從而根據(jù)卡方分布的定義2Xi2X102X112X1522,由樣本的獨立性可知,X102X112X1522相互獨立.故，根據(jù)F分布的定義2X12X

11、102Y X11210Xi22 X12 L?。篎(10,5).X15故Y服從第一個自由度為10,第二個自由度為5的F分布.二、選擇題(1)【答案】B【詳解】方法1：由lim衛(wèi)® x a x a1,知lim f '(x)x alimx alim x a 1 0 0x a又函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)在x a處連續(xù),根據(jù)函數(shù)在某點連續(xù)的定義，左極限等于右極限等于函數(shù)在這一點的值,所以 f (a) 0,于是有f.(a) limf，(x) f，(a)limx a即f (a) 0, f (a)1 0 ,根據(jù)判定極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù) f (x)在刈處具有二階導(dǎo)數(shù)且f (x0) 0, f (x

12、0) 0,當(dāng)f (x0)0時，函數(shù)f (x)在x0處取得極大值.知x a是f(x)的極大值點，因此，正確選項為(B).方法2：由lim一 x a x a1,及極限保號性定理：如果lim fx %x A,且 A 0(或 A 0),那么存在常數(shù)0,使得當(dāng)0x x0時，有fx0(或f x 0),知存在x a的去心鄰域,f '(x)在此去心鄰域內(nèi)(-)0于是推知，在此去心鄰域內(nèi)當(dāng) x a時a時f (x) 0.又由條件知f(x)在x a處連續(xù)，由判定極值的第充分條件：設(shè)函數(shù) f (x)在x0處連續(xù)，且在x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，若x x0, x0 時，f (x) 0,而 x%,%時，f(x) 0,

13、則f(x)在x0處取得極大值，知f (a)為f (x)的極大值.因此，選(B).(2)【答案】(D)【詳解】應(yīng)先寫出g(x)的表達式.x 1時,f(x)122(x2 1),有因為xg(x)0fx 2時,u duf(x)xg(x) 0 f (u)dug(x)1 z 22(u1)du12x，1(x D，31f (u)dux1f (u)du1 22(u1)dux1(u1 31)du1 3- x6231x, 2如g(x)limx 1?mg(x)limx 12 12 2g(1) 3 61 1 鼠所以由函數(shù)連續(xù)的定義，知g(x)在點x1處連續(xù),所以g(x)在區(qū)間0,2內(nèi)連續(xù)，選(D).同樣，可以驗證(A)

14、、(B)不正確，0x 1時,1311 2g(x)-x-x-x622調(diào)增，所以(B)遞減錯；同理可以驗證當(dāng)1x 2時,，、21,2g (x)- - x 13 6x 10,單調(diào)增，所以g0 g x g2,即0 gx5"6與選項(A)無界矛盾.(3)【答案】(C)【詳解】由所給矩陣 A,B觀察，將A的2,3列互換，再將 A的1,4列互換,可得B .根據(jù)初等矩陣變換的性質(zhì)，知將 A的2,3列互換相當(dāng)于在矩陣A的右側(cè)乘以E23 ，將A的1,4列互換相當(dāng)于在矩陣A的右側(cè)乘以E14,即0AE23E14 B ,其中 E230E14由題設(shè)條件知 P1E14,P2 E23,因此BAP2P .由于對初等矩

15、陣Ej有，Ej1 Ej,故“ PhB因此，由B AP2 Pl ,及逆矩陣的運算規(guī)律，有B 1 AP2Pn 1P21A 1 HP2Al.(4)【答案】(D)【詳解】由題設(shè)，A是n階矩陣,是n維列向量，即是一維行向量,一,A.可知 T是T 0n 1階矩陣.顯然有秩秩(A) n n 1,A即系數(shù)矩陣T非列滿秩，由0齊次線性方程組有非零解的充要條件:系數(shù)矩陣非列或行滿秩，可知齊次線性方程組0必有非零解.【答案】AX Y n,從而 Y n X ,【詳解】擲硬幣結(jié)果不是正面向上就是反面向上，所以DY D(nX)DX由方差的定義:DXEX2 (EX)2,所以DY D(nX)2E(n X)2 E(n X)_2

