18.離心率二式

1、 高考數(shù)學(xué)母題規(guī)劃,助你考入清華北大！楊培明(電話(huà)數(shù)學(xué)叢書(shū),給您一個(gè)智慧的人生！高考數(shù)學(xué)母題 母題(17-18):離心率二式(436) 1125 離心率二式 母題(18-18):(2011年福建高考試題)設(shè)圓錐曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,若曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,則曲線(xiàn)的離心率等于( ) (A)或 (B)或2 (C)或2 (D)或解析:若為橢圓,則e=;若為雙曲線(xiàn),則e=.故選(A).點(diǎn)評(píng):在橢圓C:(ab0)或雙曲線(xiàn)C:(a0,b0)中,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為C上的一點(diǎn),PF1F2=,PF2F1=,則:(第一

2、定義式):橢圓的離心率e=,雙曲線(xiàn)的離心率e=;(三角表達(dá)式):橢圓的離心率e=,雙曲線(xiàn)的離心率e=.ABC 子題(1):(2008年全國(guó)高考試題)在ABC中,A=900,tanB=.若以A,B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則該橢圓的離心率e= .解析:如圖,在ABC中,由A=900,tanB=AC=AB,BC=ABe=. 注:橢圓、雙曲線(xiàn)離心率的第一定義式與焦點(diǎn)三角形密切結(jié)合,與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的離心率,利用第一定義式可速解. 子題(2):(2009年重慶高考試題)(理)己知雙曲線(xiàn)-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)、F2(c,0).若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P,使,則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范

3、圍是 .解析:由e=(|PF1|PF2|)=1+(|PF2|c-a)1+=1+e2-2e1e1e的取值范圍是(1,+1). 注:離心率的三角表達(dá)式是由第一定義式,并根據(jù)正弦定理得到的,在焦點(diǎn)三角形中,要著意于正、余弦定理的應(yīng)用. 子題(3):(2001年第十二屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(高二)試題)設(shè)F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)P,使F1PF2=1200,則橢圓離心率e的取值范圍是 .解析:設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,則r1+r2=2a;在F1PF2中,由余弦定理得cosF1PF2=-1-1=1-2e21-2e2cos1200e,又因e0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn)

4、,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小內(nèi)角為300,則C的離心率為 .7.(2014年重慶高考試題)(文)設(shè)F1、F2分別為雙曲線(xiàn)-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),雙曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,則該雙曲線(xiàn)的離心率為( )(A) (B) (C)4 (D)8.(2014年重慶高考試題)(理)設(shè)F1、F2分別為雙曲線(xiàn)-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),雙曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,則該雙曲線(xiàn)的離心率為( )(A) (B) (C) (D)39.(2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽黑龍江預(yù)賽試題)設(shè)F1、F2分別是雙

5、曲線(xiàn)-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),若雙曲線(xiàn)右支上存在一點(diǎn)P,使|=|,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且|=|,則該雙曲線(xiàn)的離心率為( )(A)+ (B)+1 (C) (D)10.(2007年江蘇高考試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,己知ABC頂點(diǎn)A(-4,0)和C(4,0),頂點(diǎn)B在橢圓=1上,則= .11.(2013年湖南高考試題)(文)設(shè)F1,F2是雙曲線(xiàn)C:-=1(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn).若在C上存在一點(diǎn)P,使PF1PF2,且PF1F2=300,則C的離心率為 .12.(2003年第十四屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(高二)試題)設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且PF1F2 =300,PF2F1 =450,其中F1,F

6、2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則橢圓的離心率e的值等于( )(A) (B) (C) (D)13.(2006年第十七屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(高二)試題) F1、F2是橢圓的焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),F1PF2=900,且|PF2|b0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上任意一點(diǎn),如果PF1F2的面積為1,tanPF1F2=,tanPF2F1=-2,則a= .16.(2007年第十八屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(高二)試題)設(shè)橢圓E:+=1(ab)A、B是長(zhǎng)軸的端點(diǎn),C為短軸的一個(gè)端點(diǎn),F1、F2是焦點(diǎn),記ACB=,F1CF2=,若=2,則橢圓E的離心率e應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足的方程是 .17.(2009年重慶高考試題)(文)己知橢圓

7、=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)、F2(c,0),若橢圓上存在點(diǎn)P使,則該橢圓的離心率的取值范圍為 .18.(2008年湖南高考試題)若雙曲線(xiàn)(a0,b0)的右支上存在一點(diǎn),它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等,則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是( ) (A)(1, (B),+) (C)(1,+1 (D)+1,+)19.(2004年重慶高考試題)己知雙曲線(xiàn)(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上,且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線(xiàn)的離心率e的最大值為( )(A) (B) (C)2 (D)20.(2008年福建高考試題)雙曲線(xiàn)(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P

8、為其上一點(diǎn),且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為( )(A)(1,3) (B)(1,3 (C)(3,+) (D)3,+) 子題詳解:1.解:由e=-1.2.解:由AC2=2AB2+AB2AC=ABe=.3.解:由AC2=2AB2+AB2AC=ABe=.故選(B).4.解:由AHBC,cosC=AC=AH,CH=2AHe=+2.5.解:由F1AF2=900,且|AF1|=3|AF2|F1F2|=|AF2|e=.故選(B).6.解:由|PF1|-|PF2|=2a|PF1|=4a,|PF2|=2a;又由caPF1F2=300(2a)2+(2c)2=(4a)2e=.7.解:由(|PF

9、1|-|PF2|)2=b2-3ab4a2=b2-3ab4a-b=0e=.故選(D).8.解:由(|PF1|-|PF2|)2=4a2(|PF1|+|PF2|)2-4|PF1|PF2|=4a29b2-9ab=4a2a=be=.故選(D).9.解:由|PF1|-|PF2|=2a|=(+1)a,|=(+3)a|=(+1)a;又由+=22+2 1128 母題(17-18):離心率二式(436) +2=42=0|=|F1F2|=c(+1)a=ce=+1.故選(B).10.解:由A、C恰是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)e=.11.解:由=+112.解:由e=.故選(B).13.解:由|PF2|PF1|PF1F2PF2F1;

10、又由e=sinPF1F2+sinPF2F1=sinPF1F2+cosPF1F2=sin2PF1F2=2PF1F2=PF1F2=PF2F1=-=.故選(A).14.解:由cosF1PF21-2e2=F1PF2600.故選(A).15.解:由tanPF1F2=,tanPF2F1=-2tanF1PF2=,sinPF1F2=,sinPF2F1=sinF1PF2=;又由e=,由PF1F2的面積=b2tanF1PF2=b2=1b2=a2=a=.16.解:由ACB=tan=,由F1CF2=tan=;又由=2tan=2b2c=a(b2-c2)2(a2-c2)c=a(a2-2c2)2(1-e2)e=1-2e22e3-2e2-2e+1=0.17.解:因e=-1|PF2|=,由a-c|PF2|a+ca-ca+c1-e1+e-1e1.所以,該橢圓的離心率的取值范圍為(-1,1).18.解:由d=|PF1|,|PF1|=d+|PF1|=|PF1|+|PF1|=;又由|PF1|c-ac-a(e-1)22e+