第三章模糊邏輯

1、模糊信息處理一一理論與應(yīng)用第三章模糊邏輯3.1模糊邏輯代數(shù)的基本知識、布爾代數(shù)和德摩爾根代數(shù)邏輯代數(shù)是布爾(G. Boole)為把邏輯思維數(shù)學(xué)化而創(chuàng)立的一門學(xué)科，因此邏輯代數(shù)也叫布爾代數(shù)。定義3.1.1 一個集合L ,如果在其中定義了兩種運(yùn)算V和人，具有下列性質(zhì)：(P1)幕等律 對任意a L，有a Va =:aa A a = a(P2)交換律對任意a ,p L有a Vp =pV aa Ap = p A(P3)結(jié)合律對任意a ,p , y L 有(aVB) V百 a V( BVY( aAp) A=aA( pAy)(P4)吸收律(aVp) Ap= p(aAp) V p= p則稱L是一個格，記作L=

2、 (L, V, A。記普通關(guān)系 w為L中的偏序，它定義為aWp? aVp= p(3.1)設(shè)A? L ,對任意a A ,若存在pL，使a<p，則稱p為A的上界。如果P是A的 上界中最小的一個上界，則稱p為A的上確界，記為伍=sup a | a A 或 p0 = ya(3.2)若存在yL，使丫W(wǎng)a,則稱丫為A的下界。如果 y是A的下界中最大的一個下界，則稱 y 為A的下確界，記為Y = i nfa| a A或 y = A(3.3)關(guān)于兩個元素a和p的上確界記為aVp，下確界記為a Apo定義3.1.2 設(shè)(L, V A是一個格，如果它還滿足如下性質(zhì):(P5) 分配律(aVB)人丫= (aAY

3、 V( "Y (aA B) Vy = (aVY A( BVY則稱(L, V, A是一個分配格。定義3.1.3設(shè)(L, V A是分配格，在L中存在兩個元素，記為0和1，以及存在運(yùn)算44模糊信息處理一一理論與應(yīng)用對？ a L，滿足：(P1) 么元律a V1 1 a A1 aaV0 = a a A0 = 0分別稱0、1為最小、最大元。(P2) 復(fù)原律(P3)(ac)c = a補(bǔ)余律aV ac =1aA ac = 0則稱(L, V, A,c)是一個布爾代數(shù)。(0,1, V, Ac) 是- 一個布爾代數(shù)。此處L = 0,1是二值，稱為二值布爾代數(shù)，且aVp = max (a, B)， a A

4、B = min (a, B)， ac = 1- a (3.4)定義3.1.4 設(shè)(L, V A是分配格，有最小元素0和最大元素1。對？ a L，若存在運(yùn)算c使?jié)M足：(P1)復(fù)原律CC(a ) = a(P2)德.摩爾根(De-Morgan )律(A VB)c =:Ac ABc(A AB)c =:Ac VBc則稱(L, V, A,c)為德摩爾根代數(shù)，或稱為軟代數(shù)。布爾代數(shù)和德.摩爾根代數(shù)的區(qū)別在于前者滿足補(bǔ)余律，而后者不滿足補(bǔ)余律。(0,1, V, Ac) 是一 一個De-Morgan代數(shù)，但并非布爾代數(shù)，V, A, c仍按(3.4)定義。此時,補(bǔ)余律不再成立，例如0.8 V(0.8)c = 0.

5、8 勺0.8 人(0.8=0.2 工0集合論和數(shù)理邏輯在某些方面是等價的。設(shè)P(A)是普通集合 A的幕，U、I、c分別是集合的并、交、補(bǔ)運(yùn)算。P(A)的特征函數(shù)構(gòu)成 ， 故(P(A)，U，I，c)是布爾代數(shù)。人們?nèi)粢兄埔环N帶有目的性的自動機(jī)器時，必須考慮到人類思維的邏輯特性和規(guī)律，并要將 其加以形式化，以便為機(jī)器所能夠接受。二值邏輯中一個命題只能取“1”(真)和“ 0”(假)，這對于機(jī)器模擬人的思維是不夠的。因?yàn)榭陀^事物并非是絕對化的，在真、假之間還有很多過 渡中介狀態(tài)，這就是所謂的模糊性。設(shè)F (x)表示論域X上模糊集合的全體，U，I，c分別是模糊集合的并、交、補(bǔ)運(yùn)算。F (x)的隸屬度構(gòu)

