24等比數(shù)列(必修5優(yōu)秀課件)

1、2.4 等比數(shù)列等比數(shù)列銅仁二中 覃波 相 信 奮 斗 就 是 力 量如果能將一張厚度為如果能將一張厚度為0.050.05mm的報紙對折，的報紙對折，再對折，再對折再對折，再對折依次對折依次對折5050次，你次，你相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之間相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋？建一座橋？情境一情境一: :折紙折紙問題情境:對折一次對折二次對折三次對折四次.對對折折 次次n對折對折紙的紙的次數(shù)次數(shù)n紙的紙的層數(shù)層數(shù) 24816.情境二情境二: :莊子莊子天下篇天下篇中寫到：中寫到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。設(shè)木棰長度為設(shè)木棰長度為1木棰木

2、棰長度長度第一天取半第一天取半第二天取半第二天取半第三天取半第三天取半第四天取半第四天取半.121418116.第第 天取半天取半n情境三：情境三： 如下圖是某種細胞分裂的模型：如下圖是某種細胞分裂的模型：細胞分裂個數(shù)可以組成下面的數(shù)列：細胞分裂個數(shù)可以組成下面的數(shù)列：124816觀察上述情境中得到的這幾個數(shù)列，看有觀察上述情境中得到的這幾個數(shù)列，看有何共同特點何共同特點? 1,2, 4, 8, 16, ; ;81,41,21, 1共同特點：共同特點：從從第二項第二項起，每一項與起，每一項與前一項前一項 的的比比都等于都等于同一個常數(shù)同一個常數(shù)1, 20, 202, 203,； -2, 2,

3、-2, 2, . 講授新課講授新課1. 等比數(shù)列的定義等比數(shù)列的定義: 一般地，若一個數(shù)列從一般地，若一個數(shù)列從第二項第二項起，每一起，每一項與它的項與它的前一項前一項的的比比等于等于同一個常數(shù)同一個常數(shù)，這個，這個數(shù)列就叫做數(shù)列就叫做等比數(shù)列等比數(shù)列.這個這個常數(shù)常數(shù)叫等比數(shù)列的叫等比數(shù)列的公比公比，用字母，用字母q 表示表示. (q0) 2.等比數(shù)列定義的符號語言等比數(shù)列定義的符號語言:qaann 1(q為常數(shù)，且為常數(shù)，且q0 ；n22且且nN*)或或 1nnaqa(q為常數(shù)，且為常數(shù)，且q0 ；nN*)(1) 1，3，9，27， (3) 5， 5， 5， 5，(4) 1，-1，1，-1

4、，(2) ,161,81,41,21(5) 1，0，1，0， 練練 習(xí)習(xí) 判斷下列各組數(shù)列中哪些是等比數(shù)列，哪判斷下列各組數(shù)列中哪些是等比數(shù)列，哪些不是？如果是，寫出首項些不是？如果是，寫出首項a1 1和公比和公比q, , 如如果不是，說明理由。果不是，說明理由。是是是是是是是是a1=1, q=3a1=5, q=1a1=1, q= -1不是不是11122aq，(6) 0，0，0，0，(7) 1, a, a2, a3 , (8) 1，2，6，18，不是不是不是不是小結(jié)：小結(jié)：判斷一個數(shù)列是不是等比數(shù)列，判斷一個數(shù)列是不是等比數(shù)列，主要是由定義進行判斷：主要是由定義進行判斷：不一定是不一定是1nn

5、aa看看 是不是同一個常數(shù)？是不是同一個常數(shù)？注意：注意：(2)公比公比q一定是由一定是由后項比前項后項比前項所得，而不所得，而不 能用前項比后項來求，且能用前項比后項來求，且q0；(1) 等比數(shù)列等比數(shù)列an中中, an0；(3)若若q1，則該數(shù)列為，則該數(shù)列為常數(shù)列常數(shù)列 (4)(4)常數(shù)列常數(shù)列 a, a , a , a , 0a時時, ,既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列;0a時時, ,只是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列只是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列. .2、等比數(shù)列的通項公式：、等比數(shù)列的通項公式： 法一：遞推法（不完全歸納法）法一：遞推法（不完全歸納法）qaaqaa121

