第十章-函數(shù)項級數(shù).

1、第十章函數(shù)項級數(shù)§ 1函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性(1)一、本次課主要內(nèi)容點態(tài)收斂，函數(shù)項級數(shù)收斂的一般問題。二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生理解怎樣用函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）來定義一個函數(shù)，掌握如何利用函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）來研究被它表示的函數(shù)的性質(zhì)。三、教學(xué)重點難點函數(shù)列一致收斂的概念、性質(zhì)四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布置P68 1 （5）（7）一函數(shù)列及極限函數(shù)： 對定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)列，介紹概念：收斂點，收斂域（注意定義域與收斂域的區(qū)別），極限函數(shù)等概念 .1. 逐點收斂 ( 或稱為“點態(tài)收斂” ) 的“”定義 .例 1對定義在內(nèi)的等比函數(shù)

2、列, 用“”定義驗證其收斂域為,且例 2. 用“”定義驗證在內(nèi).例 3考查以下函數(shù)列的收斂域與極限函數(shù) :.（ 1）.（ 2）.（ 3） 設(shè)為區(qū)間上的全體有理數(shù)所成數(shù)列.令,.（4）.,.（5）有,.（注意.）二 .函數(shù)列的一致收斂性 :問題 :若在數(shù)集D 上,.試問 :通項的解析性質(zhì)是否必遺傳給極限函數(shù)?答案是否定的.上述例1、例3說明連續(xù)性未能遺傳 , 而例3說明可積性未能遺傳.例 3說明雖然可積性得到遺傳,但.用函數(shù)列的極限表示函數(shù)是函數(shù)表達(dá)的一種重要手段.特別是表達(dá)非初等函數(shù)的一種手段 . 對這種函數(shù) , 就是其表達(dá)式 . 于是 , 由通項函數(shù)的解析性質(zhì)研究極限函數(shù)的解析性質(zhì)就顯得十分

3、重要 . 那末 , 在什么條件下通項函數(shù)的解析性質(zhì)能遺傳給極限函數(shù)呢 ? 一個充分條件就是所謂“一致收斂” . 一致收斂是把逐點收斂加強(qiáng)為所謂“整體收斂”的結(jié)果 .定義(一致收斂)一致收斂的幾何意義.Th1(一致收斂的Cauchy 準(zhǔn)則)函數(shù)列在數(shù)集D 上一致收斂,.(介紹另一種形式.)證(利用式)易見逐點收斂.設(shè), 有.令,對D成立 ,即,，D.推論1在 D上,，.推論2設(shè)在數(shù)集D上,.若存在數(shù)列D ,使,則函數(shù)列在數(shù)集D上非一致收斂.應(yīng)用系2判斷函數(shù)列在數(shù)集D 上非一致收斂時,常選為函數(shù)在數(shù)集D 上的最值點.驗證函數(shù)一致收斂性 :例 4.證明函數(shù)列在 R內(nèi)一致收斂 .例 5證顯然有,.證明

4、在R 內(nèi),在點但不一致收斂 .處取得極大值,.由系2 ,不一致收斂.例 6.證明在內(nèi),.證易見而在內(nèi)成立 .由系1 ,例 7對定義在區(qū)間上的函數(shù)列證明 :證,時 ,但在只要上不一致收斂,就有.P38. 39 因此 ,例 在3,參圖 13-4.上有.,.于是,在上有此,該函數(shù)列在例 8.但由于上不一致收斂 .考查函數(shù)列,在下列區(qū)間上的一致收斂性因:;.例 9考查級數(shù)從開頭每兩項加括號后所得級數(shù)的斂散性 .該例的結(jié)果說明什么問題?教學(xué)后記：第十章函數(shù)項級數(shù)§ 1函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性（2）一、本次課主要內(nèi)容函數(shù)項級數(shù)一致收斂性。二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生理解函數(shù)項級數(shù)一致收斂性概念。掌握函

