第二部分：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1、2010年優(yōu)秀模擬試卷分類匯編第二部分：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1.（2010丹東一模）已知函數(shù)（I）若，求函數(shù)的極值；（II）若對(duì)任意的，都有成立，求的取值范圍2.（2010丹東二模）已知對(duì)任意，直線都不是的切線（I）求的取值范圍；（II）求證在上至少存在一個(gè)，使得成立3.（2010沈陽(yáng)一模）設(shè)函數(shù).（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)，且對(duì)于內(nèi)的任意實(shí)數(shù),當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；()當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，函數(shù)，求證：.4.（2010沈陽(yáng)三模）已知函數(shù)f(x)xln(xa)（a是常數(shù)） (I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II) 當(dāng)在x1處取得極值時(shí)，若關(guān)于x的方程f(x)2xx2b在，2

2、上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(III)求證:當(dāng)時(shí)5.（2010撫順模擬）已知函數(shù)，（為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底） （）若函數(shù)在時(shí)取得極小值，試確定的取值范圍； （）在（）的條件下，設(shè)由的極大值構(gòu)成的函數(shù)為，試判斷曲線只可能與直線、（，為確定的常數(shù)）中的哪一條相切，并說(shuō)明理由6.（2010全國(guó)四校二模） 已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中（）設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，用表示，并求的最大值；（）設(shè)，證明：若，則對(duì)任意， 有7.（2010全國(guó)四校三模）已知對(duì)任意的恒有成立。 （1）求正數(shù)與的關(guān)系； （2）若 對(duì)恒成立，求函數(shù)的解析式； （3）證明：8.（2010全國(guó)四校一

3、模）已知函數(shù) （I）證明函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減； （II）若不等式都成立，（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的最大值。9.（2010大連二模）已知函數(shù) （1）設(shè)兩曲線與有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，若，試建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； （2）在（1）的條件下求的最大值； （3）若時(shí)，函數(shù)在（0，4）上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。10.（2010英才苑模擬題）已知函數(shù)（） （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值； （2）當(dāng)函數(shù)在單調(diào)時(shí)，求的取值范圍； （3）求函數(shù)既有極大值又有極小值的充要條件。11.（2010錦州三模）設(shè)函數(shù) （I）當(dāng)圖像上的點(diǎn)到直線距離的最小值； （II）是否存在正實(shí)數(shù)a

4、，使對(duì)一切正實(shí)數(shù)x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由12.（2010錦州二模） 已知（）的單調(diào)區(qū)間和最值；（）若13.（2010沈陽(yáng)二模）已知函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 的最大值為-4(I)求實(shí)數(shù)的值；(II)設(shè)，函數(shù)，若對(duì)任意的,總存在,使,求實(shí)數(shù)的取值范圍14.（2010英才苑預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（aR）。 （I）我們稱使=0成立的x為函數(shù)的零點(diǎn)。證明：當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)； （II）若函數(shù)在區(qū)間（1，+）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。15.（2010東北三校三模）定義：（其中）。 （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）若恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （3）記的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)a=1時(shí)

5、，對(duì)任意的，在區(qū)間上總存在k個(gè)正數(shù)，使成立，試求k的最小值。16.(2010東北三校一模)已知函數(shù) （1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍； （2）若且關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列滿足：求證：2010年優(yōu)秀模擬試卷分類匯編第二部分：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)詳解答案1.解：（I）， （2分），得，或，列表：2+0-0+極大極小函數(shù)在處取得極大值， （4分）函數(shù)在處取得極小值； （6分）（II）方法1：，時(shí)，（i）當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，函數(shù)在是增函數(shù)，恒成立； （8分）（ii）當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，函數(shù)在是減函數(shù)，恒成立，不合題意 （10分）（iii）當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，先

6、取負(fù)，再取，最后取正，函數(shù)在先遞減，再遞增，而，不能恒成立；綜上，的取值范圍是. （12分）方法2：，（i）當(dāng)時(shí)，而不恒為0，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，恒成立；（8分）（ii）當(dāng)時(shí)，令，設(shè)兩根是，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，而， （10分）若，不可能，若，函數(shù)在是減函數(shù)，也不可能，綜上，的取值范圍是. （12分）方法3：（i）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，恒成立；（ii）當(dāng)，即，或時(shí)， 若，在增函數(shù)，恒成立；（8分）若，由，得 設(shè)，列表：+0-0+極大極小任意的，恒成立，而，或， （10分）與矛盾，也與矛盾，以上兩式都與矛盾，對(duì)任意的，不能恒成立，綜上，的取值范圍是. （12分）2. 解：（I）， （2分）對(duì)任意

