連續(xù)信號(hào)傅立葉分析

1、第二章 連續(xù)信號(hào)傅立葉分析2.1信號(hào)的正交分解概念概念 信號(hào)與多維矢量之間的相似關(guān)系空間感念數(shù)學(xué)定義:把具有某種特性的集合稱為“空間”線性矢量空間：引入線性運(yùn)算的矢量空間范數(shù):矢量長度類似線性賦范空間內(nèi)積空間信號(hào)能量與矢量長度的相似信號(hào)相關(guān)性類似于矢量之間的夾角內(nèi)積空間的正交性內(nèi)積空間信號(hào)的正交展開帕塞瓦爾公式揭示了信號(hào)正交分解能量不變性的物理本質(zhì), 相當(dāng)于矢量范數(shù)不變性(內(nèi)積不變性)的體現(xiàn)一. 信號(hào)矢量空間1.線性空間其中任意兩元素相加構(gòu)成集合內(nèi)的另一個(gè)元素,任一元素與任一數(shù)相趁乘后得到集合內(nèi)的另一元素.n維實(shí)數(shù)空間連續(xù)時(shí)間信號(hào)空間L離散時(shí)間信號(hào)空間在線性空間利用線性運(yùn)算研究線性相關(guān)、基、維

2、數(shù)等線性結(jié)構(gòu) n維實(shí)數(shù)空間為有限維空間，連續(xù)、離散時(shí)間信號(hào)空間為 無窮維空間NRl2.范數(shù)、賦范空間范數(shù)是矢量長度的度量方法，也用于表示信號(hào)能量a)的范數(shù) 常見的有 ， ， 。 稱為歐氏距離NRpxpxxiNipNpip1/11max1 1.2. 2.a) L和 范數(shù) lptxpdttxxppp)(sup1)(./1pnxpnxxppp)(sup1)(./1dttxx)(.12/122)(.dttxxdttxx222)(.二階范數(shù)的平方表示信號(hào)能量， 表示信號(hào)可測得的蜂值給出了范數(shù)的概念可構(gòu)成線性賦范空間，如 等x1L2LLl3.內(nèi)積,內(nèi)積空間范數(shù)與信號(hào)自身的能量、強(qiáng)度等特征相對(duì)應(yīng)，而內(nèi)積與信

3、號(hào)之間的相關(guān)密切相連。 三維矢量內(nèi)積運(yùn)算 ，當(dāng)夾角為90度時(shí)，結(jié)果為零；夾角為0時(shí)，結(jié)果最大。 L空間兩信號(hào)的內(nèi)積： ),(),(2121yyyxxx兩矢量夾角21)cos(21222211yxyxyx332211yxyxyx222)(,)()(,xdttxxxdttytxyxZnnynxyx)(*)(,二.信號(hào)的正交分解1、矢量正交與正交分解、矢量正交與正交分解矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與與Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義：正交的定義：其內(nèi)積為其內(nèi)積為0。即。即031iyixiTyxvvVV由兩兩正交的矢量組成的矢量集合由兩兩正交的矢量組成的矢量集

4、合-稱為稱為正交矢量集正交矢量集 例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量A =(2，5，8)，可以用一個(gè)三維正交矢量，可以用一個(gè)三維正交矢量集集 vx，vy，vz分量的線性組合表示。即分量的線性組合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)信號(hào)空間，在信號(hào)空間找到若干空間，在信號(hào)空間找到若干個(gè)個(gè)相互正交的信號(hào)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。們的線性組合。 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù) 1(t)

5、和和 2(t),若滿足若滿足 210d)()(*21ttttt21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt則稱則稱 1(t)和和 2(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)內(nèi)正交正交。 若若n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足內(nèi)滿足 則稱此函數(shù)集為在區(qū)間則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 iiijiKtttt)(),(0)(),(如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在之外，不存在函數(shù)函數(shù)(t)(0）滿足）滿足 210d)()(t

6、tittt則稱此函數(shù)集為則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。2、正交函數(shù)集、正交函數(shù)集例例3:沃爾什函數(shù)沃爾什函數(shù)(walah)是區(qū)間（是區(qū)間（0，1）的完備正交函數(shù)集）的完備正交函數(shù)集例例1：三角函數(shù)集三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 例例2:虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的在區(qū)間是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。上的完備正交函數(shù)集。10)2cos(),(10ttkSgntkWalprrr), 1 (), 6(), 1 (), 2(), 4(), 7(), 2(), 4(), 6(), 1 ()