5、數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判斷。三、教學(xué)重點難點函數(shù)序列一致收斂性的判別方法。四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布置P68 1（9）（11），P69 5一 .函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性:1 函數(shù)項級數(shù)及其和函數(shù)：, 前項部分和函數(shù)列，收斂點，收斂域例 1, 和函數(shù),定義在余項 .內(nèi)的函數(shù)項級數(shù)(稱為幾何級數(shù))的部分和函數(shù)列為,收斂域為.2. 一致收斂性 : 定義一致收斂性 .Th2(Cauchy準(zhǔn)則 ) 級數(shù)在區(qū)間 D上一致收斂 ,對D成立.推論Th3級數(shù)級數(shù)在區(qū)間 D上一致收斂在區(qū)間 D上一致收斂 ,.例證2證明級數(shù)令=在 R內(nèi)一致收斂 .,則時對R成立.例

6、3幾何級數(shù)一致收斂 .證在區(qū)間在區(qū)間上 ,有上一致收斂；但在內(nèi)非,.一致收斂 ;而在區(qū)間內(nèi),取,有,.非一致收斂 .(亦可由通項在區(qū)間內(nèi)非一致收斂于零,非一致收斂.)幾何級數(shù)雖然在區(qū)間內(nèi)非一致收斂 ,但在包含于何閉區(qū)間上卻一致收斂.我們稱這種情況為“閉一致收斂”.因此級數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 .,內(nèi)的任我們說幾何二.函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法:1.M- 判別法:Th 4 (Weierstrass判別法 )設(shè)級數(shù)定義在區(qū)間 D 上,是收斂的正項級數(shù) . 若當(dāng)充分大時 ,對D有|,則在 D上一致收斂 .證然后用 Cauchy 準(zhǔn)則 .亦稱此判別法為優(yōu)級數(shù)判別法.稱滿足該定理條件的正項級數(shù)是級數(shù)的一個優(yōu)

7、級數(shù) . 于是 Th 4 可以敘述為 : 若級數(shù)在區(qū)間 D 上存在優(yōu)級數(shù) ,則級數(shù)在區(qū)間 D 上一致收斂 .應(yīng)用時 ,常可試取. 但應(yīng)注意 ,級數(shù)在區(qū)間 D 上不存在優(yōu)級數(shù),級數(shù)在區(qū)間 D 上非一致收斂 .注意區(qū)分用這種控制方法判別函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的區(qū)別所在.例 3判斷函數(shù)項級數(shù)和在 R內(nèi)的一致收斂性.例 4設(shè)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù) .試證明 :若級數(shù)與都絕對收斂 ,則級數(shù)在區(qū)間上絕對并一致收斂 .簡證 ,留為作業(yè).2. Abel 判別法 :Th 5設(shè) > 級數(shù)在區(qū)間上收斂 ;>對每個,數(shù)列單調(diào);>函數(shù)列在上一致有界, 即, 使對和,有.則級數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .(

8、1P43 )3. Dirichlet 判別法 :Th 6設(shè) > 級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界 ;>對于每一個,數(shù)列單調(diào) ;>在區(qū)間上函數(shù)列一致收斂于零 .則級數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .例 5判斷函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上的一致收斂性 .解記.則有> 級數(shù)收斂;> 對每個,；>對和成立 .由 Abel 判別法 ,在區(qū)間上一致收斂 .例 6設(shè)數(shù)列單調(diào)收斂于零 .試證明 :級數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .證在上有.可見級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界 .取,.就有級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界 ,而函數(shù)列對每一個單調(diào)且一致收斂于零 . 由 Dirichlet判別法 , 級

9、數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .其實 ,在數(shù)列單調(diào)收斂于零的條件下 ,級數(shù)在不包含的任何區(qū)間上都一致收斂.習(xí)題課例 1設(shè),.且,.若對每個自然數(shù)有 |對成立 ,則函數(shù)列 在上一致收斂于函數(shù).例 2證明函數(shù)列在區(qū)間上非一致收斂 .例 3,.討論函數(shù)列 的一致收斂性 .解0,.|0|.可求得.函數(shù)列 在區(qū)間上非一致收斂 .例4設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).定義.試證明函數(shù)列 在區(qū)間上一致收斂于零 .證法一由有界.設(shè)在區(qū)間上|.|;|;|.注意到對,.0,.證法二.有界.設(shè)在區(qū)間上|. 把函數(shù)在點展開成具 Lagrange 型余項的階 Taylor 公式 ,注意到,就有,.所以,0,.例5設(shè).且,.令,.試證明 :若對

