正態(tài)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布概述(共44頁).ppt

1、6.2 6.2 正態(tài)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布正態(tài)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布 正態(tài)分布正態(tài)分布6.2.3 6.2.3 t t分布分布( (學生分布學生分布) )6.2.4 F6.2.4 F分布分布6.2.2 (6.2.2 (卡方卡方) )分布分布)(2n6.2.5 6.2.5 正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論6.2.6 Excel6.2.6 Excel實現(xiàn)實現(xiàn) 確定統(tǒng)計量的分布確定統(tǒng)計量的分布 抽樣分布抽樣分布, , 是數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)理統(tǒng)計的基本問題之一的基本問題之一. . 采用求隨機向量的函數(shù)的分布的方采用求隨機向量的函數(shù)的分布的方法可得到抽樣分布法可得到抽樣分布. .由于樣本容量一般

2、不止由于樣本容量一般不止 2 2 或或 3 3 ( (甚至還可能是隨機的甚至還可能是隨機的), ), 故計算往往很復雜故計算往往很復雜, , 有時還有時還需要特殊技巧或特殊工具需要特殊技巧或特殊工具. . 由于正態(tài)總體是最常見的總體由于正態(tài)總體是最常見的總體, , 故本節(jié)介紹故本節(jié)介紹的幾個抽樣分布均對正態(tài)總體而言的幾個抽樣分布均對正態(tài)總體而言. .6.2.1 6.2.1 正態(tài)分布正態(tài)分布(Normal distribution)(Normal distribution)則則niiiniiiniiiaaNXa12211,特別地特別地, ,nNXnXnii21,1則則nXXX,21),(2NXi

3、若若i.i.d.若若nXXX,21),(2iiNi.i.d.上上( (雙雙) )側(cè)側(cè) 分位數(shù)的概念分位數(shù)的概念 設(shè)設(shè)X 為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量, ,其概率密度函數(shù)為其概率密度函數(shù)為f ( x ) , 為給定常數(shù)為給定常數(shù), , 0 1 若若則稱則稱 x 為為X 所服從的分布的所服從的分布的上上 分位數(shù)分位數(shù). .如果如果 X 的概率密度函數(shù)為偶函數(shù)的概率密度函數(shù)為偶函數(shù), ,則對于滿足則對于滿足 0 0 時收斂時收斂，稱為稱為 函數(shù)，具有性質(zhì)函數(shù)，具有性質(zhì))(!)1()2/1(, 1)1(),()1(Nnnnxxx)(2n的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為自由度為自由度為 n 的的510152

4、0250.10.20.30.4n=2n = 3n = 5n = 10n = 15 分布分布密度函數(shù)圖密度函數(shù)圖)(2nnnDnnE2)(,)(122例如例如)(,),(),(22122121222121nnXXXXnXnX則則相相互互獨獨立立，若若正正態(tài)態(tài)分分布布時時，)(32nn分分位位數(shù)數(shù)有有表表可可查查分分布布的的上上)(42n分布的性質(zhì)分布的性質(zhì))(2n20.05(10)51015200.020.040.060.080.1n = 1005. 0307.18)10(307.18)10(2205. 0PnXXX,21相互獨立相互獨立,證證 1 1 設(shè)設(shè)niiiniNXXn122, 2 ,

5、1) 1 , 0()(則則1)(, 1)(, 0)(2iiiXEXDXEnXEnEnii122)(3d21)(2244xexXExi2)()()(2242iiiXEXEXDnXDnDnii2)(1226.2.3 6.2.3 t t 分布分布 (Student (Student 分布分布) )定義定義則則T 所服從的分布稱為自由度為所服從的分布稱為自由度為 n 的的t 分分布其密度函數(shù)為布其密度函數(shù)為nYXT tntnnntfn2121221)(),(, ) 1 , 0(2nYNXX , Y 相互獨立相互獨立,設(shè)設(shè)t 分布的圖形分布的圖形( (紅色的是標準正態(tài)分布紅色的是標準正態(tài)分布) )n =

6、 1n=20-3-2-11230.10.20.30.4t 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)1f n(t)是偶函數(shù)是偶函數(shù),2221)()(,tnettfn2t分布的上分布的上 分位數(shù)分位數(shù) t 與雙測與雙測 分位數(shù)分位數(shù) t/2 有表可有表可查查-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35n = 101tttTP8125. 1)10(05. 08125. 105. 0tTPt-t95. 08125. 105. 08125. 1TPTP8125. 1)10(95. 0t2/2/2)(tTPtTP-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t/2-t/205.