7、, 4(), 5(4cos), 4(), 2(), 1 (cos2cos), 3(2cos), 2(cos0coscos), 1 (10cos), 0(tWaltWaltWaltWaltWaltWaltWaltWaltWaltWaltWaltWaltSgntWaltWaltWaltSgntSgntWaltSgntWaltSgntSgntSgntWaltSgntWal3、正交函數(shù)集實(shí)例、正交函數(shù)集實(shí)例 上述波形也稱為“小波”。小：具有衰減性、局部非零的的函數(shù); 波:指具有波動(dòng)性,振幅呈正負(fù)之間的震蕩形式 利用所給的小波能否派生更多更適用的小波函數(shù)?) 12()2()() 12()2()(tttt

8、tt)(2RL 小波函數(shù)的重要價(jià)值在于通過平移和伸縮生成 中的一組正交基nkkknkntdtfNnknt,2()(,2( MATLAB有各種小波基函數(shù)庫,信號(hào)分解為正交函數(shù)和是信號(hào)分析的一個(gè)重要內(nèi)容,傅立葉級(jí)數(shù)、傅立葉變換、離散傅立葉變換、離散余弦變換、小波變換等。0,PE4、正交分解、正交分解設(shè)有設(shè)有n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為近似，可表示為 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何選擇各系數(shù)如何選擇各

9、系數(shù)Cj使使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值通常使誤差的方均值(稱為稱為均方誤差均方誤差)最小。均方誤差為最小。均方誤差為 ttCtfttttnjjjd )()(12121122 為使上式最小為使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC210d)()()(222ttiiiiittCttfCC21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫為，寫為 所以系數(shù)所以系數(shù)212121d)()(1

10、d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC 最小均方誤差最小均方誤差0d)(112212221njjjttKCttftt正交函數(shù)近似正交函數(shù)近似f(t)時(shí)，時(shí)，n越大，均方誤差越小。當(dāng)越大，均方誤差越小。當(dāng)n時(shí)（為完時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。備正交函數(shù)集），均方誤差為零。12221d)(jjjttKCttf稱為稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量所含能量恒等于恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。 1)()(jjjtCtf

11、函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和三. 正交基1、正交變換、正交變換 是空間是空間H的一組向量的一組向量,它們線性無關(guān)且構(gòu)成完備函數(shù)集它們線性無關(guān)且構(gòu)成完備函數(shù)集,為為H 的一組正交基的一組正交基分解系數(shù)分解系數(shù) 是唯一的是唯一的 將信號(hào)經(jīng)正交變換后得到一組離散系數(shù)將信號(hào)經(jīng)正交變換后得到一組離散系數(shù) ,具有減少具有減少各分量的相關(guān)性的作用各分量的相關(guān)性的作用,即將信號(hào)能量集中于少數(shù)系數(shù)上即將信號(hào)能量集中于少數(shù)系數(shù)上.相關(guān)性去處的相關(guān)性去處的程度及能量集中的程度取決于選擇的基函數(shù)的性質(zhì)程度及能量集中的程度取決于選擇的基函數(shù)的性質(zhì). nNnnx1N,21N,2

12、12、正交基選擇、正交基選擇 在一個(gè)在一個(gè)N維空間中維空間中,如同有無數(shù)組如同有無數(shù)組N個(gè)線性無關(guān)的向量一個(gè)線性無關(guān)的向量一樣樣,也可以找到無窮多個(gè)正交基也可以找到無窮多個(gè)正交基,如何選擇一組好的正交基如何選擇一組好的正交基?一般考慮如下幾個(gè)因素一般考慮如下幾個(gè)因素: 具有所希望的物理意義或?qū)嶋H含義具有所希望的物理意義或?qū)嶋H含義,有些物理解釋雖然不有些物理解釋雖然不 甚明朗甚明朗,但有較強(qiáng)的實(shí)際價(jià)值但有較強(qiáng)的實(shí)際價(jià)值 正交基應(yīng)盡量簡單正交基應(yīng)盡量簡單,盡量減少正反變換時(shí)的計(jì)算量盡量減少正反變換時(shí)的計(jì)算量 為了研究局部頻率或局部時(shí)間性質(zhì)為了研究局部頻率或局部時(shí)間性質(zhì),希望基函數(shù)有頻域和希望基函數(shù)