16、_2_2E(n 2nX X ) (n EX)2nEXEX2n2 2nEX (EX)2 EX2 (EX)2 DX )由協(xié)方差的性質(zhì):cov(X, c) 0 (c為常數(shù))；cov(aX,bY) abcov( X,Y)cov(X1 X2,Y) cov(X1,Y) cov(X2,Y)所以 cov(X,Y)cov( X,n X)cov(X, n) cov( X, X) 0DX DX由相關(guān)系數(shù)的定義，得(X,Y)cov(X,Y)DX、DX . DY DX、DX【變限積分求導(dǎo)公式】f (x)g(t)dtxgf(x)f (x)f dzdu fdx x根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有(*)在exyxy 2兩邊分別對x求

17、導(dǎo)，得xye (ydy dxxdy) (y xdy) 0, dx dxy.在exsntdt兩邊分別對x求導(dǎo)，得 tsin(x z) °x zdz、dz一),即一dxdxex(x z)sin(xz)將其代入（*）式，得f dzdu fdx xy_Lx yex(x z)sin(x z)四【詳解】因為lim(1xlim(xx c,x x c1x)e xx c 2c、x, 八lim()(把 x c 寫成 xx x cc 2c)lim(-xc 2c,cx c 2cx2cx c 2cx(把X與成k xrc)limxlimx(1ln (1lim ex2cx-c4c ) 2c x c2cxx c r

18、-72c 丁)2c x c2cxx c(利用募函數(shù)的性質(zhì)(利用對數(shù)性質(zhì)elnf(x)mnm、n、a (a )f(x)2cx ln x clim ex.2cxi limlnx x cex c2c (1 )2cx c(利用對數(shù)性質(zhì)ln f(x)g(x)(利用y ex函數(shù)的連續(xù)性,x c2 cx2 clim lim ln (1 ) 2c(當(dāng)各部分極限均存在時,g(x)lnf(x)lim exf (x)limexf(x)f(x)g(x)limxf (x) xim g(x). 2cx . lim ln limx x c xe(利用y lnx函數(shù)的連續(xù)性，limlnf(x)xlnlim f (x)x2c

19、ln ee(利用lim(1x1、x)e) x2ce(lne 1)又因為f (x)在內(nèi)可導(dǎo)，故在閉區(qū)間x 1,x上連續(xù)，在開區(qū)間(x 1,x)內(nèi)可導(dǎo)，那么又由拉格朗日中值定理,f(x) f(x 1)x(x 1) f ( ),x 1左右兩邊同時求極限，于lim f (x) f (xx1)limxf'( ) e,因為x 1x, x趨于無窮大時,也趨向于無窮大由題意,lim(：xc)x lim f (x) x x c xf(x 1),從而 e2c五【詳解】積分區(qū)域如圖所示，可以寫成其中,yiy 1,y x 1l(x2 xe2ydxdy1 / 22(xxye211ydyy2)dxdyydxdyD

20、1(x2 y2)xye2Ddxdy,11dy1ydx y11y(1y)dy23;)dxdye2(x2y2)1ydy1-(xxe2yy2)dx1ydy11(x：e2y)12d(2x)11(ee2(1y1y2)y2)1d2(11 _3(x2 y2)xe21 / 2 d-(x2y2)11(11(e2y2)ey2)dyy2)dy2y2)dxdyy2) , 2dy1ey12 . 2dyy2 .1e dy1e2(1y2)1 y2-e20 ,求得它與X軸交點的橫坐標(biāo)為:q)方法1:px2 qx x( pxX10, X2根據(jù)定積分的定義，面積qS p px20qx dxxndxn1 C)因直線x y 5與拋物

21、線y pxy 5相切的切點坐標(biāo)為(x°, y°),切點既在拋物 qx相切，故它們有唯一公共點 .由方程組x y 52 y px qx求其公共解，消去 y ,得px2 (q 1)x 5 0 ,因為其公共解唯一，則該一元二次方 程只有唯一解，故其判別式必為零，即22_(q 1)4 P ( 5) (q 1)20 p 0,一12斛得 p (q 1).20將p代入S中，得333S(q)3”.6p6 20(q 1)22 3(q 1)根據(jù)函數(shù)除法的求導(dǎo)公式，-2 _200q (3 q)53(q 1)3_4 _ _4 _3S(q)(200q ) 3(q 1) 3(q 1) (200q )3