7、，直線都不是的切線，實(shí)數(shù)的取值范圍是； （4分）（II）方法1：?jiǎn)栴}等價(jià)于當(dāng)時(shí)， （6分）設(shè)，在上是偶函數(shù)，故只要證明當(dāng)時(shí)， 當(dāng)上單調(diào)遞增且， ； （8分）當(dāng)，列表： +0-0+極大極小在上遞減，在上遞增， （10分），時(shí)，時(shí)，若，則；若，則；在上至少存在一個(gè)，使得成立 （12分）方法2：反證法假設(shè)在上不存在，使得成立，即，設(shè)，在上是偶函數(shù)，時(shí)， （6分）當(dāng)上單調(diào)遞增且， ，與矛盾； （8分）當(dāng)，列表： +0-0+極大極小在上遞減，在上遞增， （10分），時(shí)，時(shí)，矛盾；，矛盾；綜上，與矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立 （12分）3. 解：由已知，得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? 1分（）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，則

8、,又，即，得x，所以此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，則在定義域內(nèi)恒成立，所以此時(shí)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為. 4分（）函數(shù)在上是增函數(shù)在上恒成立，即在上恒成立，即，. 6分由（）可知當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得0<x,即在為減函數(shù)，.又對(duì)于內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1，x2，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，恒有成立,即,所以, 由得. 8分()由（）可知，即證，9分由二項(xiàng)式定理= . 即證. 10分設(shè)Sn=,則Sn=.兩式相加得2Sn=,即Sn，所以原不等式得證. .12分4. (I) 由已知由函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由得，由得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為 4分（II）由題意，得 ， a0 5分由()知f(x)xlnx，f(x)2

9、xx2b ，即 xlnx2xx2b ， x23xlnxb0，設(shè)x23xlnxb(x0)，則2x3,當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：x(，1)1(1，2)200bln2b2b2ln26分方程f(x)2xx2b在，2上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, , , ln2b<2，即8分(III)由(I) 和(II)可知當(dāng)時(shí),即, 當(dāng)時(shí), 10分令（）,則所以當(dāng)時(shí),即, 12分5. 解：（），令，得或，2分當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，是函數(shù)的極小值點(diǎn)； 2分 當(dāng)時(shí)，若，則，若，則， 此時(shí)是函數(shù)的極大值點(diǎn)，綜上所述，使函數(shù)在時(shí)取得極小值的的取值范圍是 2分 （）由（）知，且當(dāng)時(shí)，因此是的極大

10、值點(diǎn)，于是2分，令，則恒成立，即在是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，即恒有，2分又直線的斜率為，直線的斜率為，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知曲線只可能與直線相切 2分6. （）設(shè)交于點(diǎn)，則有 ，即 （1） 又由題意知，即 （2） 2分 由（2）解得 將代入（1）整理得 4分 令，則 時(shí)，遞增，時(shí)遞減，所以 即，的最大值為 6分（）不妨設(shè)，變形得 令， 在內(nèi)單調(diào)增，同理可證命題成立 12分7. 解：（1）設(shè)，易知，由已知恒成立，所以函數(shù)在處取得最大值。又在處取得極大值，符合題意，即關(guān)系式為（3分） （2）恒成立，令，有，（5分），即對(duì)恒成立，須函數(shù)（7分） （3）由（2）知：（9分）即（12分）8. 解：（I） 1分

