六年級奧數(shù)考點：同余問題

1、考點：同余問題一、知識要點同余這個概念最初是由偉大的德國數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)的。同余的定義是這樣的：兩個整數(shù)a, b,如果它們除以同一自然數(shù) m所得的余數(shù)想同，則稱a, b對于模m同余。記 作：a與（mod m）。讀做：a同余于6模111。比如，12除以5, 47除以5,它們有相同的余 數(shù)2,這時我們就說，對于除數(shù) 5, 12和47同余，記做127 （mod 5）。同余的性質(zhì)比較多，主要有以下一些：性質(zhì)（1）:對于同一個出書，兩個數(shù)之和（或差）與它們的余數(shù)之和（或差）同余。比如： 32除以5余數(shù)是2, 19除以5余數(shù)是4,兩個余數(shù)的和是2+4=6 。 “32+19 ”除以5的余數(shù)就 恰好等于它們的余

2、數(shù)和6除以5的余數(shù)。也就是說，對于除數(shù)5, “32+19 ”與它們的余數(shù)和“2+4 ” 同余，用符號表示就是：32/（mod 5） , 19 （mod 5） , 32+19至+4三（mod 5）性質(zhì)（2）:對于同意個除數(shù)，兩個數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余。性質(zhì)（3）:對于同意個除數(shù)，如果有兩個整數(shù)同余，那么它們的差就一定能被這個除數(shù)整除。性質(zhì)（4）:對于同意個除數(shù)，如果兩個整數(shù)同余，那么它們的乘方仍然同余。應(yīng)用同余性質(zhì)幾萼體的關(guān)鍵是要在正確理解的基礎(chǔ)上靈活運用同余性質(zhì)。把求一個較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求一個較小的數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)，使復(fù)雜的題變簡單，使困難的題變?nèi)菀?。二、精講精練【例題

3、1】求1992 X59除以7的余數(shù)。應(yīng)用同余性質(zhì)（2）可將1992 X59轉(zhuǎn)化為求1992除以7和59除以7的余數(shù)的乘積，使計算 簡化。1992除以7余4, 59除以7余3。根據(jù)同余性質(zhì)，“ 4X3”除以7的余數(shù)與“ 1992 X59 ” 除以7的余數(shù)應(yīng)該是相同的，通過求“ 4X3”除以7的余數(shù)就可知道1992 X59除以7的余數(shù)了。因為 1992 X59NX3H （mod 7 ）所以1992 X59除以7的余數(shù)是5。練習(xí)1 :1、（課后）求4217 X364除以6的余數(shù)。2、求1339655 X12除以13的余數(shù)。3、求879 X4376 X5283除以11的余數(shù)?！敬鸢浮?.4217 X3

4、64與X4至（mod 6 ）2.1339655 X12 與 X12 m（mod 13 ）3.879 X4376 X5283 M0 X9 X36 （mod 11 ）【例題2】已知2001年的國慶節(jié)是星期一，求2010年的國慶節(jié)是星期幾？一星期有7天，要求2010年的國慶節(jié)是星期幾，就要求從 2001年到2010年的國慶節(jié)的總 天數(shù)被7除的余數(shù)就行了。但在甲酸中，如果我們能充分利用同余性質(zhì)，就可以不必算出這個總天 數(shù)。2001年國慶節(jié)到2010年國慶節(jié)之間共有2個閏年7個平年，即有“ 366 X2+365 X7”天。 因為 366 X2至 X2 三（mod 7） , 365 X7mX7 4 （mo

5、d 7） , 366 X2+365 X7至 X2+1 X7N+0 三（mod 7 ）答：2010年的國慶節(jié)是星期五。練習(xí)2:1、（課后）已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期幾？2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求 2015年的“十月一日”是星期幾？3、今天是星期四，再過365 15是星期幾？【答案】1.2008年元旦是星期二。2.2015年10月1日是星期四。3.365 15天是星期五?！纠}3】求2001的2003次方除以13的余數(shù)。2001除以13余12,即2001m2 （mod 13 ）。根據(jù)同余性質(zhì)（4）,可知2001的2003次 方之2的2003次方（mod 1