10、和,有,則函數(shù)列 在區(qū)間上一致收斂.證對取,使時 ,有.于是對任何自然數(shù)和,有.由 Cauchy 收斂準(zhǔn)則,函數(shù)列 在區(qū)間上一致收斂.在數(shù)集例 6設(shè)在數(shù)集上函數(shù)列 上有界 ,則函數(shù)列 一致收斂于函數(shù) 在數(shù)集 上一致有界.若每個證(先證函數(shù)在數(shù)集上有界)設(shè)在上有 |.對, 由函數(shù)列 在數(shù)集上一致收斂, 當(dāng)時,對, 有|,|<.即函數(shù)在數(shù)集上有界.( 次證函數(shù)列 在數(shù)集上一致有界 )時,對, 有|<,|.取即函數(shù)列 在數(shù)集易見對上一致有界 .和有|.教學(xué)后記：第十章函數(shù)項級數(shù)§ 2一致收斂級數(shù)的判別與性質(zhì)（1）一、本次課主要內(nèi)容函數(shù)項級數(shù)的一致收斂的柯西收斂準(zhǔn)則和一致收斂級數(shù)

11、的性質(zhì)。二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生掌握判別函數(shù)的一致收斂性。深刻理解函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法。三、教學(xué)重點難點函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法的選擇與使用。四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布置P82 1 （4）（6）（8）（10）一.一致收斂函數(shù)列極限函數(shù)的解析性質(zhì):1. 連續(xù)性 :Th 1設(shè)在上, 且對, 函數(shù)在上連續(xù) ,在上連續(xù) .證(要證:對,在點連續(xù).即證:對,當(dāng)|時,.).估計上式右端三項 . 由一致收斂 ,第一、三兩項可以任意小; 而由函數(shù)在點連續(xù) ,第二項也可以任意小 .推論設(shè)在上. 若在上間斷，則函數(shù)列在上一致收斂和所有在上連續(xù)不能同時成

12、立 .註Th1表明 :對于各項都連續(xù)且一致收斂的函數(shù)列,有.即極限次序可換.2. 可積性 :Th 2若在區(qū)間上函數(shù)列 一致收斂 ,且每個在上連續(xù).則有.證設(shè)在上,由 Th1, 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) ,因此可積 .我們要證.注意到,可見只要在上成立 .Th2 的條件可減弱為 : 用條件“在上( R ) 可積” 代替條件 “在上連續(xù)” .關(guān)于函數(shù)列逐項積分條件的減弱有一系列的工作.其中之一是 :Th設(shè) 是定義在區(qū)間上的函數(shù)列 .若 在上收斂且一致可積 ,則其極限函數(shù)在上( R) 可積 ,且有.3. 可微性：Th 3設(shè)函數(shù)列 定義在區(qū)間上 , 在某個點收斂 . 對,在上連續(xù)可導(dǎo) ,且由導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)列

13、 在上一致收斂 ,則函數(shù)列 在區(qū)間上收斂 ,且有.證設(shè)，.,.對,注意到函數(shù)連續(xù)和+,就有+（ 對第二項交換極限與積分次序）+.估計|+|+|,可證得.即.亦即求導(dǎo)運(yùn)算與極限運(yùn)算次序可換.教學(xué)后記：第十章函數(shù)項級數(shù)§ 2一致收斂級數(shù)的判別與性質(zhì)（2）一、本次課主要內(nèi)容函數(shù)項級數(shù)的一致收斂的連續(xù)性定理，逐項積分定理和DiNi 定理二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生理解函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)。三、教學(xué)重點難點函數(shù)像級數(shù)一致收斂的性質(zhì)的使用。四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布置P83 8二.一致收斂函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的解析性質(zhì):例1P40例3例 2證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連

