第四講數(shù)列與探索性新題型的解題技巧

1、第四講數(shù)列與探索性新題型的解題技巧【命題趨向】從20 0 7年高考題可見數(shù)列題命題有如下趨勢(shì)：1 .等差（比）數(shù)列的基本知識(shí)是必考內(nèi)容，這類問題既有選擇題、填空題，也有解答題：難度 易、中、難三類皆有.2. 數(shù)列中an與Sn之間的互化關(guān)系也是髙考的一個(gè)熱點(diǎn).3. 函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中常常用到,解答試題時(shí)要 注意靈活應(yīng)用.4 .解答題的難度有逐年增大的趨勢(shì)，還有一些新穎題型，如與導(dǎo)數(shù)和極限相結(jié)合等.因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意：1. 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式 等.2. 運(yùn)用方程的思想解等差（比）數(shù)列，是常見題型，解

2、決此類問題需要抓住基本量al、d（或q）, 掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡(jiǎn)化運(yùn)算.3. 分類討論的思想在本章尤為突出.學(xué)習(xí)時(shí)考慮問題要全面，如等比數(shù)列求和要注意q二1和q 工1兩種情況等等.4. 等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運(yùn)用的，數(shù)列也不例外.如anSn的轉(zhuǎn)化;將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等 差（比）數(shù)列來解決等.復(fù)習(xí)時(shí)，要及時(shí)總結(jié)歸納.5. 深刻理解等差（比）數(shù)列的左義，能正確使用左義和等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān) 鍵.6. 解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法.如觀察法、類比法、錯(cuò)位相減法、待左系數(shù)法、歸納法、數(shù) 形結(jié)合法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，定能達(dá)到事半功倍的效

3、果.7 數(shù)列應(yīng)用題將是命題的熱點(diǎn)，這類題關(guān)鍵在于建模及數(shù)列的一些相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用.【考點(diǎn)透視】1. 理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給岀數(shù)列的一種方法,并能根 據(jù)遞推公式寫岀數(shù)列的前幾項(xiàng).2. 理解等差數(shù)列的槪念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答簡(jiǎn)單的 問題.3理解等比數(shù)列的槪念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單 的問題.4. 數(shù)列是髙中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)髙等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位. 髙考對(duì)本章的考査比較全面，等差數(shù)列,等比數(shù)列的考査每年都不會(huì)遺漏.解答題多為中等以 上難度的試題，突岀考查考生的思維能力，

4、解決問題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度.有關(guān)數(shù) 列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來，試 題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列,求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點(diǎn), 常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、 轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待立系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法.應(yīng) 用問題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)化，常需構(gòu)造數(shù)列模型，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問 題來解決.【例題解析】考點(diǎn)1正確理解和運(yùn)用數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式理解數(shù)列的概念，正確應(yīng)用數(shù)列的定義，能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫岀數(shù)列的通項(xiàng)公式

5、. 典型例題例1. （20 0 6年廣東卷）在徳國(guó)不來梅舉行的第4 8屆世乒賽期間某商店櫥窗里用同樣的乒 乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品,其中第1堆只有1層，就一個(gè)球：第2, 3 , 4,堆 最底層（第一層）分別按圖4所示方式固左擺放,從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層 之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f （ n ）表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用n 表示）.思路啟迪:從圖中觀察各堆最低層的兵乓球數(shù)分別是12,3, 4, 推測(cè)岀第n層的球數(shù)。 解答過程:顯然第n堆最低層（第一層）的乒乓球數(shù)，第n堆的乒乓球數(shù)總數(shù)相當(dāng)于n堆乒乓球的低層數(shù)之 和，即所以：例2. （2 0 07年湖

6、南卷理）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1 ,偶數(shù)換成0,得到如圖所示的0 -1三角數(shù)表.從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行第次全行的數(shù)都為1的是第行：第61行中1的個(gè)數(shù)是第1行第2行第3行第4行1 11 0 11 1 11 0 010 0 1思路啟迪:計(jì)算圖形中相應(yīng)1的數(shù)量的特征，然后尋找它們之間的規(guī)律。解:第1次全行的數(shù)都為1的是第二1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第二3行，第3次全行 的數(shù)都為1的是第二7行,？?？ ？，第次全行的數(shù)都為1的是第行;第61行中1的個(gè)數(shù) 是=32.應(yīng)填，32考點(diǎn)2 數(shù)列的遞推關(guān)系式的理解與應(yīng)用在解答給出的遞推關(guān)系式的數(shù)列問題時(shí)，要

