常微分方程與級(jí)數(shù)

1、實(shí)驗(yàn)8 常微分方程與級(jí)數(shù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?學(xué)習(xí)用matlab求解微分方程命令dsolve. 學(xué)習(xí)matlab泰勒級(jí)數(shù)展開命令. 鞏固冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、和等概念.實(shí)驗(yàn)內(nèi)容： 學(xué)習(xí)matlab命令. matlab求解微分方程命令dsolve，調(diào)用格式為： dsolve(微分方程)給出微分方程的解析解，表示為t的函數(shù). dsolve(微分方程，初始條件)給出微分方程初值問題的解，表示為t的函數(shù). dsolve(微分方程，變量x)給出微分方程的解析解，表示為x的函數(shù). dsolve(微分方程，初始條件，變量x)給出微分方程初值問題的解，表示為x的函數(shù). 求已知函數(shù)的taylor展開式taylor命令，調(diào)用格

2、式為： taylor(函數(shù)f(x) f(x)的5次taylor多項(xiàng)式. taylor(函數(shù)f(x)，n) f(x)的n-1次taylor多項(xiàng)式. taylor(函數(shù)f(x)，a) f(x)在a點(diǎn)的taylor多項(xiàng)式. 求級(jí)數(shù)的和命令symsum調(diào)用格式為： symsum(S,n)，求 symsum(S,k,m,n),求 matlab求極限命令limit調(diào)用格式為： limit(函數(shù)f(x)，變量x，自變量的趨向值) 求解一階微分方程. 微分方程在輸入時(shí)，應(yīng)輸入Dy，應(yīng)輸入D2y等，D應(yīng)大寫例：求微分方程的通解解：輸入命令： dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x2)'

3、;) 結(jié)果為 ans = 1/2*(1+2*exp(-2*x*t)*C1*exp(x2)/exp(x2) 系統(tǒng)默認(rèn)的自變量是t，顯然系統(tǒng)把x當(dāng)作常數(shù)，把y當(dāng)作t的函數(shù)求解輸入命令： dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x2)','x') 得正確結(jié)果： ans = 1/2*(x2+2*C1)/exp(x2) 例：求微分方程在初始條件下的特解解：輸入命令： dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x') 得結(jié)果為： ans = 1/x*(exp(x)+exp(1)

4、 例：求微分方程在初始條件下的特解解：輸入命令： dsolve('(x2-1)*Dy+2*x*y-cos(x)=0','y(0)=1','x') 得結(jié)果為 ans = 1/(x2-1)*(sin(x)-1) 求解二階微分方程例：求的通解解：輸入命令： dsolve('D2y+3*Dy+exp(x)=0','x') 得結(jié)果： ans = -1/4*exp(x)+C1+C2*exp(-3*x) 例：求解微分方程 解：輸入命令： dsolve('D2y-exp(2*y)*Dy=0','x'

5、) 得結(jié)果： ans = 1/2*log(-2*C1/(-1+exp(2*x*C1+2*C2*C1)+x*C1+C2*C1 taylor展開式 例：求函數(shù)y=cosx在x=0點(diǎn)處的5階taylor展開式及在處的6階taylor展開式解：輸入命令： syms x;taylor(cos(x) 得結(jié)果： ans = 1-1/2*x2+1/24*x4 輸入命令： taylor(cos(x),pi/3,7) 得結(jié)果： ans = 1/2-1/2*3(1/2)*(x-1/3*pi)-1/4*(x-1/3*pi)2+1/12*3(1/2)*(x- 1/3*pi)3+1/48*(x-1/3*pi)4-1/24

6、0*3(1/2)*(x-1/3*pi)5-1/1440*(x-1/3*pi)6 級(jí)數(shù)求和例：求解：輸入命令： syms n;symsum(1/2n,1,inf) 得結(jié)果： ans = 1 例：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解：輸入命令： symsum(xn/(n*2n),n,1,inf) 得結(jié)果 ans = -log(1-1/2*x) 例：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解：輸入命令： symsum(n*xn,n,1,inf) 得結(jié)果： ans = x/(x-1)2 判別級(jí)數(shù)斂散性例：判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性解：輸入求和命令： symsum(1/(n*(n+1),n,1,inf) 得結(jié)果： ans = 1 求和得是1，說(shuō)明該級(jí)

7、數(shù)收斂例：判別級(jí)數(shù)的斂散性解：輸入命令： symsum(sin(pi/(n*(n+1),1,inf) 得結(jié)果： ans = sum(sin(pi/n/(n+1),pi = 1 . inf) 由執(zhí)行結(jié)果看出仍含有sum，說(shuō)明用matlab不能求出其和，可采用比較判別法，取比較級(jí)數(shù)為P級(jí)數(shù),取二者通項(xiàng)比值的極限輸入命令： limit(sin(pi/(n*(n+1)/(1/n2),n,inf) 得結(jié)果： ans = pi 得值為pi,由所取P級(jí)數(shù)收斂，得知所要判別的級(jí)數(shù)也收斂例：判別級(jí)數(shù)的斂散性解：用比值判別法，輸入命令： limit(n+1)*(3/4)(n+1)/(n*(3/4)n),n,inf) 得結(jié)果： ans = 3/4 極限值小于1，由比值判別法知級(jí)數(shù)收斂實(shí)際上輸入求和命令： symsum(n*(3/4)n,n,1,inf) 得結(jié)果： ans = 12 練習(xí)：求1-6題微分方程的通解1 23