22、( q 1)42根據(jù)駐點的定義，令 S(q) 0,已知有q 0,得唯一駐點q 3.當(dāng)1 q 3時，S(q) 0; q 3時，S(q) 0.故根據(jù)極值判定的第一充分條件知，q 3時，S(q)取唯一極大值，即最大值從而最大值為S S(3)225322萬法2：設(shè)拋物線y px qx與直線x線上，也在直線上，于是滿足方程有2y0px0 qx0 和 x0 y0 5.拋物線與直線在切點處的切線斜率是相等的,即一階導(dǎo)數(shù)值相等.在y px2 qx左右兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得y2px q,在x y 5左右兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得y把切點坐標(biāo)(x0,y0)代入,得y 2 P%q 1x0x x02p,2由x0y05y05x0,

23、將兩結(jié)果代入ypx°qx0得整理得y05X05 (q 12,-)PX0 qx0p(2pq 1)2-27q 1q( )2pP * 1)2.將p代入S中，得200q3S(q)q.3(q 1)4根據(jù)函數(shù)除法的求導(dǎo)公式,3S(q)如_4 _ _4 _33(q 1) 3(q 1) (200q )3( q 1)41 2-2 _200q (3 q)53(q 1)根據(jù)駐點(即使得一階導(dǎo)數(shù)為零的點)的定義，令S(q) 0,已知有q 0 ,得唯一駐點q 3.當(dāng)1 q 3時，S(q) 0; q 3時，S(q) 0;故根據(jù)極值判定的第一充分條件知，q 3時，S(q)取唯一極大值，即最大值從而最大值為S S(

24、3)22532七【詳解】將要證的等式中的換成x ,移項，并命一 X 1 一(X) f (X)f(x) X問題轉(zhuǎn)化為證在區(qū)間(0,1)內(nèi)(X)存在零點.將X 1f (X)f(X) 0 X看成一個微分方程，用分離變量法求解.由df(x) x 1 , dxf (x) xdf (x) x 11人兩邊積分得dx (1 -)dxf (x) xxIn f (x) x In xC1In f (x),Cexlnvf(x)Cexx即xe x f (x) C ,命 F (x) xe x f (x).由1f(1) k okxg xf(x)dx,(k 1)及積分中值定理(如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則在積分

25、區(qū)間a,b上至少存在一個b1一 一點，使得 f(x)dx f( )(b a)(a b),知至少存在一點(0,-)0,1,使ak1f(1) k 0kxe xf(x)dxe1 f()且 F( ) e f ( ) , F(1) e 1f(1).把 f (1) e1 f()代入，則F(1) e1f(1) e 1 e1 f( )e f( ) F()那么F(x)在,1上連續(xù)，在(，1)內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾中值定理知，至少存在一點(，1) 0,1使得F ( ) e f( ) e f ( ) 0即f ( )(11)f().【詳解】由已知條件可見fn (x) fn(x)乂0這是以fn(x)為未知函數(shù)的一階線性非齊次微

26、分方程，其中 p(x) 1,q(x) xn1ex,代入通解公式f(x)p(x)dxp(x)dxe ( q(x)e dx C)得其通解為n dx 1 dxxfn(x) exn 1exedx Cex Cn e1-由條件 fn(1) e,又 fn(1) e - C ，得Cnn0 ,故 fn (x)fn (x)n 1n xrx e x x en 1 nn 1 n、一xn 一1記 S(x)一，則 an-，n 1 nn1“m)1 1,則其收斂半徑為R 1,n收斂區(qū)間為(1,1).當(dāng)x(1,1)時，根據(jù)哥級數(shù)的性質(zhì)，可以逐項求導(dǎo),vnvnc/、XXn 111/2n .S (x) 一 一 x ，其中1 x x

