高數(shù)A三AB卷試題答案匯總

1、院/系 年級(jí) 專(zhuān)業(yè) 姓名 學(xué)號(hào) 答 題 勿 超 裝 訂 線(xiàn)-裝-訂-線(xiàn)-安徽大學(xué)20082009學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)A（三）考試試卷（A卷）（閉卷 時(shí)間120分鐘）題 號(hào)一二三四五總分得 分閱卷人得分一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1、下列陳述正確的是（ ）。(A) 若方程組有唯一解，則方程組有唯一解 (B) 若方程組有唯一解，則方程組有唯一解(C) 若方程組有無(wú)窮多解，則方程組有無(wú)窮多解 (D) 若方程組無(wú)解，則方程組無(wú)解2、已知維向量組線(xiàn)性相關(guān)，則下列選項(xiàng)中必正確的是( )。(A) 對(duì)于任何一組不全為零的數(shù)，使得(B) 中任何兩個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)(C) 存在一組不全為零的數(shù)，使得(D)

2、對(duì)于每一個(gè)都可以由其余向量線(xiàn)性表出3、設(shè)，且，則 ( )。(A) 事件與事件互不相容 (B) 事件與事件對(duì)立(C) 事件與事件不獨(dú)立 (D) 事件與事件獨(dú)立4、設(shè)（指數(shù)分布），是總體的樣本，則參數(shù)的矩估計(jì)是( )。(A) (B) (C) (D) 5、設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，則下列結(jié)論正確的是( )。(A) (B) (C) (D) 得分二、填空題（每小題2分，共10分）6、若齊次線(xiàn)性方程組 有非零解，則 。7、矩陣的逆矩陣為 。8、若3階方陣的特征值分別為、0、1，則行列式= 。9、已知（泊松分布），且，則 。10、從一批零件中，抽取9個(gè)零件，測(cè)得其直徑（單位：毫米）為：19.7，20.1，19

3、.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3設(shè)零件直徑服從正態(tài)分布，其中未知，（毫米），則這批零件平均直徑的對(duì)應(yīng)于置信度為0.95的置信區(qū)間為 。得分三、計(jì)算題（本大題共4小題，共46分）11、(本小題10分) 計(jì)算下列行列式12、(本小題14分) 已知三階矩陣求: (1) 矩陣的特征值及特征向量（6分）；(2) 正交矩陣，使得為對(duì)角矩陣，并寫(xiě)出相應(yīng)的對(duì)角陣（4分）；(3) (為正整數(shù))(4分)。13、（本小題10分）已知二次型正定，求的取值范圍。14、(本小題12分) 設(shè)二維隨機(jī)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：(1) 常數(shù)(6分)；(2) (6分)。四、證明題（本大題共2小題

4、，共24分）15、(本小題12分) 設(shè)為實(shí)矩陣，且滿(mǎn)足。（1）若，證明不可逆（5分）；（2）證明可逆，并求其逆（7分）。得分16、(本小題12分) 設(shè)二維隨機(jī)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 證明：(1) 與不相關(guān)(6分)；(2) 與不獨(dú)立(6分)。得分五、綜合分析題（本大題共10分）17、 設(shè)總體，其中和為未知參數(shù)，是總體的一個(gè)子樣。(1) 求參數(shù)和的極大似然估計(jì)和(6分)；(2) 判斷是否為的無(wú)偏估計(jì)量(4分)。院/系 年級(jí) 專(zhuān)業(yè) 姓名 學(xué)號(hào) 答 題 勿 超 裝 訂 線(xiàn)-裝-訂-線(xiàn)-安徽大學(xué)20082009學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)A（三）考試試卷（B卷）（閉卷 時(shí)間120分鐘）題 號(hào)一二三四五總分得