7、對(duì)其關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為常見的 類型進(jìn)行解題。如“逐差法”若且；我們可把各個(gè)差列出來進(jìn)行求和，可得到數(shù)列的通項(xiàng).再看“逐商法”即且，可把各個(gè)商列岀來求積。另外可以變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題。例3. （ 2 0 07年北京卷理）數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列.（1）求的值：（II）求 的通項(xiàng)公式.思路啟迪：（1）由成公比不為的等比數(shù)列列方程求；（2）可根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后分析每一項(xiàng)與該項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，歸納概括 出a n與n之間的一般規(guī)律，從而作岀猜想，寫岀滿足前4項(xiàng)的該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.解：（1）,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，

8、所以，解得或.當(dāng)時(shí)，不符合題意舍去，故.（II）當(dāng)時(shí)，由于所以.又，故.當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以.小結(jié):從特殊的事例，通過分析、歸納、抽象總結(jié)出一般規(guī)律，再進(jìn)行科學(xué)地證明，這是創(chuàng)新意 識(shí)的具體體現(xiàn)，這種探索問題的方法，在解數(shù)列的有關(guān)問題中經(jīng)常用到，應(yīng)引起足夠的重視. 例4. (200 6年廣東卷)已知數(shù)列滿足,.若，則 (B )(A)(B) 3(C) 4(D)5思路啟迪：對(duì)遞推關(guān)系變形，運(yùn)用疊加法求得，特別注意的是對(duì)兩邊同時(shí)運(yùn)用.解答過程：，相疊加.解答過程2:由得:,因?yàn)? 所以：.解答過程3:由得:從而；：;疊加得：.9,從而.小結(jié):數(shù)列遞推關(guān)系是近幾年高髙數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，主要是一些能轉(zhuǎn)化為等差

9、等比數(shù)列的遞推關(guān)系 式。對(duì)連續(xù)兩項(xiàng)遞推，可轉(zhuǎn)化為;對(duì)連續(xù)三項(xiàng)遞推的關(guān)系如果方程有兩個(gè)根，則上遞推關(guān)系式可化為或.考點(diǎn)3數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系與應(yīng)用與的關(guān)系：，數(shù)列前n項(xiàng)和 和通項(xiàng)是數(shù)列中兩個(gè)重要的量,在運(yùn)用它們的關(guān)系式時(shí), 一定要注意條件，求通項(xiàng)時(shí)一左要驗(yàn)證是否適合。解決含與的式子問題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為只 含或者轉(zhuǎn)化為只的式子.例5. ( 2 006年遼寧卷)在等比數(shù)列 中，前項(xiàng)和為，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則 等于 ( )(A)(B)(C)(D)命題目的:本題考查了等比數(shù)列的泄義和求和公式，著重考查了運(yùn)算能力。過程指引因數(shù)列 為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C.例6.已

10、知在正項(xiàng)數(shù)列a n中，S n表示前n項(xiàng)和且，求a n.思路啟迪:轉(zhuǎn)化為只含或者只含的遞推關(guān)系式.解答過程1：由已知，得當(dāng)n二1時(shí)，al二1;當(dāng)心2時(shí)，a n二S n S n- 1 ,代入已知有，.，又，故.,是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故.解答過程2：由已知，得當(dāng)n二1時(shí)，al二1;當(dāng)nM2時(shí)因?yàn)?，所?9,因?yàn)?，所以，所?考點(diǎn)4.數(shù)列中與n有關(guān)的等式的理解與應(yīng)用對(duì)數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為得到另外的式子。也可以把n取自然數(shù) 中的具體的數(shù)1, 2, 3等，得到一些等式歸納證明.例7. （20 0 6年福建卷）已知數(shù)列 滿足（nGN ）（I）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（II）

11、若數(shù)列滿足（nGN*）,證明：是等差數(shù)列；思路啟迪:本小題主要考查數(shù)列基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考査綜合解題能力。把 遞推關(guān)系式變形轉(zhuǎn)化解答過程：（I）解：。是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。即（II）證法一：，得即O 一，得故是等差數(shù)列.考點(diǎn)5等差、等比數(shù)列的槪念與性質(zhì)的理解與應(yīng)用在等差、等比數(shù)列中，已知五個(gè)元素或，中的任意三個(gè)，運(yùn)用方程的思想，便可求岀其余 兩個(gè)，即“知三求二”。本著化多為少的原則，解題時(shí)需抓住首項(xiàng)和公差（或公比）。另外 注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用例如（1）等差數(shù)列 中，若，則；等比數(shù)列中，若，則.（2）等差數(shù)列中，成等差數(shù)列。英中是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;等比數(shù)列