13、有頻域和時(shí)域的定位時(shí)域的定位 功能功能,既既頻域和時(shí)域最好是緊支撐的頻域和時(shí)域最好是緊支撐的 具有好的去相關(guān)性和能量集中的性能具有好的去相關(guān)性和能量集中的性能正交小波正是朝這一目標(biāo)努力得出的可喜成果正交小波正是朝這一目標(biāo)努力得出的可喜成果.2.2信號(hào)的傅立葉分析 一一.周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)：周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)： 10100)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatx100)cos(2)(nnntnAAtx表明表明:周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。其中，其中， A0/2為為直流分量直流分量；A1cos( 0 0t+ 1)稱為稱為基波基波，它的角頻

14、率與原周期信號(hào)相同；，它的角頻率與原周期信號(hào)相同；A2cos(2 0 0t+ 2)稱為稱為二次諧波二次諧波，它的頻率是基波的，它的頻率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n 0 0t+ n)稱為稱為n次諧波次諧波。 Ann0,n n0 繪成的波形稱為幅度譜和相位譜.1.三角型傅立葉級(jí)數(shù)：三角型傅立葉級(jí)數(shù)： 2.指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)：指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)： ntjnntjnjnjnXAtxn0e)(ee21)(01)()(0ee2200ntnjtnjnnnAA11000ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA100)cos(2)(nnntnAAtx)()()(0)(000jnX

15、txejnXjnXnjn提取了反映信號(hào)全貌的三個(gè)基本特征,即基波頻率、各諧波的幅度和相位頻譜圖n頻譜圖與時(shí)域波形的變化規(guī)律有著密切的關(guān)系：頻率的高低相應(yīng)于波形變化的快慢；諧波幅度的大小反映了時(shí)域波形幅值得大?。幌辔坏淖兓P(guān)系到波形在時(shí)域出現(xiàn)的不同時(shí)刻)(0jnX 任意波形的周期信號(hào)都可以用反映信號(hào)頻率特性的 復(fù)函數(shù)描述3.3.傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì))()()()(222111221121jXajXatxatxaF)()()()(0220112211021jXajXatxatxaF性質(zhì)一性質(zhì)一 線性 性質(zhì)二性質(zhì)二 時(shí)移特性)()()()(2211jnXtxjnXtx若若 若 只要T1/

16、T2為有理數(shù))()(0000jnXettxtjnF性質(zhì)三性質(zhì)三 尺度變換 )()(0jnXtxF0a)2(2/1)2(/)(2/000nSanTSajnX信號(hào)在時(shí)域信號(hào)在時(shí)域尺度變換,頻域中各諧波的傅立葉系數(shù)保持不變.但基波頻率變?yōu)?周期為4,脈寬為2的周期信號(hào) )2(2/1)(00nSajnX周期為2,脈寬為1的周期信號(hào) 性質(zhì)四性質(zhì)四 時(shí)域微積分性質(zhì) 00)1(000)()()()( )()(jnjnXtxjnXjntxjnXtxFFF4.4.傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用諧波分析諧波分析 信號(hào)重構(gòu)與信號(hào)重構(gòu)與GibbsGibbs效應(yīng)效應(yīng) 對(duì)于帶突變的信號(hào),不可能有完美的重構(gòu),當(dāng)有限項(xiàng)疊加

17、時(shí),在每個(gè)突變位置上顯示出過沖和下沖現(xiàn)象(突變約9%).沒有突變的信號(hào),不存在Gibbs 效應(yīng)0510152000.51k ( k1 ) ck / (2A/T)051015200pik ( k1 ) k0510152000.51k ( k1 ) c1k / (2A/T)周期脈沖信號(hào)的頻譜 5.5.周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn): :1 基本特點(diǎn)離散性和諧波性2 常見周期信號(hào)頻譜的衰減性和無限帶寬特點(diǎn)3 時(shí)域中的跳變會(huì)產(chǎn)生豐富的高頻分量4 頻譜包絡(luò)線5 “主瓣”寬度,“旁瓣”寬度;6 譜線條數(shù) 7 脈寬一定,周期增大,零點(diǎn)不變,譜線變密8 周期一定,脈寬減小,譜線疏密不變,零點(diǎn)外擴(kuò)2B1f