6、2212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa由此歸納等比數(shù)列的通項公式可得：由此歸納等比數(shù)列的通項公式可得： 11nnqaa等等比比數(shù)數(shù)列列等等差差數(shù)數(shù)列列daa12daa213daa314由此歸納等差數(shù)列由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得：的通項公式可得： dnaan) 1(1類比類比2、等比數(shù)列的通項公式：、等比數(shù)列的通項公式： 累乘法累乘法qaa12qaa23qaa3411nnqaaqaann1共共n 1 項項）等等比比數(shù)數(shù)列列法二：迭加法法二：迭加法daa12daa23daa34dnaan) 1(1daann1+）等等差差數(shù)數(shù)列列類比類比 以以a1為首項，為首項，q為公比的等

7、比數(shù)列為公比的等比數(shù)列an的通的通項公式為：項公式為：4.等比數(shù)列的通項公式：等比數(shù)列的通項公式：5.5.等比數(shù)列通項公式的推廣：等比數(shù)列通項公式的推廣：7.7.等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用：知三求一等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用：知三求一111nnmnnnnmaaaqqqaaa，6.6.等比數(shù)列的公比公式：等比數(shù)列的公比公式：1*11(,0)nnaaqa qnN；*(,0,)n mnmmaaqaqm nN；湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校 例、一個等比數(shù)列的第例、一個等比數(shù)列的第3項與第項與第4項分別是項分別是12與與18,求它的第求它的第1項與第項與第2項項. 解：設(shè)這個等比數(shù)列的第解：設(shè)這個等比數(shù)列的第1

8、項是項是 ,公比是公比是q ，那么，那么82331612qaa3161a23q解得，解得， ， 因此因此316 答：這個數(shù)列的第答：這個數(shù)列的第1項與第項與第2項分別是項分別是 與與 8.1a1831qa1221qa湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校課堂互動課堂互動（2 2）一個等比數(shù)列的第）一個等比數(shù)列的第2 2項是項是10,10,第第3 3項是項是20,20,求它的第求它的第1 1項與第項與第4 4項項. .(1)(1)一個等比數(shù)列的第一個等比數(shù)列的第5 5項是項是 , ,公比是公比是 ，求它的第，求它的第1 1項；項；94315 1114()39a 136a 解得，解得，答：它的第一項是答：它

9、的第一項是36 .解：設(shè)它的第一項是解：設(shè)它的第一項是 ，則由題意得，則由題意得1a解：設(shè)它的第一項是解：設(shè)它的第一項是 ，公比是，公比是 q ，則由題意得，則由題意得1a答：它的第一項是答：它的第一項是5，第，第4項是項是40.101qa2021qa，51a2q解得解得，40314qaa因此因此練習(xí)：練習(xí)： 求下列各等比數(shù)列的通項公式：求下列各等比數(shù)列的通項公式：(1) a15, 且且2an13an .35(2)1 ,9aa思考：思考：如果在如果在a與與b的中間插入一個數(shù)的中間插入一個數(shù)G，使，使a, G, b成等比數(shù)列，那么成等比數(shù)列，那么G應(yīng)該滿足什么條件？應(yīng)該滿足什么條件？2反之，若反

10、之，若即即a,G,b成等比數(shù)列成等比數(shù)列.a, G, b成等比數(shù)列成等比數(shù)列,2abG 則則,GbaG abG (ab0) 分析：分析： 由由a, G, b成等比數(shù)列得：成等比數(shù)列得： abGabGGbaG 2(ab0) 如果在如果在a與與b中間插入一個數(shù)中間插入一個數(shù)G，使，使a, G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G為為a與與b的的等比中項等比中項. 3.等比中項：等比中項：2(0)(0)GabGababGabab 是 、 的等比中項即：即： 注意：注意：若若a，b異號則無等比中項異號則無等比中項,若若a，b同號則有兩個等比中項同號則有兩個等比中項.湖南省長沙市一中衛(wèi)星

