第二十二章曲面積分習(xí)題課.

1、第二十二章曲面積分習(xí)題課一 疑難問題與注意事項(xiàng)1. 第一型曲面積分的計(jì)算方法：答1）先把 S 的方程代入，再利用dS 為 S 的表面積；S例如x2dS, 其中 S 為柱面 x 2y2R2 被平面 z 0, zH 所截取的部分；Sy2dS1dS12RH2 H解x2y2R22.SSRR2) 利用公式（ 1）設(shè)有光滑曲面S : zz(x, y),( x, y)D ，f ( x, y, z) 為 S 上的連續(xù)函數(shù)，則f ( x, y, z)dSf (x, y, z( x, y)1zx2zy2 dxdy SD注 一投 -將曲面 S 向 xOy 面投影得 D ；二代 -將 z z(x, y) 代入到 f

2、( x, y, z) 中；三變換 -dS 變成1zx2zy2 dxdy .（ 2）類似地，如果光滑曲面S 由方程 x x( y, z),( y, z)D ，則f ( x, y, z)dSf ( x( y, z), y, z) 1xy2xz2 dydz ，SD其中 D 表示曲面 S 在 yOz 面上的投影（ 3）如果光滑曲面S 由方程 yy( x, z),( x, z)D ，則f (x, y, z)d Sf (x, y(x, z), z) 1 yx2yz2 dxdz SD其中 D 表示曲面 S 在 xOz 面上的投影3) 利用對稱性（ 1）若曲面關(guān)于 xoy 坐標(biāo)面對稱，f x, y, z 為上

3、的連續(xù)函數(shù)，1 為位于 xoy 上0,fx, y, z為 的奇函數(shù) ,z部的曲面，則f x, y, z dS2 fx, y, z dS,fx, y, z為 的偶函數(shù) .z1（ 2）若曲面關(guān)于 yoz 坐標(biāo)面對稱，fx, y, z為上的連續(xù)函數(shù)， 1 為中 x0 的0,fx, y, z為 的奇函數(shù) ,x那部分曲面，則fx, y, z dS2fx, y, z dS,fx, y, z為 的偶函數(shù) .x1（ 3）若曲面關(guān)于 xoz坐標(biāo)面對稱，fx, y, z為上的連續(xù)函數(shù)， 1 為中 y0 的0,fx, y, z為 的奇函數(shù) ,fx, y, z dSy那部分曲面，則2fx, y, z dS,fx, y

4、, z為 的偶函數(shù) .y1（ 4） 若積分曲面關(guān)于 x, y, z 具有輪換對稱性 , 則有f ( x, y, z)dsf ( y, z, x)dsf ( z, x, y)ds1f (x, y, z)f ( y, z, x)f (z, x, y) ds 32. 第二型曲面積分的方法：答 1）公式：（ 1）設(shè) R 是定義在光滑曲面S : zz( x, y), (x, y) Dxy上的連續(xù)函數(shù)，以 S 的上側(cè)為正側(cè)，則有R(x, y, z)dxdyR( x, y, z( x, y)dxdy.SD xy注一投 -曲面 S : z z(x, y) 向 xOy 面投影得 D ；二代 - 將 zz( x,

5、 y) 代入到 R( x, y, z) 中；三定向看S 的法線方向與z 軸的夾角，若夾角為銳角，則為正，否則為負(fù)（ 2）類似地，當(dāng)P 在光滑曲面S : xx y, z , y, zD yz上連續(xù)時(shí)，有P x, y, z dydzP x y, z , y, z dydz,SDyz這里 S 是以 S 的法線方向與x 軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè)，（ 3）當(dāng) Q 在光滑曲面S : yy z, x , z, xD zx上連續(xù)時(shí)，有Q x, y, z dzdxQ x, y z, x , z dzdx,SDzx這里 S 是以 S 的法線方向與y 軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè)2 ）若 z z( x, y)

6、，則(, )( , ,)dzdx(, )RPzQzdxdyPxy z dydzQ x yzRxy z dxdyxySS3 ）高斯公式PQR,注 高斯公式()的適用條件是：xyzdxdydzPdydz Qdzdx RdxdyVS1）函數(shù) P(x, y, z) ， Q ( x, y, z) ， R(x, y, z) 在 V 上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)2） S封閉，若 S 不封閉需要補(bǔ)面，讓它封閉，假如補(bǔ)面S 后封閉，則有Pdydz QdzdxRdxdySPdydzQdzdx RdxdyPdydzQdzdxRdxdyS SS(PQR )dxdydzPdydzQdzdxRdxdyVxyzS3） S 取外側(cè)