6、成0,1，故(F (x)，U，I，c)是De-Morgan代數(shù)，但不是布爾代數(shù)。由于De-Morgan代數(shù)拋棄了補(bǔ)余律，它反映了事物的中介屬性。二、模糊邏輯公式令x1,x2,.,xn是一組取值于0,1區(qū)間的變量。我們用符號 xi，+，?，-來構(gòu)成模糊邏輯系 統(tǒng)，+， ?，稱為邏輯運(yùn)算?！?+”表示取最大值，“?”表示取最小值，“ ”表示“用1減去”?！?？ ”通?？墒÷圆粚憽６x3.1.5模糊邏輯公式是指如下映射：F:0,1n - 0,1(3.5)它的表達(dá)式僅由xi(i=1,2,L ,n), +, ?, 以及括號所組成。簡稱為 f-公式。f -公式應(yīng)滿足：1o 0是f-公式；2° 1

7、是f -公式；3o模糊變量x是f -公式；4°若F是f -公式，則F也是一個f -公式；5o若F、G是f -公式，則F + G , F ?G也是f -公式；6° f -公式僅限于1o5o給出的那些。例如，1, F , F , F +G , F + F ?G都是f -公式，但F + G , F +?G等都不是f -公式。f -公式是布爾代數(shù)的一種推廣，它滿足除補(bǔ)余律 F +F =1, F ? F =0以外的全部布爾代數(shù)公理的要求。因此，模糊邏輯的代數(shù)模型是De-Morgan代數(shù)。 給定各xi以具體數(shù)值(簡稱變量賦值)，任一 F F (全體f -公式的集合)都有定值 T(F)。

8、 T(F)稱為F的真值，T稱為真值函數(shù)；T : F 0,1(3.6)T(F)具有如下性質(zhì)：(P1)T(F)=1-T(F);(P2)T(F+G)= max(T(F),T(G);(P3)T(F?G)：= min (T(F),T(G).在研究模糊邏輯公式時，我們常利用真值表，表中列出了該邏輯式所含諸變元的全體取值組以及邏輯式的相應(yīng)值。對于模糊邏輯公式來說，由于每一變量可取的值有無窮多種，這樣的 真值表將無法做出，但是我們?nèi)匀豢梢杂帽砀竦男问絹砻枋瞿：壿嫻降奶卣?。不過這種表 與傳統(tǒng)的真值表不同， 在這種表中我們對模糊變量x以及其否定X的大小次序的所有可能都加以討論。例3.1.1對于含單變量 x的模

9、糊邏輯公式，我們應(yīng)對x >x和x <x兩種情況加以討論。令F二x + x ,設(shè)x取值T(x),則T(F)的計算結(jié)果如表 3.1.1所示。表中T(x) =1- T(x)。表 3.1.1x取值關(guān)系T(F)T(x) <T(x)T(x)T(x) <T(x)1-T(x)例3.1.2當(dāng)模糊邏輯公式含有兩個變量x和y，我們應(yīng)分以下8種情況來考慮x <y <y <xx <y <y <xx <y <y <xx <y <y <xy <x <x <yy <x <x <yy <x

10、<x <yy <x <x <y設(shè)F = (x+y) ?(x+y) , x取值T(x) , y取值T(y)，則T(F)如表3.1.2所示。表中T(X)=1-T(x) , T(y) = 1-T(y)。當(dāng)模糊邏輯公式含有 3個以上的模糊變量時，可按類似的方法計算T(F)。表 3.1.2模糊變量取值關(guān)系T(x+y)T(x + y)T(F)T(x) <T(y) <T(y) <T (x)T(x)1-T(y)1-T(y)T(x) <T(y) <T (y) <T (x)T(x)1-T(y)1-T(y)T(x) <T(y) <T(y)

11、 <T (x)T(y)1-T(x)T(y)T(x) <T(y) <T(y) <T (X)T(y)1-T(x)T(y)T(y) <T(X) <T (x) <T(y)T(y)1-T(x)1-T(x)T(y) <T(x) <T (x) <T(y)T(y)1-T(x)1-T(x)T (y) <T (x) <T (x) <T (y)T(x)1-T(y)T(x)T(y) <T(x) <T (x) <T (?)T(x)1-T(y)T(x)3.2模糊邏輯函數(shù)的分解和合成我們把模糊邏輯公式表達(dá)的函數(shù) F(X|丄，Xn