18、Bn周期、脈寬引起頻譜的變化-2T-T0T2T0At x ( t ) T = 8, = 2 .-10-5051000.1250.25k ( k1 ) |XT ( k1 )| / A-T0T0At x ( t ) T = 16, = 2 .-20-100102000.1250.25k ( k1 ) |XT ( k1 )| / A-2T-T0T2T0At x ( t ) T = 8, = 1 .-10-5051000.1250.25k ( k1 ) |XT ( k1 )| / A周期、脈寬引起頻譜的變化n周期信號(hào)過渡到非周期信號(hào)的頻譜-T0T0At xT ( t ).-1001000.51k (

19、k1 ) |XT ( k1 )| / (A/T)00At x( t )000.51 X( ) / (A)周期脈沖信號(hào)及其頻譜及單個(gè)脈沖信號(hào)及其頻譜 二二. .非周期信號(hào)的傅里葉變換分析非周期信號(hào)的傅里葉變換分析dejXtxtj)(21)(dtetxjXtj)()()()()()()(IRjjXXejXjX傅里葉正變換:傅里葉逆變換:)()(jXtxF2.2.非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)頻譜和非周期信號(hào)頻譜的重要區(qū)別： 1 周期信號(hào)頻譜是頻率的離散函數(shù); 而非周期信號(hào)頻譜是頻率的連續(xù)函數(shù)； 2 表示的是周期信號(hào)各頻率分量實(shí)際幅度; 而 表示的是非周期信號(hào)各頻率分量的相對(duì) 幅度大小關(guān)系

20、。 )(0jnXT)(jXdejXtxtj)()(21)(0)(cos)(1dtX單邊指數(shù)衰減信號(hào)幅頻特性及相頻特性 -1001000.51)|X2 ( )| / ( 1/ )-10010-101 / 2 ( ) / ( /2 )雙邊指數(shù)衰減奇信號(hào)的幅頻特性和相頻特性 -50500.51|X3 ( )| ( = 1 )-505-1013 ( ) / ( /2 )雙邊指數(shù)衰減奇信號(hào)及其頻譜 及其頻譜 0-101tx3 ( t )00|X3 ( )|0-101tSgn(t)-5005000.20.4| F Sgn( t ) |)(tSgn3.3.傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì))()(00jXet

21、txtjF)()(00jXettxtjF)()(00jjXetxFtj性質(zhì)一性質(zhì)一 線性 )()()()(22112211jXajXatxatxaF性質(zhì)二性質(zhì)二 對(duì)稱性 )()(jXtxF)(2)(jxtXF性質(zhì)三性質(zhì)三 尺度變換 )(1)(jXtxF性質(zhì)四性質(zhì)四 時(shí)移特性性質(zhì)五性質(zhì)五 頻移特性 )()(00jXetxFtj時(shí)頻壓擴(kuò)現(xiàn)象 -20201t x( t )-pi/20pi/204 X( )-10101t x( 2t )-pi0pi024 (1/2) X( /2 )()()(*)(2121jXjXtxtxF)(*)()(thtxty)()()(jHjXY性質(zhì)八性質(zhì)八 時(shí)域卷積特性：性質(zhì)

22、七性質(zhì)七 時(shí)域積分特性)()0()()(XjjXdxFt性質(zhì)六性質(zhì)六 時(shí)域微分特性 )()(jXjtxdtdF)()()(jXjtxdtdnFnn性質(zhì)九性質(zhì)九 頻域卷積定理djjXjXjXjXtxtxF)()(21)(*)(21)()(212121性質(zhì)十性質(zhì)十 帕斯瓦爾定理 djXdttx22)(21)(性質(zhì)十一性質(zhì)十一 頻域微分特性 )()(jXddtjtxF)()()(jXddtxjtnnFn性質(zhì)十二性質(zhì)十二 頻域積分特性 djXtxjttxF)()()0()( F 變換對(duì)變換對(duì)常用函數(shù)常用函數(shù) F 變換對(duì)：變換對(duì)：t域域域域tetfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()求解下列信號(hào)的傅里葉變換。(1) 直流信號(hào) Atx)(1(2) 采樣函數(shù) 2)(2tS