12、中（），成等比 數(shù)列。其中是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：（3）在等差數(shù)列中，項(xiàng)數(shù)n成等差的項(xiàng) 也稱等差數(shù)列.（4 ）在等差數(shù)列 中，：在復(fù)習(xí)時(shí)，要注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的立義及英等價(jià)形式.注意方程思想、整體思 想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.典型例題例8. （2006年江西卷）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直 線不過原點(diǎn)0）,則S 2 00=（）A. 10 0B. 101C.200D. 201 命題目的:考査向量性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項(xiàng)和。過程指引：依題意，al+a 2 00=1,故選A例9. （2 00 7年安徽卷文、理）某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度，公民在就

13、業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為al,以后每年交 納的數(shù)目均比上一年增加d （d0）,因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目al, a 2, 是一個(gè) 公差為d的等差數(shù)列. 與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的訃息政府，不僅采用固泄利率，而且計(jì) 算復(fù)利.這就是說，如果固立年利率為r（r0）,那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金 就變?yōu)閍 1 （ 1 4-r） n-1,第二年所交納的儲(chǔ)備金就變成a 2 （1+r） n-2 ,.以Tn 表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.（I）寫出Tn與Tn 1 （n2）的遞推關(guān)系式；（II）求證Tn二An+ Bn,其中An是一個(gè)等比數(shù)列，B n 是一個(gè)等差數(shù)列.命題目的：本小題主要考

14、査等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法，考查學(xué)生閱讀資料、 提取信息、建立數(shù)字模型的能力，考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.解：（I）我們有（II）反復(fù)使用上述關(guān)系式，得在式兩端同乘1+r,得一，得2. 解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下而論證的已知條件，在后而求解 的過程中適時(shí)應(yīng)用.考點(diǎn)6等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的理解與應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要深刻理解，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù). 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（），因此可以改寫為是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.例1 0.（200 7年廣東卷理）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和S n二n 29n,第k項(xiàng)滿足5 ak 8

15、 ,則2 A. 9，B. 8Q74）. 6思路啟迪:本小題主要考查數(shù)列通項(xiàng)和等差數(shù)列等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問題和 解決問題的能力.解:此數(shù)列為等差數(shù)列，由52k-102）個(gè)不同數(shù)的排列P 1 P2-Pn中，若1 WiVj Wm時(shí)Pi Pj （即前而某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的總 數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列的逆序數(shù)為an,如排列2 1的逆序數(shù)，排列321的逆序 數(shù).求a4、a 5,并寫出an的表達(dá)式； 命題目的：考査排列、數(shù)列知識(shí).過程導(dǎo)引：由已知得，例15.設(shè)是定義在上的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù).已知對(duì)于任意正數(shù)，都有，且.（I）求，并求的值；（II）

16、令，證明數(shù)列是等差數(shù)列；（III）設(shè)是曲線在點(diǎn) 處的切線的斜率（），數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.思路啟迪:根據(jù)已知條件求岀函數(shù)的關(guān)系式，求岀的遞推關(guān)系式然后可求解題中要求. 解答過程：（1）??；再取，則,或一 1 （舍去）.（II）設(shè)，則，再令即或，又，則，由，所以是等差數(shù)列.(3) 由(2)得則所以；又當(dāng)時(shí)，則，故.例16. ( 2 007年廣東卷理)已知函數(shù)，是方程f(x)= 0的兩個(gè)根，是f(x)的導(dǎo)數(shù);設(shè)，(n= 1 , 2,)(1) 求的值；(2) 證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,都有 a：(3) 記(n= 1 , 2,),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S n .思路啟迪：(1)注意應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系求的值

17、；(2)注意先求；(3)注意利用 的關(guān)系.解：(1)，是方程f(x)=0的兩個(gè)根，(2) ,=,V ，:由基本不等式可知(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，同，樣,，(n二1,2,).(3) ，而，即，同理，又【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】一. 選擇題1已知 a 是等比數(shù)列，且a 0, a a +2 a a +a a =2 5，那么a + a的值等于 ( )A . 5B .10C. 15.D. 202. 在等差數(shù)列a 中，已知a +a +a +a+a二20，那么a等于()A. 4B.5C.6 D7.o3. 等比數(shù)列an的首項(xiàng)al二-1,前n項(xiàng)和為Sn,若，則Sn等于()3oC2aD一24. 已知二次函數(shù)y= a (