12、)叫做模糊邏輯函數(shù)，把變量Xi及其否定X,叫 做單字。一個單字以 Li表示。若干個單字的邏輯和 (L! +L + Lp)叫做字句，記為c。若干個單 字的邏輯積(J?. ?LP)叫做字組，記為？。二值布爾邏輯代數(shù)可以用二值邏輯網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)。同樣的，模糊邏輯函數(shù)也可以用模糊邏輯 網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)。在處理模糊邏輯函數(shù)時，沒有二值邏輯函數(shù)中“0 1”那樣的明確的決定構(gòu)造。為了解決這個問題， 可以在0,1閉區(qū)間把模糊邏輯函數(shù)劃分為有限個等級，而采用多值邏輯方法來處理模糊邏輯問題。設(shè)把0,1 閉區(qū)間分為N個等級：In I Im =(n Mm)(3.7)N- 10,1=UIn其中In = an> an+1 )

13、當(dāng) 0 句 <N - 2In =an,an+i當(dāng) n = N - 10 = a° < c1i < L < aN = 1例如，當(dāng)N = 3時，表示分為3級：第一級 10 = 0, a1)第二級I1 = a.|,a2)第三級I2 =C2,1我們討論兩類模糊邏輯函數(shù)問題，一類是分解問題，另一類是合成問題。一、分解問題對一切X1,X2丄,Xn，當(dāng)F(X1,X2,L ,Xn) lj0 <j <N- 1(3.8)時，就說F屬于第j級。分解問題就是要找出模糊邏輯函數(shù)屬于第j級的條件。在討論分解問題時，我們考慮模糊邏輯函數(shù)的兩種基本形式。第一種稱之為模糊析取范式，

14、它用字組？匚表示為F =?1 +L +?PP >1(3.9)第二種稱之為模糊合取范式，它用字句g表示為F = q ?_ EpP >1(3.10)任何模糊邏輯函數(shù)都可以用這兩種范式表示。我們結(jié)合實(shí)例來對分解問題加以討論。例3.2.1模糊析取范式情況。 設(shè) F (x, y, z)二 x ?y ?z + x?z ,求 F (x, y, z)屬于第 j 級的條件。求F屬于第j級的條件，也就是求aj<F<aj+1的條件，即：當(dāng)aj<F<aj+1時，模糊變量x, y,z應(yīng)在什么范圍內(nèi)取值才合適？從aj <F (x, y, z)，我們得到aj <x ?y ?z

15、或aj <x?z又從F (x, y, z) < aj+i，我們得到aj+i > x?y ?z且aj+i > x?z進(jìn)一步分解可得到 F屬于第j級的條件為下述兩組條件不等式必須同時得到滿足:第一組X z ? ? ?> 1 - aj+1 或>1 - aj+1或< aj+i?< aj+i或?x>1- aj+i例322模糊合取范式情況。設(shè) F(x, y,z) = (x+ y)qx + y + z)，求F(x, y, z)屬于第j級的條件。類似于上面的分析，從 aj <F < aj+i我們得到aj <(x+y)與 aj <(x

16、 + y + z)以及aj+i > (x+ y) 或 aj+i >(x + y+z)由此可得，F(xiàn)屬于第j級的條件為模糊變量 x, y, z必須同時滿足下述兩組條件:第一組?x <1 - aj第二組aj或<1? ?>aj或z >aj?x < aj+1? 與或?y >1- aj+1?x > 1- aj+1 ?y?< aj+i與?z<aj+i由上述二例，對于模糊邏輯函數(shù) F和F屬于第j級的條件不等式的關(guān)系，可以歸納出入下法則：（1） 在第一組條件中，聯(lián)系于不等號（»的單字在F中是肯定形式（x,y,z等），聯(lián)系 于不等號（O的

17、單字在F中是否定形式（X,y,z等）。（2）在第一組條件中，“與”對應(yīng)于F中的邏輯乘（？）, “或”對應(yīng)于F中的邏輯加（+ ）。（3） 在第二組條件中，聯(lián)系于不等號（）的單字在F中是否定形式（x,y,Z等），聯(lián)系 于不等號（ ）的單字在F中是肯定形式（x, y,z等）。（4） 在第二組條件中，“與”對應(yīng)于F中的邏輯加（+ ）, “或”對應(yīng)于F中的邏輯乘（？）。 作為上述法則的應(yīng)用，我們來討論下述的例子，例 3.2.3設(shè) F （x, y, z, w） = x?y ?（z +w） + x?y + z?w。為了求出 F 屬于第 j 級的條件，我們可以先把 F展開成模糊析取范式，然后運(yùn)用上書法則。根據(jù)