5、分閱卷人得分一、選擇題（每小題2分，共10分）1、設(shè)為階方陣，其中為維列向量，且，則( )。(A) 必有無(wú)窮多解 (B) 必有唯一解(C) 僅有零解 (D) 必有非零解2、設(shè)，則在下的坐標(biāo)為( )。(A) (B) (C) (D) 3、設(shè)隨機(jī)變量泊松分布,則方差( )。(A) (B) (C) (D) 4、設(shè)，是總體的樣本，則參數(shù)的矩估計(jì)是( )。(A) (B) (C) (D) 5、設(shè)是總體的樣本，且，則( )是 的無(wú)偏估計(jì)。(A) (B) (C) (D)得分二、填空題（每小題2分，共10分）6、若齊次線(xiàn)性方程組有非零解，則。7、矩陣的逆矩陣為 。8、 設(shè)階方陣可逆，且為其特征值，則矩陣的特征值為

6、。9、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則 。10、已知, 則 。三、計(jì)算題（本大題共4小題，共46分）得分11、(本小題10分) 計(jì)算行列式12、(本小題12分) 求一個(gè)正交線(xiàn)性替換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。13、(本小題12分) 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為試求：(1) 常數(shù)(4分)；(2) (4分)；(3) 分布函數(shù)(4分)。14、(本小題12分) 設(shè)一個(gè)人有把鑰匙，其中只有一把鑰匙能把門(mén)打開(kāi)，現(xiàn)每次開(kāi)門(mén)時(shí)隨機(jī)地任取一把，直到把門(mén)打開(kāi)，用表示直到把門(mén)打開(kāi)時(shí)的次數(shù)，求在每次打不開(kāi)門(mén)鑰匙放回的情形下的分布律及其數(shù)學(xué)期望。得分四、綜合分析題（本大題共14分）15、對(duì)于線(xiàn)性方程組，問(wèn)取何值時(shí)，方程組有解？并在

7、有解時(shí)求出其通解。得分五、證明題（本大題共2小題，每題10分，共20分）16、設(shè)為實(shí)矩陣，求證：為正定矩陣。17、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為證明：隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布。院/系 年級(jí) 專(zhuān)業(yè) 姓名 學(xué)號(hào) 答 題 勿 超 裝 訂 線(xiàn)-裝-訂-線(xiàn)-安徽大學(xué)20092010學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)A（三）考試試卷（A卷）（閉卷 時(shí)間120分鐘）院/系 年級(jí) 專(zhuān)業(yè) 姓名 學(xué)號(hào) 題 號(hào)一二三四五總分得 分得分一、選擇題（每小題2分，共10分）1.設(shè)均為階方陣，且滿(mǎn)足等式，則必有（ ）.(A) 或 (B) (C) 或 (D) 2.設(shè)向量組：； ：則下列說(shuō)法必正確的是（ ）.(A)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)； (

8、B) 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則線(xiàn)性相關(guān)；(C) 線(xiàn)性相關(guān)，則線(xiàn)性相關(guān)； (D) 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則線(xiàn)性無(wú)關(guān).3.某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為，則此人第次射擊恰好第次命中目標(biāo)的概率為（ ）.(A) (B) (C) (D) 4.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，則與隨機(jī)變量同分布的隨機(jī)變量是（ ）.(A) (B) (C) (D) 5. 在假設(shè)檢驗(yàn)中，記為原假設(shè)，則稱(chēng) 為犯第一類(lèi)錯(cuò)誤 （ ）(A)為真時(shí)接受 (B) 不真時(shí)接受(C)為真時(shí)拒絕 (D) 不真時(shí)拒絕得分二、填空題（每小題2分，共10分）6.方程的根為 .7.設(shè)3階矩陣有3個(gè)特征值1，2，3，且矩陣與相似，則 .8. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為

9、則概率 .9.設(shè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望分別為和,方差分別為和,而相關(guān)系數(shù)為,則根據(jù)切比雪夫不等式有 .10.設(shè)某農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)量（單位：kg）服從，現(xiàn)隨機(jī)抽取100畝進(jìn)行試驗(yàn)，觀(guān)察畝產(chǎn)量，得到kg，則總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為 ()得分三、計(jì)算題（本大題共10分）11.（本小題10分）計(jì)算下列行列式院/系 年級(jí) 專(zhuān)業(yè) 姓名 學(xué)號(hào) 答 題 勿 超 裝 訂 線(xiàn)-裝-訂-線(xiàn)-得分四、分析題（本大題共5小題，共62分）12.（本小題13分）已知線(xiàn)性方程組問(wèn)：取何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多解？并在此時(shí)求其通解.13.（本小題14分）設(shè)二次型（1）求正交變換，使為標(biāo)準(zhǔn)形；（2）判定二次型的正定性.