14、續(xù) .證(先證在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂.)對，有，；又，在一致收斂 .論,(次證對在區(qū)間,在點上一致收斂;連續(xù) ) 又函數(shù)對連續(xù) , 由上段討在區(qū)間上連續(xù) ,在點連續(xù) .由點的任意性 ,在區(qū)間內(nèi)連續(xù) .例3,.計算積分.可見時,級數(shù)的部分和有界.由Dirichlet判別法推得級數(shù)收斂 .同理可得級數(shù)數(shù)收斂 .教學(xué)后記：第十章函數(shù)項級數(shù)§3冪級數(shù)一、本次課主要內(nèi)容冪級數(shù)概念收斂半徑以及性質(zhì)。二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生理解掌握冪級數(shù)的收斂半徑了解冪級數(shù)在收斂半徑內(nèi)的性質(zhì)與使用。三、教學(xué)重點難點冪級數(shù)的性質(zhì)四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布置P92 1（6

15、）（7）（8）（9），P93 4 （1）冪級數(shù)的一般概念 .型如和的冪級數(shù) .冪級數(shù)由系數(shù)數(shù)列唯一確定 .冪級數(shù)至少有一個收斂點.以下只討論型如的冪級數(shù) . 冪級數(shù)是最簡單的函數(shù)項級數(shù)之一.一.冪級數(shù)的收斂域 :1. 收斂半徑 、收斂區(qū)間和收斂域：Th 1（ Abel） 若冪級數(shù)在點收斂 ， 則對滿足不等式的任何，冪級數(shù)收斂而且絕對收斂；若在點發(fā)散 ，則對滿足不等式的任何，冪級數(shù)發(fā)散 .證收斂,有界.設(shè)|,有|,其中.2. 收斂半徑 R 的求法 .Th 2對于冪級數(shù),若,則>時,;>時;>時.證, (強(qiáng)調(diào)開方次數(shù)與的次數(shù)是一致的).由于,因此亦可用比值法求收斂半徑.冪級數(shù)的收

16、斂區(qū)間 :.冪級數(shù)的收斂域 : 一般來說 ,收斂區(qū)間收斂域 . 冪級數(shù)的收斂域是區(qū)間、或之一.例 1求冪級數(shù)的收斂域 .例 2求冪級數(shù)的收斂域 .例 3求下列冪級數(shù)的收斂域 :;.2.復(fù)合冪級數(shù): 令, 則化為冪級數(shù). 設(shè)該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為，則級數(shù)的收斂區(qū)間由不等式確定. 可相應(yīng)考慮收斂域 .特稱冪級數(shù)為正整數(shù) ) 為缺項冪級數(shù) . 其中.應(yīng)注意為第項的系數(shù) .并應(yīng)注意缺項冪級數(shù)并不是復(fù)合冪級數(shù),該級數(shù)中,為第項的系數(shù) .例 4求冪級數(shù)的收斂域 .解是缺項冪級數(shù) .收斂區(qū)間為.時,通項.因此 ,該冪級數(shù)的收斂域為.例 5求級數(shù)的收斂域 .解令,所論級數(shù)成為冪級數(shù). 由幾何級數(shù)的斂散性結(jié)果 ,

17、 當(dāng)且僅當(dāng)時級數(shù)收斂 . 因此當(dāng)且僅當(dāng),即時級數(shù)收斂 .所以所論級數(shù)的收斂域為.例 6求冪級數(shù)的收斂半徑 .解.二冪級數(shù)的一致收斂性：Th 3若冪級數(shù)的收斂半徑為，則該冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 .證,設(shè),則對,有,級數(shù)絕對收斂 ,由優(yōu)級數(shù)判別法 ,冪級數(shù)在上一致收斂 .因此 ,冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 .Th 4設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為, 且在點(或)收斂 , 則冪級數(shù)在區(qū)間( 或) 上一致收斂 .證.收斂,函數(shù)列在區(qū)間上遞減且一致有界 , 由 Abel 判別法 , 冪級數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .易見 ,當(dāng)冪級數(shù)的收斂域為(時 ,該冪級數(shù)即在區(qū)間上一致收斂 .三 .冪級數(shù)的性質(zhì) :1. 逐項求導(dǎo)和積分

