2015年考研數(shù)學二真題及答案

1、2015年考 研數(shù) 學一、選擇題：(18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。)(1)下列反常積分中收斂的是(A)-(B)一(C)(D)一【答案】Do【解析】題干中給出4個反常積分，分別判斷斂散性即可得到正確答案。因此(D)是收斂的。綜上所述，本題正確答案是Do【考點】高等數(shù)學一一元函數(shù)積分學一反常積分(2)函數(shù)在(-,+ )內(nèi)(A)連續(xù)(B)有可去間斷點(C)有跳躍間斷點(D)有無窮間斷點【解析】這是型極限，直接有在處無定義，且所以 是 的可去間斷點,選B。綜上所述，本題正確答案是B?！究键c】高等數(shù)學一函數(shù)、極限、連續(xù)一兩個重要極限、一 一 -&

2、#187; k -設(shè)函數(shù)，().若在處連續(xù)，則(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】易求出 ，再有不存在，于是， 存在 ，此時.當 時，一 ，不存在，因此， 在 連續(xù)。選A綜上所述，本題正確答案是C?！究键c】高等數(shù)學一函數(shù)、極限、連續(xù)一函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)的左極限和右極限設(shè)函數(shù)在(-,+ )內(nèi)連續(xù)，其建二階導函數(shù)的圖形如右圖所示，/則曲線的拐點個數(shù)為A o/B1(A)(B)'(C)(D)【答案】C【解析】在(-,+ )內(nèi)連續(xù)，除點外處處二階可導。的可疑拐點是的點及 不存在的點。的零點有兩個，如上圖所示，A點兩側(cè) 恒正，對應(yīng)的點不是 拐點，B點兩側(cè) 異號，對應(yīng)的點就是的拐點。雖然不存

3、在，但點兩側(cè) 異號，因而()是的拐點。綜上所述，本題正確答案是Co【考點】高等數(shù)學一函數(shù)、極限、連續(xù)一函數(shù)單調(diào)性，曲線的凹凸性和拐點設(shè)函數(shù) 滿足 -，則一與一依次(A) -(B) -(C) -(D)-【答案】D【解析】先求出令 一 二于是 因止匕綜上所述，本題正確答案是 Do【考點】高等數(shù)學-多元函數(shù)微分學-多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分(6)設(shè)D是第一象限中由曲線與直線一圍成的平面區(qū)域，函數(shù) 在D上連續(xù)，則(A)二二(B)(C)二二(D)-【答案】B【解析】D是第一象限中由曲線與直線圍成的平面區(qū)域，作極坐標變換，將化為累次積分。D的極坐標表示為因此綜上所述，本題正確答案是 B。【考點】高等數(shù)學一多

4、元函數(shù)積分學一二重積分在直角坐標系和 極坐標系下的計算。設(shè)矩陣A=, b=。若集合，則線性方程有無窮多解的充分必要條件為(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】有無窮多解是一個范德蒙德行列式，值為，如果，則,此時有唯一解，排除(A),(B)類似的，若，則，排除(C)當時，有無窮多解綜上所述，本題正確答案是D【考點】線性代數(shù)-線性方程組-范德蒙德行列式取值，矩陣的秩, 線性方程組求解。,若Q=在正交變換(B)(D)A則(8)設(shè)二次型在正交變換下的標準形為，其中下的標準形為(A)(C)【答案】A【解析】設(shè)二次型矩陣為可見都是A的特征向量，特征值依次為2,1,-1，于是-也是A的特征向量，特征值為

5、-1,因此因此在正交變換下的標準二次型為綜上所述，本題正確答案是A?！究键c】線性代數(shù)-二次型-矩陣的秩和特征向量，正交變換化二次 型為標準形。二、填空題：()小題，每小題4分，共24分。(9)設(shè)則【答案】48【解析】由參數(shù)式求導法再由復合函數(shù)求導法則得綜上所述，本題正確答案是48?！究键c】高等數(shù)學-一元函數(shù)微分學-復合函數(shù)求導(10)函數(shù)在 處的n階導數(shù)【答案】【解析】解法1用求函數(shù)乘積的階導數(shù)的萊布尼茨公式在此處鍵入公式。其中 注意，于是因此解法2利用泰勒展開由于泰勒展開系數(shù)的唯一性，得 可得綜上所述，本題正確答案是【考點】高等數(shù)學一一元函數(shù)微分學一高階導數(shù)，泰勒展開公式(11) 設(shè)函數(shù)連續(xù)