18、法則（1）和（2）,我們得到第一組條件式為aJy z ? ? ? ? e? ? ? ? o?.?x >aj?與或?y wi- aj?z <1- aj?與?與?、?w >aj根據(jù)法則 和(4),我們得到第二組條件式為?x >1 - aj+1或j+ioof.z>1- aj+i?x > 1- aj+1?或?y < aj+1? 或?w< aj+1?x<+1?z>1- aj+1? 、？ 、與 ?或與? 或?y>1-aj+1?w< aj+1、合成問題模糊邏輯函數(shù)的合成問題是上述分解問題的逆問題。當(dāng)已給出模糊變量的取值范圍，求滿 足給定

19、條件的模糊邏輯函數(shù)的問題就是逆問題。我們?nèi)越Y(jié)合具體例子來對此加以討論。53模糊信息處理一一理論與應(yīng)用第一組?x <3?x旳?與? 與?y迪?與或?y也?與? 丿?z迪例3.2.4設(shè)模糊變量x, y, z滿足如下兩組條件:(3.11)第二組?x<b6?或?x>b8?或?y <b9與? .?y > b7?或?z<bic(3.12)54模糊信息處理一一理論與應(yīng)用55模糊信息處理一一理論與應(yīng)用現(xiàn)在我們來合成模糊邏輯函數(shù)F (x, y, z)。要求aj <F (x, y, z) < aj+1。合成問題可以方便地用已給出的4條法則來求解。F = x'

20、?y+x ?y ?z/z(3.13)式(3.13)要求由第一組條件，根據(jù)法則(1)和(2)可以推斷出滿足 F >引的函數(shù)形式為?x? 與與?'?y <1- aj?x <1- aj ?與? ”?y訶?與?z >aj(3.14)把式(3.11)和式(3.14)相比較，得到? ' k aj?x = k1x = x ?b? '1 - a：?y =k?y =yb21 - a：x = k3x =xb3a jy = k4y = yb4a jz =ksZ= zb5(3.15)由式(3.13)和(3.15)可知，滿足 F(x,y,z) <aj+1的函數(shù)為:F

21、 (x, y,z) = (k/) ?2可 + (k3x) qk4y)?(k5z)(3.16)同理可據(jù)第二組條件以及法則(3)和(4)構(gòu)造出滿足F (x, y, z) < aj+1的函數(shù)為:F2(x, y, z) = (k6x)?；k7y) +(k8x)?(k9y)?(k10z)(3.17)其中56模糊信息處理一一理論與應(yīng)用57模糊信息處理一一理論與應(yīng)用3+1Jaajby1+1JaD9)789 k k k?ko#模糊信息處理一一理論與應(yīng)用#模糊信息處理一一理論與應(yīng)用我們可以用模糊邏輯網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)F1(x, y, z)和 F2 (x, y, z),并進(jìn)而實(shí)現(xiàn) F (x, y, z)使之#模糊信

22、息處理一一理論與應(yīng)用#模糊信息處理一一理論與應(yīng)用滿足 aj <F < aj+1。#模糊信息處理一一理論與應(yīng)用#模糊信息處理一一理論與應(yīng)用3.3模糊推理模糊命題經(jīng)典的命題是指由確定的陳述語句所表達(dá)的含義。一個命題體現(xiàn)一定的思想內(nèi)容。同時命題的表達(dá)要借助于語句。命題常用大寫字母P,Q以及A , B , C，表示。例如，下述 3個命題都是經(jīng)典命題，它們或者是成立的（叫做真命題），或者是不成立的（叫做假命題）。P : 3、5和7都是奇數(shù)Q : 6被2整除A: 3是偶數(shù)當(dāng)命題P是真時，則規(guī)定P取1值，記作P = 1;否則規(guī)定P取0值，記作P = 0。這里0,1叫做命題的真值。例如，上述命題P