18、后的級數(shù) :設(shè),*)和 *)仍為冪級數(shù) .我們有命題 1*)和 *)與有相同的收斂半徑.(簡證 )值得注意的是， *)和 *) 與雖有相同的收斂半徑（因而有相同的收斂區(qū)間），但未必有相同的收斂域， 例如級數(shù).2. 冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) :定義兩個冪級數(shù)和在點的某鄰域內(nèi)相等是指：它們在該鄰域內(nèi)收斂且有相同的和函數(shù).命題 2,.( 由以下命題 4系 2)命題 3設(shè)冪級數(shù)和的收斂半徑分別為和,則>, Const，.>+,.>()(),.3. 和函數(shù)的性質(zhì) :命題4設(shè)在(內(nèi).則>在內(nèi)連續(xù);>若級數(shù)或收斂,則在點(或)是左(或右 ) 連續(xù)的;>對,在點可微且有;>對

19、,在區(qū)間上可積,且.當(dāng)級數(shù)收斂時 ,無論級數(shù)在點收斂與否 , 均有.這是因為 :由級數(shù)收斂 ,得函數(shù)在點左連續(xù) ,因此有.推論 1和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任意次可導(dǎo) ,且有,.由系 1 可見 ,是冪級數(shù)的和函數(shù)的必要條件是任意次可導(dǎo) .推論2若,則有例 7驗證函數(shù)滿足微分方程.驗證所給冪級數(shù)的收斂域為.,代入,.教學(xué)反思：第十章函數(shù)項級數(shù)§ 4函數(shù)的冪級數(shù)展開（1）一、本次課主要內(nèi)容泰勒級數(shù)與余項公式。二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生了解函數(shù)的泰勒公式。三、教學(xué)重點難點函數(shù)泰勒公式的記憶與使用。四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布置P 106 1 （5）（9）（

20、10），2,3一.函數(shù)的冪級數(shù)展開 :1.Taylor級數(shù) :設(shè)函數(shù)在點有任意階導(dǎo)數(shù) .Taylor公式和 Maclaurin公式 .Taylor公式：.余項的形式 :Peano 型余項 :,（ 只要求在點的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，存在 ）Lagrange 型余項 :在與之間 .或.積分型余項 :當(dāng)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時 ,有.Cauchy 余項 :在上述積分型余項的條件下,有 Cauchy 余項.特別地，時， Cauchy余項為在與之間.Taylor 級數(shù) :Taylor 公式僅有有限項 , 是用多項式逼近函數(shù) .項數(shù)無限增多時,得,稱此級數(shù)為函數(shù)在點的 Taylor 級數(shù) .只要函數(shù)在

21、點無限次可導(dǎo),就可寫出其 Taylor 級數(shù) .稱=時的 Taylor 級數(shù)為 Maclaurin級數(shù) ,即級數(shù).自然會有以下問題 :對于在點無限次可導(dǎo)的函數(shù),在的定義域內(nèi)或在點的某鄰域內(nèi) ,函數(shù)和其 Taylor 級數(shù)是否相等呢?2 函數(shù)與其 Taylor級數(shù)的關(guān)系：例 1函數(shù)在點無限次可微 .求得.其 Taylor級數(shù)為.該冪級數(shù)的收斂域為.僅在區(qū)間內(nèi)有=.而在其他點并不相等 ,因為級數(shù)發(fā)散 .那么 , 在 Taylor級數(shù)的收斂點 , 是否必有和其 Taylor 級數(shù)相等呢 ?回答也是否定的 .例 2函數(shù)在點無限次可導(dǎo)且有因此其 Taylor 級數(shù)，在內(nèi)處處收斂 .但除了點外 , 函數(shù)和