27、 L x Ln 1 n n 1 n n 11 x 1 x.x-xx故根據(jù)函數(shù)積分和求導(dǎo)的關(guān)系f (x)dxf(x)C,得 °S(x)dxS(x)0S(x) S(0)又由于S(0)n0n0 0： L1 n120,所以xS(x) S(0)° S (x)dx 0dxln(1 x),n x即有 一 ln(1 x), x ( 1,1) n 1 n當(dāng)x 1時,(1)nn 1 nln2.級數(shù)在此點處收斂，而右邊函數(shù)連續(xù)，因此成立的范圍可擴大到x 1處，即nxln(1 x),x 1,1)n 1 n于是fn (x)exln(1 x), x 1,1)n 1九【詳解】(1)線性方程組AX有解但不

28、唯一，即有無窮多解r(A) r(A) n 3,將增廣矩陣作初等行變換，得11aM11 a 1M 1a 1 1M 22UuLuuUUulul3lfiu UuUjUUlUuaUUr11M1 a2M11uUUUUlUUUuUUu 0 a 100a M11 a M0(a 1)(a 2) M (a 2)因為方程組AX有解但不唯一，所以r(A) r(A) 3,故a=-2.(2)由(1),有112A 1212112,3列加到1列提出1列公因子1行(1)分別加到2,3行(3)(3)故A的特征值為10,3,3.當(dāng)10時,(0EA)1行的(1),2 倍2行加到3 亍于是得方程組(0EA)x0的同解方程組為X22x

29、33X2 3X30可見，r(0E A) 2,可知基礎(chǔ)解系的個數(shù)為 nr(0EA)2 1 ,故有1個自由未知量，選X2為自由未知量，取X21,解得對應(yīng)的特征向量為13時，23E A 121215151 UliUUuSUn 212122121511 513UMUdSi 212 血uuiiUtilUii2血 0900000 0 0于是得方程組(3E A)x 0的同解方程組為X1 5x2 X3 09X2 0可見，r(3E A) 2,可知基礎(chǔ)解系的個數(shù)為 n r(3E A)3 2 1,故有1個自由未知量，選X1為自由未知量，取 Xi 1,解得對應(yīng)的特征向量為2 (1,0, 1)T.i 3時,43E A

30、121211111 kiUitiSUr 412142141行(4)倍,2倍LiUiAUi36 SiSUM*3(5 03636000于是得方程組(3E A)x0的同解方程組為X， x3 03X2 6X30可見，r( 3E A) 2,可知基礎(chǔ)解系的個數(shù)為n r( 3E A) 3 2 1 ,故有1個自由未知量，選X2為自由未知量，取 X2 2,解得對應(yīng)的特征向量為 3 ( 1,2, 1)T .由于A是實對稱矩陣，其不同特征值的特征向量相互正交，故這三個不同特征值的特征向量相互正交，之需將 1，2, 3單位化,111_1_11_2_10一3 一1211 一.3 1 , 2 T 2 0 , 36 :.1

31、11其中,令1.一12123, 2, 12(1)22,3|'(1)222 (1)2111、, 3、2、，612、. 30、,6111.3、2.6300則有QtAQ Q 1AQ 0 3 000 0十【詳解】(1)由題設(shè)條件,f(Xi,X2,L Xn)n n AXiXj iiji|A| jAjXXjnAXj j iXi(AiXiA2X2LAnXn)XiXiXi(AiA,L ,An)X2Mx(Ai,A2,l ,An)X2MXnXnXi1 “ 、jA Xi(Ai , A2,L , An) X2 (A?i , A>2 , L , A2n) L Xn (Ai, Ai2 ,L , Ann)X2

32、MXni，,、(Xi,X2,L ,Xn)AAll A12 LA21 A22 LLAiLAnA2 nXiXiAnnTX2AM(X,X2,L ,Xn)-aX2MxtTA x-aXXnXn()XtA iX其中()的理由：a是可逆的實對稱矩陣，故1 T T 11 一 (A ) (A ) a ,因此由實對稱的定義知，a1也是實對稱矩陣，又由伴隨矩陣的性質(zhì)a a a e ,知a a a1，因此a也是實對稱矩陣， a a,故()成立.T1d.(2)因為 a 1 aa 1ate a 1,所以由合同的定義知 a與a 1合同.由實對稱矩陣A與B合同的充要條彳二次型 xTAx與xTBx有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)可知，g(X) XTA