11、遠程學(xué)校14580（）求與的等比中項babccab求的等比中項，且與是）已知（,272603b練習(xí)練習(xí)：課堂小結(jié)課堂小結(jié)等比數(shù)列等比數(shù)列名稱名稱等差數(shù)列等差數(shù)列概念概念常數(shù)常數(shù)通項通項公式公式1通項通項公式公式2中項中項()nmaan m d*( ,)n mN從第從第2項起項起,每一項與它每一項與它前前一項的一項的差差等于等于同一個常數(shù)同一個常數(shù)公差公差(d )d 可正、可負、可零可正、可負、可零從第從第2項起項起,每一項與它每一項與它前前一項的一項的比比等于等于同一個常數(shù)同一個常數(shù)公比公比(q )q可正、可負、可正、可負、不可零不可零1(1)naand*()nN11nnaaq*(0)qnN，

12、n mnmaa q*(0,)qn mN，A2Aabab是 、 的等差中項2(0)GabGabab是 、 的等比中項精講精練、創(chuàng)新精講精練、創(chuàng)新課后作業(yè)課后作業(yè)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的公差為的公差為2,若若a1,a3,a4成成等比數(shù)列等比數(shù)列,求求a2=？湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校練習(xí)練習(xí)在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，中，12166,128,nnaaa a 且且q=2，求，求a1和和n.湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校2( )A. 0. 1. 2. 02bacf xaxbxcxBCD如果實數(shù) 是 ， 的等比中項，則的圖象與 軸交點的個數(shù)是（）.或A練習(xí)練習(xí):湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校若數(shù)列若

13、數(shù)列an的首項是的首項是a1=1,公比公比q=2,則用通項公式表示是：則用通項公式表示是：an=2 n1上式還可以寫成上式還可以寫成nna221可見，表示這個等比數(shù)列可見，表示這個等比數(shù)列的各點都在函數(shù)的各點都在函數(shù) 的圖象上，如右圖所示。的圖象上，如右圖所示。 0 1 2 3 4 nan87654321 的點函數(shù)的圖象上一些孤立的圖象是其對應(yīng)的等比數(shù)列結(jié)論na：xy221通項公式法通項公式法:an= bcn湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校判斷等比數(shù)列的方法判斷等比數(shù)列的方法:1、(定義法定義法)利用利用an / an-1是否是一個與是否是一個與n無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)2、(通項公式法通項公式法)判

14、斷判斷an= bcn (bc 0 為常數(shù)為常數(shù))湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校例、例、有三個數(shù)成等比數(shù)列，若它們的積有三個數(shù)成等比數(shù)列，若它們的積等于等于64，和等于，和等于14，求此三個數(shù)？，求此三個數(shù)？注意：注意：等比數(shù)列中若三個數(shù)成等比數(shù)列，可以設(shè)為等比數(shù)列中若三個數(shù)成等比數(shù)列，可以設(shè)為 2,a aq aq 或, ,a aqaq練習(xí)：已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為練習(xí)：已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為2727， 它們的立方和為它們的立方和為8181，求這三個數(shù)。，求這三個數(shù)。湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校例、例、有四個數(shù)，若其中前三個數(shù)成等比數(shù)列，有四個數(shù)，若其中前三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的

15、積等于它們的積等于216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，它們，后三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于的和等于12，求此四個數(shù)？，求此四個數(shù)？注意：注意：等比數(shù)列中若四個數(shù)成等比數(shù)列，等比數(shù)列中若四個數(shù)成等比數(shù)列，不能不能設(shè)為設(shè)為 33,aaaq aqqq因為這種設(shè)法表示公比大于零！因為這種設(shè)法表示公比大于零！練習(xí)：有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三練習(xí)：有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)。，求這四個數(shù)?？梢栽O(shè)這可以設(shè)這四個數(shù)為四個數(shù)為a,b,c