18、a+1) x2- (2a+l) x+ 1,當(dāng)a=l, 2,n,時(shí),其拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)依次為dl, d2,dn,，則(dl+ d 2+d n )的值是()A. 1 o o B 2 oo C 3。 g D. 4二. 填空題5. 已知a, b, a+b成等差數(shù)列,a, b, ab成等比數(shù)列，且0logm( a b)0, S132,nGN*). 試問當(dāng)m為何值時(shí)，成立？18. 已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，bl = l , b l+b2+-+bl0= 1 45.求數(shù)列bn的通項(xiàng)bn;(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an二log a (1+ )(其中a0且aH 1 ),記Sn是數(shù)列an的前n 項(xiàng)和,試比較Sn

19、與1 oga b n+ 1的大小，并證明你的結(jié)論.19. 某公司全年的利潤(rùn)為b元，英中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下:首先將 職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元,然后再 將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公 司發(fā)展基金.(1) 設(shè)&1a k+l(k=l, 2,，n-l),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；(3) 發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為Pn(b),對(duì)常數(shù)b,當(dāng)n變化時(shí)，求Pn (b).【參考答案】一. 選擇題1解法一：因?yàn)閍 是等比數(shù)列，設(shè)a 的公比為q,由a 0知q0,因 aa+2aa

20、 + aa =2 5 ,所以，a q a q+2aqa q +a q a q =2 5 ,即a q (1+ q ) =25, a q (1+ q ) =5,得a + a = a q +a q = a q (1+ q )=5故選擇答案A 解法二:因a 是等比數(shù)列，a a = a ,a a二a ,原式可化為 a +2 a a + a =25,即(a 4- a ) =25.因a 0 ,a+a=5,故選擇答案A2.解法一:因?yàn)閍 是等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a,公差為d,由 l!知 a + a +a +a +a = 20 有 5 a + 1 0d =2 0,a +2 d = 4,即a = 4.故選擇答案A.

21、解法二:因a 是等差數(shù)列，所以a + a = a + a =2 a ,由已知a +a+a +a =20 得 5 a = 20, a = 4 故選擇答案A3. 解析:利用等比數(shù)列和的性質(zhì).依題意，而al = 1,故qHl,，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知S5, S10-S5, S15-S10,，也成等比數(shù)列，且它的公比為q5, /. q5=，即 q二一 故選擇答案B.4. 解析:當(dāng) a=n 時(shí) y 二n(n+l) x 2 (2 n +1)x+1由 i x 1 -x 2 =,得 dn=,dl+d2+dn故選擇答案A.二、5 .解析：解出a、b,解對(duì)數(shù)不等式即可. 故填答案：(一 8, 8 )6 .解析:利用S

22、奇/S偶二得解.故填答案:第11項(xiàng)al 1=29.故填答案：1+ .8. 解析：由題意所有正三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成等比數(shù)列an,可得an=,正三角形的內(nèi)切圓構(gòu) 成等比數(shù)列rn,可得rn= a,這些圓的周長(zhǎng)之和c二2n (rl+r2+ r n) = a 2,而積之和S 二 n (n24- r22+-+r n2)= a2故填答案:周長(zhǎng)之和na,而積之和a29. 解析:第一次容器中有純酒精a-b即a (1-)升，第二次有純酒精a(l )-，即a(l-)2升，故第n次有純酒精a(l- ) n升.故填答案：a (1- )n1 0.解析:從2001年到2 0 05年每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以959 3 3為首項(xiàng)，

23、以7. 3%為公比的等比數(shù)列，Aa 5 =9 5 933(1+7. 3%) 4 =1 200 00(億元).故填答案：1 2 00 0 0.三、1 1.解:因?yàn)閍 為等比數(shù)列，所以S , S -S , S -S是等比數(shù)列.即 5, 15- 5 , S -1 5 是等比數(shù)列，得 5(S-15)=10, S =35.12.解:設(shè)等差數(shù)列a 共有2n-l項(xiàng),S=80, S二75,則=二二，得n二16,所以2 n-1=2X16-1=31即此數(shù)列共有3 1項(xiàng).又由a 的項(xiàng)數(shù)為2n-l,知英中間項(xiàng)是a，故a二S -S =80-7 5=5,a =5.13. 解：設(shè)等差數(shù)列a 中，前m項(xiàng)的和為S ,其中奇數(shù)項(xiàng)之和為S，偶數(shù)項(xiàng)之和為S ,由 題意得 S 二77, S =33, S = S -S 二 44,令