22、其 Taylor 級數(shù)并不相等 .另一方面 ,由本章§ 1 命題 4 推論 2（和函數(shù)的性質(zhì)）知：在點的某鄰域內(nèi)倘有, 則在點無限次可導(dǎo)且級數(shù)必為函數(shù)在點的 Taylor 級數(shù) .綜上 ,我們有如下結(jié)論 :對于在點無限次可導(dǎo)的函數(shù), 其 Taylor 級數(shù)可能除點外均發(fā)散 ,即便在點的某鄰域內(nèi)其 Taylor級數(shù)收斂 ,和函數(shù)也未必就是.由此可見 ,不同的函數(shù)可能會有完全相同的Taylor級數(shù) .若冪級數(shù)在點的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù),則該冪級數(shù)就是函數(shù)在點的 Taylor 級數(shù) .于是 , 為把函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于的冪級數(shù)，我們只能考慮其 Taylor 級數(shù) .3 函數(shù)的 Tay

23、lor 展開式：若在點的某鄰域內(nèi)函數(shù)的 Taylor 級數(shù)收斂且和恰為，則稱函數(shù)在點可展開成 Taylor 級數(shù) ( 自然要附帶展開區(qū)間 . 稱此時的 Taylor 級數(shù)為函數(shù)在點的 Taylor 展開式或冪級數(shù)展開式 .簡稱函數(shù)在點可展為冪級數(shù) .當(dāng)= 0 時,稱 Taylor 展開式為 Maclaurin 展開式 .通常多考慮的是 Maclaurin 展開式 .4. 可展條件 :Th 1 (必要條件 )函數(shù)在點可展 ,在點有任意階導(dǎo)數(shù) .Th 2 (充要條件 )設(shè)函數(shù)在點有任意階導(dǎo)數(shù) .則在區(qū)間內(nèi)等于其 Taylor 級數(shù) ( 即可展 ) 的充要條件是 :對, 有.其中是 Taylor 公

24、式中的余項 .證把函數(shù)展開為階 Taylor 公式 ,有.Th 3 (充分條件 )設(shè)函數(shù)在點有任意階導(dǎo)數(shù) ,且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列一致有界 ,則函數(shù)可展 .證利用 Lagrange 型余項 ,設(shè),則有.例3展開函數(shù)>按冪;>按冪.解,.所以, >.可見 ,的多項式的Maclaurin展開式就是其本身.>.教學(xué)反思：第十章函數(shù)項級數(shù)§ 4函數(shù)的冪級數(shù)展開（2）一、本次課主要內(nèi)容任意連續(xù)函數(shù)的泰勒展開二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生了解初等函數(shù)的泰勒展開。三、教學(xué)重點難點初等函數(shù)泰勒公式的記憶與使用。四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布

25、置P106 5一 . 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 （初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式才是其本質(zhì)上的解析表達(dá)式 ）.為得到初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式,或直接展開 ,或間接展開 .1.( 驗證對R ，在區(qū)間( 或)上有界,得一致有界 .因此可展 ).2.,.,.可展是因為在內(nèi)一致有界 .3.二項式的展開式 :為正整數(shù)時 ,為多項式 ,展開式為其自身 ;為不是正整數(shù)時 ,可在區(qū)間內(nèi)展開為對余項的討論可利用Cauchy 余項 .具體討論參閱 1P56.時,收斂域為;時,收斂域為;時,收斂域為.利用二項式的展開式 ,可得到很多函數(shù)的展開式.例如取, 得，.時,.間接展開 : 利用已知展開式 , 進(jìn)行變量代換、四則運(yùn)算以及微積運(yùn)算 , 可得到一些函數(shù)的展開式 . 利用微積運(yùn)算時 , 要求一致收斂 . 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 , 總可保證這些運(yùn)算暢通無阻 .4.事實上 ,利用上述的展開式 ,兩端積分 ,就