11、上單調(diào)遞減。 4分 （II）不等式由， 5分設(shè)， 6分 7分設(shè) 8分由（I）知， 11分故函數(shù)即 12分9. 解：（1）因?yàn)榕c在公共點(diǎn)處的切線相同。由題意知即,2分解得或（舍去），4分 （2）令，則，當(dāng)變化時(shí)，及的變化情況如下表：極大值所以，時(shí)，有最大值 7分 （3）在上恒為單調(diào)函數(shù)，所以,或恒成立，或在時(shí)恒成立，（舍）或?qū)愠闪?分對(duì)恒成立，,或綜上， 或12分10. 【解析】（1）時(shí)，函數(shù)在區(qū)間僅有極大值點(diǎn)，故這個(gè)極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，故函數(shù)在最大值是，又，故，故函數(shù)在上的最小值為。（4分） （2），令，則，則函數(shù)在遞減，在遞增，由，故函數(shù)在的值域?yàn)椤Ｈ粼诤愠闪?，即在恒成立，只要，若要在?/p>

12、恒成立，即在恒成立，只要。即的取值范圍是。（8分） （3）若既有極大值又有極小值，則首先必須有兩個(gè)不同正根，即 有兩個(gè)不同正根。故應(yīng)滿足，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等的正根，不妨設(shè)，由知：時(shí)，時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)既有極大值又有極小值反之，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的正根，故函數(shù)既有極大值又有極小值的充要條件。 （12分）11. 解：（）由為減函數(shù)則令-（2分）所求距離的最小值即為到直線的距離 -（5分） （）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足條件，令則-（7分）由為減函數(shù)當(dāng)為增函數(shù)-（10分）的取值范圍為-（12分）12. 解：（）(x>1)，若a1，x>1，則f(x)>0，f(x)在1，）上連續(xù)，f(x)在1，）上是

13、單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)a1，x1時(shí)，f(x)min=f(1)=1，函數(shù)有最小值1，無(wú)最大值 -（4分）（）記g(x)=f(x)2ax=x22alnx2ax，充分性：若，則g(x)=x2lnxx，g(x)=(2x2x1)=(2x1)(x1)當(dāng)x(0，1)時(shí)，g(x)<0，g(x)在（0，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)>0，g(x)在（1，）上是單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)，g(x)min=g(1)=0，即g(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，方程f(x)=2ax有唯一解必要性：若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解令g(x)=0，得x2axa=0a>0，x&g

14、t;0，x1=(舍去)，x2=當(dāng)x(0，x2)時(shí)，g(x)<0，g(x)在(0，x2)上是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)x(x2，)時(shí)，g(x)>0，g(x)在(x2，)上是單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)x=x2時(shí)，g(x2)=0，g(x)min=g(x2)g(x)=0有唯一解，g(x2)=0，2alnx2ax2a=0，a>0，2lnx2x21=0，（*）設(shè)函數(shù)h(x)=2lnxx1，在x>0時(shí)h(x)是增函數(shù)，h(x)=0至多有一解h(1)=0，方程(*)的解為x2=1，即，解得由、知，“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要條件是“” -（12分）13. (I)由已知,得, 4分時(shí),設(shè),則, ,時(shí)

15、, ,所以,，又由,可得,在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),=-1 7分（II）設(shè)的值域?yàn)锳，的值域?yàn)锽，則由已知，對(duì)于任意的，使得， 9分由（I）=-1，當(dāng)時(shí),，在上單調(diào)遞減函數(shù),的值域?yàn)?A= 10分,（1）當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，此時(shí)，的值域?yàn)?，為滿足，又即 11分（2）當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)，的值域?yàn)?，為滿足，又,綜上可知b的取值范圍是 12分14. 解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，其定義域?yàn)椋?，+），令，解得或，又x>0，故x=1，當(dāng)0<x<1時(shí)，；當(dāng)x>1時(shí)， ，函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+）上單調(diào)遞減，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；（5分） （II）因?yàn)?，其定義域?yàn)椋?，+），所以，（1）當(dāng)a=0時(shí)，所以在區(qū)間（0，+）上為增函數(shù)，不合題意。（7分） （2）當(dāng)a>0時(shí)，等價(jià)于，即x>，此時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為（，+），依題意，得，解之得。（9分） （3）當(dāng)a<0時(shí)，等價(jià)于，即0<x<，此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為（0，），不合題意。綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是。（12分）15. 解：（1），則 1分當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，在上遞增當(dāng)時(shí)，令，則， 2分時(shí)，為增函數(shù)；時(shí)，為減函數(shù)綜上，時(shí)，增區(qū)間為；時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為. 4分（2）由（1）知時(shí)，在遞增，且時(shí)，則不恒成立，故 5分又的極大值即最大值恒