23、和Q為真，而命題 A為假，所以P = 1, Q=1，而A=0。命題運(yùn)算，是指用一個或多個命題構(gòu)成一個新命題的法則。在命題運(yùn)算中，字母P , Q,A，叫做命題變項(xiàng)，而 0,1叫做常項(xiàng)。命題的否定記為 P c，兩命題的析取記為 P VQ , 兩命題的合取記為 P AQ。這3種命題運(yùn)算的真值表為PQP VQPQ00000011011011011111P AQ00014條基本運(yùn)算規(guī)律。上述3種命題運(yùn)算滿足交換律、分配律、么元律和互補(bǔ)律這經(jīng)典邏輯代數(shù)中所說的命題，或者是真的，或者是假的，二者必居其一。但是，現(xiàn)實(shí)生活 中的很多命題，卻沒有絕對的真或假。例如，考察如下命題：這棵樹比那棵樹高一些。天津到北京不

24、算遠(yuǎn)。這個城市很大。、“不算遠(yuǎn)”、“很大”等含義不確定的模糊詞項(xiàng)。在這些命題中，出現(xiàn)了“高一些”模糊命題是指由具有模糊性的陳述語句所表達(dá)的含義。例如，以上3個命題都是模糊命題。模糊命題用符號 P，Q，以及A，B，C,.表示。模糊命題的真值已不能只取0,1二值。可以用閉區(qū)間0,1 的一個數(shù)值來表示模%命題的真值。P = 1表示命題P完全真，P = 0表示命題P完全假，真假程度。% % %P越靠近1貝愉題P真的程度越高。也就是說，真值的大小表征了模糊命題的% %模糊命題的真值可以和隸屬函數(shù)相聯(lián)系。以“年輕人”為例，所對應(yīng)的是一個模糊集合。 設(shè)P :小強(qiáng)是個年輕人。%模糊命題的運(yùn)算也就是隸屬函數(shù)的運(yùn)

25、算。3種基本的模糊命題運(yùn)算為若小強(qiáng)對于“年輕人”的模糊集合的隸屬度為0.8，則命題P的真值是0.8。59模糊信息處理一一理論與應(yīng)用#模糊信息處理一一理論與應(yīng)用PC =1- P% %P VQ = max(P,Q)(3.19)% % %P AQ = min(P,Q)% % %當(dāng)局限P和Q只取0 , 1二值時，式(3.19)的運(yùn)算結(jié)果也就和經(jīng)典命題的否定、析取、合 % %取的真值表相同。模糊命題這3種基本運(yùn)算實(shí)質(zhì)上是經(jīng)典命題運(yùn)算的擴(kuò)展。以上所述的模糊命題真值取為0, 1中的一個點(diǎn)，我們稱這種真值為數(shù)值真值。模糊命題的真值也可以用語言真值來表示。我們將在第四章中對語言真值進(jìn)行討論。蘊(yùn)含式在經(jīng)典邏輯中，

26、蘊(yùn)含式系指由命題變項(xiàng)A, B通過“若A則B”形式構(gòu)成的命題式，記作A B，它的真值表為A B A B0 111 001 11由于“ A f B ”和“ Ac VB”的真值表相同，所以“ f ”也可以看成一種命題運(yùn)算，且A f B = Ac VB(3.20)上式又可表示為A f B = Ac VB A(Ac VB)(3.21)在人的自然語言中，“若A則B ”的表達(dá)法常被用到 A和B是模糊集合的情況上。例如陳述句“若小華生病則小華是虛弱的”，它可以縮寫為“生病f虛弱的”。在這種情況中，“生病” 和“虛弱的”實(shí)際上是模糊集合的名稱。再如，在談到“若西紅柿是紅的則西紅柿是熟的”時 的情況也一樣，“紅的

27、”和“熟的”起模糊集合的作用。可以把蘊(yùn)含式的概念推廣到模糊集合。令A(yù)是論域X中的模糊集合，B是論域丫中的模糊集合，將式(3.21)推廣到“若 A則B ”的情況，記作“ A f B ”，我們彳%到% % % %ccAf B = A VB A(A VA)(3.22)% % % % % %從上式又可得到A f B =(Ac AY) VB A(A VAc)% % % % % %=(Ac AB) V(Ac AB) V(Ac AY)% % % %= (Ac AB) V(Ac AY)% % f由此，我們合理的給出如下定義。定義3.3.1 表達(dá)式“若A則B ”是X XY中的一個模糊關(guān)系，它定義為% %Af B