7、；如果S 取內(nèi)側(cè)，則S 取外側(cè)，則有(PQR)dxdydzPdydz QdzdxRdxdyVxyzSPdydzQdzdxRdxdyS3. 各種積分間的聯(lián)系第一型第二型曲線積分曲線積分格林公式二 重積分斯托克斯公式第一型曲面積分n第二型三 重曲面積分高斯公式積分二 典型例題1. 計(jì)算第一型曲面積分(xyz)dS ，其中 S 是上半球面Sx2y2z2a2 (a 0) ， z 0 解 把 S : za2x2y2向 xoy 面投影得 D : x2y2a2( x yz)dSxya2x2y2ay2dxdySDa2x2a3 注xya2ay2dxdy0 ，因?yàn)?D : x2y2a2 關(guān)于 x, y 軸對稱，且

8、Dx2xya奇a2x2y22. 計(jì)算曲面積分z2dS ，其中 S 是球面 x2y2z2a2 S解：球面 x2y2z2a2 關(guān)于 x , y ,z 具有對稱性，x2dSy2dSz2dSSSSz2dS = 1(x2y2z2 ) dSS3 S= 1a2 dsa2ds3 S3S1 a2.4a24a2333計(jì)算曲面積分( z2x) dydzzdxdy，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面 z1 ( x2y 2 ) 介于2平面 z0 及 z2 之間部分的下側(cè)解 補(bǔ)平面 1 : z2 的上側(cè)，則1 為封閉曲面，在其上應(yīng)用高斯公式：I( z2x)dydzzdxdy( z2x)dydz zdxdy( z2x)dydz zdxdy1

9、1(1 1)dxdydz2dxdy8 D xy4 計(jì)算第二型曲面積分xdydzydzdxzdxdy ， 其 中 曲 面 S 為 橢 球 面Sx2y2z21的上半部分，其方向?yàn)橄聜?cè)a22c2b解：為求 I1xdydzydzdxzdxdy (S 取下側(cè) ) ，只須求SI 2xdydzydzdxzdxdy ( S 取上側(cè) ) ，那么 I 1I2 為求 I2，將 S與底面SS ' ( 其中 S' 是 S 在 xoy 坐標(biāo)面上的投影) 組成的封閉曲面記為Stotal ，即 StotalS S'，其中 S 方向取上側(cè)， S ' 方向取下側(cè)設(shè)Stotal 圍成的區(qū)域?yàn)閂x2y

10、2z20 ，x, y, z |22c2 1,zab由高斯公式：xdydzydzdxzdxdyI 2xdydzydzdxzdxdyStotalS'1dxdydz2 abc V3又由于xdydzydzdxzdxdy 0 ，那么I 22 abc ，從而S '3I 1xdydzydzdxzdxdy2 abc S35計(jì)算xdydzydzdxzdxdy ，其中 S 是上半球面 za2x2y2的外側(cè)S解：曲面 S 不封閉，補(bǔ)上曲面S1 : z 0(x2y2a2 ) ，取下側(cè)xdydzydzdxzdxdySòxdydzydzdx zdxdyxdydzydzdxzdxdyS SS113

11、dv0V32 a32a3.36.x3dydzy3 dzdxz3dxdy ，其中 S 是單位球面 x2y 2z21的外側(cè)S解x3dydzy3dzdx z3 dxdy( x2y2z2 )dxdydzS3Vddr 4 sindr122100057.求I2222(x22x a,0 y a,0 z a,(yz )dx(zx )dyy )dz，其中 C 是立方體 0C的表面與平面 xyz3 a 的交線，取向從z 軸正向看去是逆時(shí)針方向2解：可見交線若分為六段積分的計(jì)算量很大，且C 也不便于表示為一個(gè)統(tǒng)一的參數(shù)式，因 C 為閉曲線，且Py2z2， Qz2x2， Rx2y2連續(xù)可微，故考慮用斯托克斯公式，令為 xyz3 a 被 C 所圍的一塊，取上側(cè)，則C 的取向與的取側(cè)相容，應(yīng)2用斯托克斯公式得111333IxyzdSy2z2z2x2x2y214(xyz) dS43a dS23a 33 a29 a