10、院/系 年級(jí) 專(zhuān)業(yè) 姓名 學(xué)號(hào) 答 題 勿 超 裝 訂 線(xiàn)-裝-訂-線(xiàn)-14.（本小題10分）設(shè)某人按如下原則決定某日的活動(dòng)：如該天下雨則以0.2的概率外出購(gòu)物，以0.8的概率去探訪(fǎng)朋友；如該天不下雨，則以0.9的概率外出購(gòu)物，以0.1的概率去探訪(fǎng)朋友.已知該日下雨的概率為0.3.（1）試求那天他外出購(gòu)物的概率；（2）若已知他那天外出購(gòu)物，試求那天天下雨的概率.15.（本小題13分）已知二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布表如下： (1)求關(guān)于的邊緣分布律；(2)判斷的獨(dú)立性；(3)判斷的相關(guān)性。16.（本小題12分）設(shè)總體的概率密度為其中是常數(shù)，是未知參數(shù).從總體中抽取樣本.（1）求常數(shù)的值；（

11、2）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量；（3）判斷是否為的無(wú)偏估計(jì)量.得分院/系 年級(jí) 專(zhuān)業(yè) 姓名 學(xué)號(hào) 答 題 勿 超 裝 訂 線(xiàn)-裝-訂-線(xiàn)-五、證明題（本大題共8分）17.（本小題8分）設(shè)均為階方陣，且滿(mǎn)足.證明：（1）可逆；（2）.院/系 年級(jí) 專(zhuān)業(yè) 姓名 學(xué)號(hào) 答 題 勿 超 裝 訂 線(xiàn)-裝-訂-線(xiàn)-安徽大學(xué)20092010學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)A（三）考試試卷（B卷）（閉卷 時(shí)間120分鐘）題 號(hào)一二三四五總分得 分閱卷人得分一、選擇題（每小題2分，共10分）1. 設(shè)線(xiàn)性方程組其中為矩陣，且則方程組( ).(A) 有唯一解 (B) 有無(wú)窮多解 (C) 無(wú)解 (D) 可能無(wú)解2. 設(shè)向量組的秩都是

12、則( ).(A) 向量組 等價(jià) (B) (C) 如果 則 等價(jià) (D) 如果則等價(jià)3. 設(shè)隨機(jī)事件互不相容，并且則( ).(A) (B) (C) (D) 4. 設(shè)總體，是來(lái)自于的樣本，則下列結(jié)論正確的是( )（A） （B） （C） （D） 5. 在假設(shè)檢驗(yàn)中，記為備擇假設(shè)，則稱(chēng) 為犯第一類(lèi)錯(cuò)誤. （ ）（A）為真時(shí)接受 （B）不真時(shí)接受（C）為真時(shí)拒絕 （D）不真時(shí)拒絕二、填空題（每小題2分，共10分） 6. 方程的解為 .7. 設(shè)同為5階方陣，則 .8. 設(shè)為正交矩陣,且則伴隨矩陣 .9. 一部四卷的文集，按任意次序放到書(shū)架上，則自左向右或自右向左恰好為1，2，3，4的概率為 .10.在貝努

13、利每次試驗(yàn)成功的概率為，,進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，直到第10次試驗(yàn)才取得4次成功的概率為 .得分三、計(jì)算題（共10分）11.（本小題10分）計(jì)算下列行列式得分四、分析題（共62分）12.（本小題13分）求下列線(xiàn)性方程組的通解. 答 題 勿 超 裝 訂 線(xiàn)-裝-訂-線(xiàn)-13.（本小題14分）已知實(shí)二次型，試?yán)谜痪€(xiàn)性替換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出正交線(xiàn)性替換.14.（本小題10分）發(fā)報(bào)臺(tái)分別以0.7和0.3的概率發(fā)出信號(hào)“*”和“”由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“*”時(shí)，接收臺(tái)不一定收到信號(hào)“*”，而是以概率0.8和0.2收到信號(hào)“*”和“”同樣地，當(dāng)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“”時(shí)，接收臺(tái)以0.9和0.1的概率