7、02281. 2025. 02281. 2TPTP/2/22281. 2)10(025. 0t 6.2.4 F 6.2.4 F 分布分布(F distribution with n and m degrees)(F distribution with n and m degrees)則則F 所服從的分布稱為所服從的分布稱為第一自由度第一自由度為n ,第二自由度為第二自由度為m 的的F 分布分布, ,其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為mYnXF/ 0,00,1222),(2122tttmntmnmnmnmntfmnnn定義定義),(),(22mYnXX , Y 相互獨立相互獨立，設(shè)設(shè)令令1234560.2

8、0.40.60.81234560.20.40.60.8m = 10, n = 4m = 10, n = 10m = 10, n = 15m = 4, n =10m = 10, n =10m = 15, n =10F 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)),(1, ),(1nmFFmnFF則則若若1234560.10.20.30.40.50.6例如例如),(1),(1nmFmnF事實上事實上, ,19. 51) 5 , 4(1)4 , 5(05. 095. 0FF故故),(:),(),(2mnFFPmnFmnF有有表表可可查查分分位位數(shù)數(shù)的的上上但但F(n,m)19. 5)5 , 4(05. 0F?)4, 5(

9、95.0F),(1mnFFP),(111mnFFP故故),(1nmFF由由于于),(1111mnFFP1),(),(11nmFmnF因因而而),(111mnFFP例例1 1 證明證明),(1),(1nmFmnF證證證證) 1 , 0(,)(, )(2NGnnGXnTX2XY )(|)(|(221ntXPntXP因因而而例例2 2), 1()(212nFnt 證明：證明：)()(212222ntYPntXP), 1 ()(212nFnt即即設(shè)設(shè)令令nnnnG)(1) 1 ()(2222), 1 (nF6.2.5 6.2.5 正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論() () 一個正態(tài)

10、總體一個正態(tài)總體) 1() 1(22122nXXSnnii22) 1(Sn 與與X相互獨立相互獨立設(shè)設(shè)22)(,)(),(XDXENXnXXX,21總體的樣本為總體的樣本為( )，則則),(2nNX) 1 , 0( NnX) 1(nTnSXSnX(1)(2)( II ) 兩個正態(tài)總體兩個正態(tài)總體設(shè)設(shè)nXXX,21是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機樣本的一個簡單隨機樣本),(211NXmYYY,21是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體),(222NY的一個簡單隨機樣本的一個簡單隨機樣本它們相互獨立它們相互獨立. . niiniiXXnSXnX12211)(111令令mjjmjjYYmSYmY12

11、221)(111則則) 1() 1() 1() 1(2222222121mSmnSn) 1, 1(22222121mnFSS若若21則則) 1, 1(2221 mnFSS(3)設(shè)設(shè)nXXX,21是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機樣本的一個簡單隨機樣本),(21NXmYYY,21是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體),(22NY的一個簡單隨機樣本的一個簡單隨機樣本 ,它們相互獨立它們相互獨立. . 則則),(1),(1221211mNYmYnNXnXmjjnii) 1 , 0()()(2221NmnYX),(2221mnNYX) 1() 1(, ) 1() 1(22222221mSmnSn222

12、221) 1() 1(SmSn)2(2mnYX 與與222221) 1() 1(SmSn相互獨立相互獨立2) 1() 1()()(2222212221mnSmSnmnYX2) 1() 1(11)()(222121mnSmSnmnYX) 2(mnt(4)例例3 3 設(shè)總體設(shè)總體)100,72( NX大于大于70 的概率不小于的概率不小于 90% , ,則樣本容量則樣本容量 , ,為使樣本均值為使樣本均值解解 設(shè)樣本容量為設(shè)樣本容量為 n , 則則)100,72(nNX故故)70(1)70(XPXPn2 . 0令令9 .02 .0n查表得查表得29.12.0n即即6025.41n所以取所以取42n