28、 = (A AB) V(Ac AY)(3.23)% % % % %其中，A是論域X中的模糊集合，B是論域丫中的模糊集合。% %注意到“若A則B ”表示了 x與y之間的一種模糊關(guān)系，它是 X XY中的一個模糊集合， 式(3.23)給出的是它的隸屬函數(shù)的定義。為了明確起見，我們將式(3.23)寫為(Af B)(x,y) = (A(x) AB(y) VAc(x)(3.24)% % % % %因Y(y)恒為1,故在式(3.24)中略去。我們可以把“若因而，在式(3.23) 中,A則B ”理解為“若A則B否則不問”，亦即理解為“若若A則B否則丫 ”。% %定義3.3.2表達(dá)式“若A則B否則C ”是X X

29、Y中的一個模糊關(guān)系，它表示為% % %（A B,Ac C）=（A AB） V（Ac AC）（3.25）% % % % % % %其中A是論域X中的模糊集合，B和C是論域丫中的模糊集合。% % %為了明確“若 A則B否則C ”是X XY中的模糊集合，式（3.25）給出的是它的隸屬函% % %(3.26)數(shù)，類似于式（3.24）的表示方法有(A B, A C)(x, y) = (A(x) AB(y) V(Ac(x) AC(y)% % % %例 3.3.1作為“若A則B ”和“若A則B否則C”的實(shí)例，設(shè)% % %X=Y = 1 + 2 + 3+ 4A =小的=1/1 + 0.6/2%B=大的=0.6

30、/3 + 1/4%C =不大=1/1 + 1/2 + 0.4/3 %由式(3.24)我們有(A B)(1,1)= (1 A0) V(1- 1) = 0% %(A B)(1,2) = (1 A0) V(1- 1) = 0% %(A B)(1,3)= (1 A0.6) V(1- 1)=0.6 % %等等，并以矩陣表示如下：同理，據(jù)式（_J3.26 ）得到如下矩陣:?00 0.6 1 ?1?B = ?0.40.4 0.6 0.6?2% ? 11 11 ?3? 11 11 ?41234?0 00.61 ?1?0.4 0.40.60.6?2? 1 10.40 ?3? 1 10.40 ?41234C )=

31、%A %三模糊推理推理系指從一些已有的命題 A,A2,L , An出發(fā)，按一定的規(guī)則推出一個新命題B的過程。推理所依據(jù)的一些已有命題 （a, A2,L，代）叫做前提，推理依據(jù)已有命題所獲得的新命題（B ）叫做結(jié)論。傳統(tǒng)邏輯中一種基本推理規(guī)則是假言推理規(guī)則(又叫蘊(yùn)含詞消去規(guī)則)。按這一規(guī)則我們能夠從命題 A的真假和蘊(yùn)含式 A f B推斷出命題B的真假。例如設(shè) A f B = “若a是偶數(shù), 則a被2整除”，如果A =“ a是偶數(shù)”為真，則 B =“ a被2整除”也為真。對此我們可以 寫成豎式來表示，橫線上的命題是前提，橫線下的命題是結(jié)論。A f BAB然而，在人們的很多推理中，使用的是假言推理的

32、近似形式而不是它的精確形式，一般說來，我們知道的是： A f B和A',這里A, A和B都是模糊集合。我們欲求出前提是模糊 命題A f B和A'時的結(jié)論。為此我們首先%-般化假言推理作如下定義。% % %定義333 設(shè)A, A和B相應(yīng)是X , X和Y的模糊集合，A f B是X XY的模糊關(guān)系，一般化假言推理表述為% %B= Ao(Af B)(3.27)% % % %這里B'是丫中的模糊集合。 也可用豎式表示如A f B% %!A%A o ( A f B)式(3.27)的運(yùn)算是模糊關(guān)系的合成運(yùn)算。在X和Y為有限論域時，這一運(yùn)算就是第二章式(2.16)給出的矩陣最大最小積運(yùn)算，注意到這里應(yīng)取式(2.16)中的n值等于1。根據(jù)關(guān)系合成運(yùn)算的定義，可把式(3.27)寫作B B(y) = V?A '(x) A(A f B)(x, y)?(3.28)% ?% % % ?例3.3.2設(shè)X , Y , A , B和A f B如例3.3.1所述，并設(shè)% % % %A'=有點(diǎn)小=1/1 + 0.6/2 + 0.2/3%那么?000.61 ?%0 (%f?0.40 ?0.40.60.6?B )=10.60.2 0%? 110.40 ?110.40?=0.40.40.6 1運(yùn)算的結(jié)果可近似的理解