14、收到信號(hào)“”和“*”試求：（1）接收臺(tái)收到信號(hào)“*”的概率；（2）當(dāng)接收臺(tái)收到信號(hào)“*”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確是發(fā)出信號(hào)“*”的概率15.（本小題13分）設(shè)隨機(jī)變量,且滿(mǎn)足,（1）求；（2）判斷和是否獨(dú)立. 答 題 勿 超 裝 訂 線(xiàn)-裝-訂-線(xiàn)-16.（本小題12分）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)（），為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記為樣本值中小于1的個(gè)數(shù)，求（1）的矩估計(jì)；（2）的最大似然估計(jì)得分五、證明題（本大題共8分） 17.（本小題8分）設(shè)階方陣滿(mǎn)足.證明：（1）可逆；（2）若，則不可逆.安徽大學(xué)20082009學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)A（三）（A卷）考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題2分

15、，共10分）1、B 2、C 3、 D 4、D 5、A 二、填空題（每小題2分，共10分）6、-1，-2 7、 8、30 9、9 10、（19.77，20.05）三、計(jì)算題（本大題共4小題，其中第11題和第13題各10分，第12題14分，第14題12分，共46分）11、解：將第一行的-1倍加到其余各行，得 (4分)再將第列的倍加到第一列，得 (8分) (10分)12、 解：(1) 令，得. (3分)當(dāng)時(shí)，解下列方程組得特征向量；當(dāng)時(shí)，解下列方程組得特征向量；當(dāng)時(shí)，解下列方程組得特征向量。 (6分)(2) 由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，所以只需將(1)中得到的特征向量單位化即可得到

16、正交矩陣。將特征向量單位化得，令，從而為正交矩陣，并且，即所求的對(duì)角矩陣為 。 (10分)(3) 由(2)知 所以 (14分)13、解：二次型的矩陣為各階順序主子式為 ，7分)由于二次型正定，所以各階順序主子式均大于0，即解得。 (10分)14、解：(1) 由于為的聯(lián)合密度函數(shù)，所以即所以 .(6分)(2) (12分)四、證明題（本大題共2小題，每題12分，共24分）15、證明: （1）由于，所以，下用反正法：若可逆，則，此與假設(shè)矛盾，所以不可逆。(5分)（2）由于，所以，從而所以可逆，并且。 (12分)16、證明：(1) 由于，所以 ，即與不相關(guān)。 (6分)(2) 先求與的邊緣密度函數(shù)：當(dāng)或

17、時(shí)，。當(dāng)時(shí)，所以同理可得易見(jiàn)和在區(qū)域內(nèi)并不是幾乎處處相等的，所以與不獨(dú)立。 (12分)五、綜合分析題（本大題共10分）17、解：（1）設(shè)為樣本的觀(guān)測(cè)值，因?yàn)榭傮w的概率密度函數(shù)為所以似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 (3分) 似然方程為解得和的極大似然估計(jì)分別為對(duì)應(yīng)的估計(jì)量分別為 (6分)(2) 由于，所以故不是的無(wú)偏估計(jì)量。 (10分)安徽大學(xué)20082009學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)A（三）（B卷）考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、 選擇（每小題2分，共10分）1、（D） 2、（A） 3、（B ） 4、(B) 5、(D) 二、填空（每小題2分，共10分）6、 7、 8、 9、 10、三、解答題 （本大題共4小