13、 .n42例例4 4 從正態(tài)總體從正態(tài)總體),(2NX中，抽取了中，抽取了 n = 20 的樣本的樣本2021,XXX(1) 求求22012276. 120137. 0iiXXP(2) 求求22012276. 120137. 0iiXP解解 (1)(1)19(11922012222iiXXS即即22012276. 120137. 0iiXXP故故2 .3514 . 720122iiXXP2 .3514 . 712012220122iiiiXXPXXP98.001.099.0查表(P.386) 1() 1(222nSn(2) (2) )20(22012iiX22012276. 120137. 0

14、iiXP故故2 .354 . 72012iiXP2 .354 . 720122012iiiiXPXP97. 0025. 0995. 0例例5 設(shè)設(shè)X 與與Y 相互獨立相互獨立， X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 與 Y1, Y2 , Y16 分別是取自分別是取自 X 與與 Y 的簡單隨機樣本的簡單隨機樣本, 求統(tǒng)求統(tǒng) 計量計量2162221921YYYXXX所服從的分布所服從的分布.解解)169, 0(921NXXX)1, 0()(431921NXXX16,2, 1,)1 ,0(31iNYi)16(3122161iiY16314311612921iiYXXX)

15、16(t2162221921YYYXXX從而從而例例6 6 設(shè)總體設(shè)總體) 1 , 0( NX的樣本的樣本,26542321)()(XXXXXXY621,XXX為總體為總體 X試確定常數(shù)試確定常數(shù)c 使使cY 服從服從2分布分布.解解) 3 , 0(, ) 3 , 0(654321NXXXNXXX) 1 , 0(31,31654321NXXXXXX265423213131XXXXXX故故因此因此31c)2(312YX例例7 7 設(shè)設(shè)nXXX,21是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體N ( , 2 )的簡單隨機樣本的簡單隨機樣本, , 是樣本均值是樣本均值,)(111221niiXXnS,)(11222

16、niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS則服從自由度為則服從自由度為n - 1的的t 分布的隨機變量為分布的隨機變量為: :1)A(1nSX1)B(2nSXnSX3)C(nSX4)D( ) 1 , 0( NnX ) 1()(12122nXXnii1)(1122nXXnXnii ) 1(ntniiXXXnn12)()( ) 1(故應選故應選(B)解解例例8 8 在總體在總體XN(12,4)中抽取容量為中抽取容量為5的樣本的樣本X1,X2,X5,求下列概率求下列概率: :).10),(min()3();15),(max()2();1|12(|) 1 (5151XXP

17、XXPXP (1)因為因為),54,12( NX），（所以所以105412NX ) 1|12(|XP5415412XP=2(1.118)-1=0.7364解解解解)15),(max()2(51XXP)15),(max(151XXP)15,15(151XXP)15()15(151XPXP5)15(1XP5)21215(15)5 . 1 (1=0.2923例例8 8 在總體在總體XN(12,4)中抽取容量為中抽取容量為5的樣本的樣本X1,X2,X5,求下列概率求下列概率: :).10),(min()3();15),(max()2();1|12(|) 1 (5151XXPXXPXP解解)10),(m

18、in()3(51XXP)10()10(51XPXP5)10(XP5)10(1 XP5)1(1 =0.42155)1 (例例8 8 在總體在總體XN(12,4)中抽取容量為中抽取容量為5的樣本的樣本X1,X2,X5,求下列概率求下列概率: :).10),(min()3();15),(max()2();1|12(|) 1 (5151XXPXXPXPStep1 在數(shù)據(jù)編輯窗口中，建立數(shù)據(jù)文件在數(shù)據(jù)編輯窗口中，建立數(shù)據(jù)文件; ; Step2 計算樣本均值計算樣本均值調(diào)用調(diào)用Average 函數(shù)：函數(shù)：Step3 計算樣本方差計算樣本方差調(diào)用調(diào)用Var 函數(shù)函數(shù) ; ;Step4 計算樣本標準差計算樣本標準差調(diào)用調(diào)用Stdev 函數(shù)函數(shù). (1) 利用利用Excel計算樣本均值、樣本方差、樣本標準差計算樣本均值、樣本方差、樣本標準差 Excel實現(xiàn))1 ( NORMSINVz),()(2nCHIINVn )n ,2(TINV)n(t)n ,n ,(FINV)n ,n(F2121Step1 計算標準正態(tài)分布的上側(cè)計算標準正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)分位數(shù) Step2 計算計算 的上側(cè)的上側(cè)分位數(shù)分位數(shù) 分