6、，. 若=1，【答案】 2【解析】改寫, 由變限積分求導法得由 =1=，可得綜上所述，本題正確答案是2【考點】高等數(shù)學一元函數(shù)積分學變限積分函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(12) 設(shè)函數(shù)是微分方程的解， 且在處取得極值3，則=【答案】【解析】求歸結(jié)為求解二階常系數(shù)齊次線性方程的初值問題，由特征方程可得特征根， ，于是得通解又已知，綜上所述，本題正確答案是(13) 若函數(shù)由方程確定，則【考點】高等數(shù)學常微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程【答案】-【解析】先求 ，在原方程中令得方程兩邊同時求全微分得令得綜上所述，本題正確答案是-【考點】高等數(shù)學-多元函數(shù)微分學-隱函數(shù)的偏導數(shù)和全微分(14)設(shè)3階矩陣A的特征值為2

7、,-2,1 ,，其中E為3階單位矩陣，則行列式| B =【答案】21【解析】A的特征值為2,-2,1,則B的特征值對應(yīng)為3,7,1所以|B|二21【考點】線性代數(shù)一行列式一行列式計算線性代數(shù)一矩陣一矩陣的特征值三、解答題：小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15)設(shè)函數(shù)在時是等價無窮小，求的值【解析】利用泰勒公式當 時,【考點】高等數(shù)學一函數(shù)、極限、連續(xù)一無窮小的比階，泰勒公式(16)設(shè)A>0,D是由曲線段-及直線圍成的平面區(qū)域，分別表示D繞 軸與繞 軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。若，求A的值【解析】由A>0可得可得A=【考點】高等數(shù)學一一元函數(shù)積分學一定積分的應(yīng)用

8、(17)已知函數(shù) 滿足的極值【解析】由，得又已知可得得，從而對積分得又，所以所以于是，二2令，得駐點(0,-1)，所以A二B二C二由于，所以極小值為【考點】高等數(shù)學一多元函數(shù)微分學一二元函數(shù)的無條件極值(18)計算二重積分，其中D二【解析】因為區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，所以=0原式二，則又-所以二重積分=-【考點】高等數(shù)學一多元函數(shù)積分學一二重積分的計算(19)已知函數(shù)，求 的零點個數(shù)【解析】,令，得駐點 -,當-時，,單調(diào)減少；當-時，,單調(diào)增加；因為，所以在-上存在唯一零點。又一，存在唯一零點。,所以 在 ，-上綜上可知，有且僅有兩個零點?！究键c】高等數(shù)學一一元函數(shù)微分學一方程的根(零點問題)(

9、20)已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時刻改物體溫度對時間的變化率與該時刻物體和介質(zhì)的溫差成正比?，F(xiàn)將一初始溫度為120c 的物體在20c恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體降溫至30C,若要將該物體的溫度繼續(xù)降至21 C,還需冷卻多長時間？【解析】設(shè)該物體在t時刻的溫度為 ，由題意得其中k為比例系數(shù)，k>0.解得將初始條件T(0)=120代入上式，解得C=100將代入得 所以令T=21,得t=60,因此要降至21攝氏度，還需60-30=30 (min)【考點】高等數(shù)學一常微分方程一一階常微分方程，微分方程應(yīng)用(21)已知函數(shù) 在區(qū)間 上具有2階導數(shù)，設(shè) 曲線 在點()處的切線與軸的交點是(),證明【解析】曲線 在點()處的切線方程是,解得切線與軸交點的橫坐標為由于，故單調(diào)增加。由 可知又，故,即有由拉格朗日中值定理得因為，所以單調(diào)增加，從而由此可知，即綜上所述，【考點】高等數(shù)學一一元函數(shù)微分學一微分中值定理(22)設(shè)矩陣=,且(1)求的值；為三階單位(2)若矩陣滿足，其中矩陣，求【解析】(1) 由于 ，所以于是(2) 由于所以由知因為均可逆，所以【考點】線性代數(shù)一矩陣一矩陣方程(23) 設(shè)矩陣 =相似與矩陣=(1) 求