16、,d15,9,3,1或或0,4,8,16某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的這種物質(zhì)是原來的過一年剩留的這種物質(zhì)是原來的84%.這種物這種物質(zhì)的質(zhì)的半衰期半衰期為多長為多長(精確到精確到1年年)？放射性物質(zhì)衰變放射性物質(zhì)衰變到原來的一半所到原來的一半所需時間稱為這種需時間稱為這種物質(zhì)的半衰期物質(zhì)的半衰期 .nnnaa解:設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量為1，經(jīng)過 年，剩留量是由條件可得，數(shù)列是一個等比數(shù)列，其中l(wèi)g0.84lg0.54nn兩邊取對數(shù)，得得0.840.5n1110.84 0.840.84nnnnaa q又10.840.840.5naqa，4

17、.答：這種物質(zhì)的半衰期大約為 年湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校1.等差數(shù)列等差數(shù)列：銀行利息按單利計算（利息沒有利息）本利和=本金（1+利率存期）例如：存入10000元，利率為0.72%存期年初本金年末本利和（元）結(jié)果第一年1000010000（1+0.7251）10072第二年1000010000（1+0.7252）10144第三年1000010000（1+0.7253）10216第四年1000010000（1+0.7254）10288特點：每一項與前一項的差是同一個常數(shù)湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校2.等比數(shù)列：銀行利息按復(fù)利計算（利滾利）本金和=本金（1+利率）存期存期年初本金年末本利和（元

18、）第一年1000010000（1+1.98%）1第二年100001.019810000（1+1.98%）2第三年100001.0198210000（1+1.98%）3第四年100001.0198310000（1+1.98%）4例如：存入10000元，利率為1.98%特點：后一頂與前一項的比是同一個常數(shù)湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校n2n3n6是n）21(n)31(n)61(是湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校結(jié)論：如果是項數(shù)相同的等結(jié)論：如果是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么也是等比數(shù)列比數(shù)列，那么也是等比數(shù)列 na nbnnba 證明：設(shè)數(shù)列證明：設(shè)數(shù)列 的公比為的公比為p， 的公比為的公比為q，那么數(shù)列，

19、那么數(shù)列 的第的第n項與第項與第n+1項分項分別為別為 與與 ，即，即 與與 因為因為它是一個與它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以是一個以無關(guān)的常數(shù)，所以是一個以pq為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列 na nbnnba 1n11n1qbpan1n1qbpa1n11)pq(ban11)pq(ba,pq)pq(ba)pq(bababa1n11n11nn1n1n 特別地特別地，如果是如果是 等比數(shù)列，等比數(shù)列，c是不等是不等于的常數(shù)，那么數(shù)列于的常數(shù)，那么數(shù)列 也是等比數(shù)列也是等比數(shù)列 nanac湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校探究探究對于例中的等比數(shù)列與，數(shù)列也一定是等比數(shù)列嗎？ na nbnnba是湖南省

20、長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校a a若若aan nbbn n 是項數(shù)相同的等比數(shù)列，是項數(shù)相同的等比數(shù)列，nnba都是等比數(shù)列都是等比數(shù)列則則aan nb bn n 和和b b若若aan n 是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，c c是不等于是不等于0 0的常數(shù)，的常數(shù)， 那么那么cacan n 也是等比數(shù)列也是等比數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠程學(xué)校性質(zhì) : 在等比數(shù)列 中， 為公比， 若 且naq*,Nqpnm qpnm那么： 等比數(shù)列的性質(zhì)nmpqa aa a推論: 在等比數(shù)列 中， 為公比， 若 且nad*,Npnmpnm2那么： 2nmsa aa特殊地特殊地: 211( )(2)nnnaaan湖南省長沙市