6、3 ）,但12的2003次方仍然是一個很大的值，要求它的余數(shù)比較困 難。這時的關(guān)鍵就是要找出12的幾次方對模13與1是同余的。經(jīng)試驗可知12的平方三1 （mod 13 ）, 而 2003 2X1001+1 0 所以（12 的平方）的 1001 次方力 的 1001 （mod 13）,即 12 的 2002 次方目（mod 13），而12的2003次方力2的2002次方X12。根據(jù)同余性質(zhì)（2）可知12的 2002 次方 X12 之 X12 m2 （mod 13 ）因為：2001的2003次方=12的2003次方（mod 13 ）12 的平方三 1 （mod 13 ）,而 2003 X1001+

7、112 的 2003 次方=12 的 2002 次方X12m X12M2 （mod 13 ）所以2001的2003次方除以13的余數(shù)是12。練習(xí)3:1、（課后）求16的200次方除以13的余數(shù)。2、求3的92次方除以21余幾。3、9個小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分給他們，最后剩下幾粒？ 【答案】1.16 200除以13的余數(shù)是9.2.3 92除以21余數(shù)是9.3.最后剩下8粒.【例題4】自然數(shù)16520 ,14903 ,14177除以m的余數(shù)相同，m最大是多少？自然數(shù)16520 ,14903 ,14177除以m的余數(shù)相同，換句話說就是16520三4903三4177 （mod m）

8、 o根據(jù)同余性質(zhì)（3）,這三個餓數(shù)同余，那么它們的差就能被 m整除。要求m最大是多少， 就是求它們差的最大公約數(shù)是多少？因為 16520 14903=1617=3 X7 的平方 X 1116520 14177=2343=3 X11 X7114903 14177=726=2 X3 X11 的平方M是這些差的公約數(shù)，m最大是3X11=33 。練習(xí)4:1、（課后）若2836、4582、5164、6522四個整數(shù)都被同一個兩位數(shù)相除，所得的余數(shù)相 同。除數(shù)是多少？2、一個整數(shù)除226、192、141都得到相同的余數(shù)，且余數(shù)不為 0,這個整數(shù)是幾？3、當(dāng)1991和1769除以某一個自然數(shù) m時，余數(shù)分別

9、為2和1 ,那么m最小是多少？【答案】1.4582-2836=1746=2X97 X32 5164-4582=582=2X97 X36522-5164=1358=2X97 X7 因為除數(shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)應(yīng)是 97.2.226-192=34=17X2 226 X141=85=17 X5 192-141=51=17X3因為余數(shù)不為0,所以求的應(yīng)是34,85,51的不為1的公因數(shù)，所以這個整數(shù)是17.3.假設(shè)余數(shù)都是2,那么這兩個數(shù)就是1991和1770 ,由于1991和1770同余。m就能整 除它們的差。1991-1770=221=13 X17 ,經(jīng)檢驗，m最小是13.【例題5】某數(shù)用6除余3,

10、用7除余5,用8除余1 ,這個數(shù)最小是幾？我們可從較大的除數(shù)開始嘗試。首先考慮與 1模8同余的數(shù)，9M （mod 8）,但9輸以7 余數(shù)不是5,所以某數(shù)不是9。17三（mod 8 ） , 17除以7的余數(shù)也不是5。25M （mod 8 ）, 25除以7的余數(shù)也不是5。33M （mod 8 ） , 33除以7的余數(shù)正好是5,而且33除以6余數(shù)正 好是3,所以這個數(shù)最小是33。上面的方法實際是一種列舉法，也可以簡化為下面的格式：被8除余1的數(shù)有：9, 17, 25, 33, 41 , 49, 57, 65, 73, 81 , 89,其中被7除余5 的數(shù)有：33, 89 ,這些數(shù)中被6除余3的數(shù)最小是33。練習(xí)5:1、（課后）某數(shù)除以7余1,除以5余1 ,除以12余9。這個數(shù)最小是幾？2、某數(shù)除以7余6,除以5余1,除以11余3,求此數(shù)最小值。3、在一個圓圈上有幾十個孔（如圖38-1 ），小明像玩跳棋那樣從A孔出發(fā)沿逆時針方向每隔 幾個孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先試著每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。問：這個圓圈上共有多少個孔？【答案】1.除以7余1 ,除以5余1 ,則這個數(shù)除以35也余