18、題，其中第11題10分、第12題、第13題和第14題各12分，共46分）11、解：先將第2行至第行都加到第1行，再提取公因數(shù)，最后將第一行的倍加到其余各行：(4分)(8分)。 (10分)12、解：寫(xiě)出二次型矩陣為求特征值：特征多項(xiàng)式為故特征值為。 (5分)求特征向量：3個(gè)相異特征值所對(duì)應(yīng)的3個(gè)特征向量為正交向量組，故求得后只需單位化。 (8分)只需單位化：作正交矩陣和對(duì)角陣：寫(xiě)出正交線(xiàn)性替換和標(biāo)準(zhǔn)形：經(jīng)正交線(xiàn)性替換，即化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形： (12分)13、解：(1) 因?yàn)闉楦怕拭芏群瘮?shù)，所以從而.(4分) (2) ；(8分) (3) (12分)14、解：設(shè)表示事件“第次打開(kāi)門(mén)”，則， ，即X分

19、布律為：1234 (8分)于是，。 (12分)注意：幾何分布的數(shù)學(xué)期望。四、綜合分析題（本大題14分）15、解：對(duì)增廣矩陣作初等行變換化為行階梯形： (4分)顯然，當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程組有解。(7分)為此繼續(xù)作初等行變換化為行最簡(jiǎn)形： (10分)通解為：，即 .其中自由未知量。 (14分)四、 證明題（本大題共2小題，每題10分，共20分）16、證明:由于，所以為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣； ，由于 ，所以 (6分)又因?yàn)?， 所以 ，即為正定矩陣。 (10分)17、證：由的值域可確定的值域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； (4分)當(dāng)時(shí)，所以的密度函數(shù)為故服從區(qū)間上的均勻分布。 (10分)安徽大學(xué)2009201

20、0學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)A（三）（A卷）考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題2分，共10分）1. C 2. D 3. D 4.B 5. C二、填空題（每小題2分，共10分）6.或 7. 8. 9. 10. 三、計(jì)算題（本大題共10分）11.（本小題10分）解：為使中各列元素的方冪次數(shù)自上而下遞升排列，將第行依次與上一行交換直至第1行；第行依次與上一行交換直至第2行；第2行交換到第行，于是共經(jīng)過(guò)次行的交換，得到階范德蒙行列式 （5分）再對(duì)上面右端行列式的列進(jìn)行與上述行的相同調(diào)換，得到令注意到，故有 （10分）得分四、分析題（本大題共6小題，共62分）12.（本小題13分）解：增廣矩陣為 （

21、2分） （5分）當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。 （7分）此時(shí)有 （8分）對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性方程組為即 （9分）令，得到原非齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)特解： （10分）原非齊次線(xiàn)性方程組對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組為令，得到；令，得到；令，得到， （11分）故原非齊次線(xiàn)性方程組的結(jié)構(gòu)解為，為任意常數(shù)。 （13分）13.（本小題14分）解：二次型的矩陣為 （2分） 特征多項(xiàng)式為 （3分） （5分）由得到的特征值為。 （7分）當(dāng)時(shí)，解方程組，可得到基礎(chǔ)解系當(dāng)時(shí)，解方程組，得到基礎(chǔ)解系 （9分）容易驗(yàn)證兩兩正交，故只需將單位化即可，得到令 則當(dāng)時(shí)，有 （12分）因?yàn)槎涡偷恼龖T性指數(shù)為3，故二次型為正定二次型。 （14分）14.（本小題

22、10分）解：設(shè)=那天下雨，=那天不下雨，=那天外出購(gòu)物，則有，。（1）由全概率公式有 (5分)（2）由逆概公式有 （10分）15.（本小題13分）解：（1）關(guān)于的邊緣分布律為關(guān)于的邊緣分布律為 （4分）（2）因?yàn)?所以不獨(dú)立。 （8分）（3）因而有。故不相關(guān)。 （13分）16.（本小題12分）解：（1）由于，即得到。 （4分）（2）設(shè)總體的樣本值為，似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)有令得到的最大似然估計(jì)值為的最大似然估計(jì)量為 （8分）（3）由于因此由此可知是的無(wú)偏估計(jì)量。 （12分） 五、證明題（本大題8分）17. （本小題8分）證明：（1）由得到故有可逆。 （4分）（2）由（1）知可逆，且逆矩陣為，因而有故有即有. （8分）安徽大學(xué)20092010學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)A（三）（B卷）考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一選