4-2葉果洛夫定理ppt課件

1、一致收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系一致收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系1.上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè) 主主 頁(yè)頁(yè)2022/2/142 函數(shù)逼近是分析及計(jì)算中十分重要的問(wèn)題，函數(shù)逼近是分析及計(jì)算中十分重要的問(wèn)題，它的本質(zhì)就是用它的本質(zhì)就是用“好好”的或的或“簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單”的函數(shù)去逼近的函數(shù)去逼近“壞壞”的或的或“復(fù)雜復(fù)雜”的函數(shù)，無(wú)論是用多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的函數(shù)，無(wú)論是用多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的的Weirstrass 定理，還有用三角級(jí)數(shù)逼近可測(cè)函數(shù)定理，還有用三角級(jí)數(shù)逼近可測(cè)函數(shù)的的Fourier分析都可歸類為逼近問(wèn)題由于收斂概分析都可歸類為逼近問(wèn)題由于收斂概念有多種，所以函數(shù)逼近相應(yīng)的也有多種含義；念有多種，所以

2、函數(shù)逼近相應(yīng)的也有多種含義；即即“一致逼近一致逼近”、“逐點(diǎn)逼近逐點(diǎn)逼近”、“幾乎處處逼近幾乎處處逼近”，后面我們還要介紹另一種收斂概念：后面我們還要介紹另一種收斂概念：“依測(cè)度收依測(cè)度收斂斂”，因此，又有，因此，又有“依測(cè)度逼近依測(cè)度逼近”的概念的概念 上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè) 主主 頁(yè)頁(yè)2022/2/143很自然地，有兩個(gè)問(wèn)題是必須考慮的：很自然地，有兩個(gè)問(wèn)題是必須考慮的：1、什么樣的函數(shù)可以用、什么樣的函數(shù)可以用“好好”的函數(shù)按某種收斂的函數(shù)按某種收斂意義逼近？意義逼近？2、幾種收斂性關(guān)系如何？、幾種收斂性關(guān)系如何？ 這正是本節(jié)要討論的內(nèi)容這正是本節(jié)要討論的內(nèi)容 關(guān)于第二個(gè)問(wèn)題，關(guān)于第

3、二個(gè)問(wèn)題，前面已作過(guò)初步討論，顯然前面已作過(guò)初步討論，顯然“一致收斂一致收斂”強(qiáng)于強(qiáng)于“處處處處收斂收斂”、“處處收斂處處收斂”強(qiáng)于強(qiáng)于“幾乎處處收斂幾乎處處收斂”本節(jié)則本節(jié)則是要考察反方向的結(jié)論幾乎處處收斂能否推出是要考察反方向的結(jié)論幾乎處處收斂能否推出一致收斂？當(dāng)然，一般情況下，這是做不到的一致收斂？當(dāng)然，一般情況下，這是做不到的上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè) 主主 頁(yè)頁(yè)2022/2/144例如，例如，f (x ) = xn 在在( 0, 1 ) 上處處收斂到上處處收斂到 0，但不，但不一致收斂到一致收斂到 0。然而，假如我們將。然而，假如我們將 1 的一個(gè)小鄰的一個(gè)小鄰域挖掉，即考慮區(qū)間域挖

4、掉，即考慮區(qū)間 ( 0, 1 ，則不管，則不管 多么多么小，小， xn 在在( 0, 1 上總是一致收斂到上總是一致收斂到 0 的這的這就是說(shuō)，可以將就是說(shuō)，可以將 (0, 1) 挖去長(zhǎng)度充分小的區(qū)間，挖去長(zhǎng)度充分小的區(qū)間，使使 xn 在剩下的集合上一致收斂對(duì)在剩下的集合上一致收斂對(duì) Rn 中一般可中一般可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，相應(yīng)的結(jié)論是否仍然正確測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，相應(yīng)的結(jié)論是否仍然正確呢？下面的呢？下面的 Egoroff 定理給出了一個(gè)肯定的回答定理給出了一個(gè)肯定的回答上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè) 主主 頁(yè)頁(yè)2022/2/145 定理定理 (EropoB , 1911年年) 設(shè)設(shè) mE ， fn

5、 是是 E 上上一列幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)；一列幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)； fn ( x ) f ( x ) a. e. 于于E ，且，且 | f ( x )| 0，存在，存在可測(cè)子集可測(cè)子集 E E , 使得使得 fn 在在E 上一致收斂于上一致收斂于 f ( x ) 且且().m EE 證證 由條件不妨設(shè)由條件不妨設(shè) fn ( x ) ，f ( x ) 都是有限函數(shù)，且都是有限函數(shù)，且lim( )( )0 .nnfxf x在在E 上幾乎處處成立即上幾乎處處成立即lim( )( )00 .nnm Efxf x而而111lim( )( )0|nnnkNn NEfxf xEffk 上一頁(yè)上一頁(yè) 下

6、一頁(yè)下一頁(yè) 主主 頁(yè)頁(yè)2022/2/146于是對(duì)任意固定的于是對(duì)任意固定的,kN由于由于kN11|0nNn NmEffk 111|,nnn Nn NEffEffkk 而而 m E 0 和任意正整數(shù)和任意正整數(shù) k, 存在存在 , 使使kNN上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè) 主主 頁(yè)頁(yè)2022/2/1471|2knkn NmEffk 令令11|knkn NEEffk 下證下證: fn 在在E 上一致收斂于上一致收斂于 f , 且且().m EE 由由11() (|)knkn Nm EEm EEffk 11|knkn NmEffk 11|knkn NmEffk 12kk 上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè) 主主

7、 頁(yè)頁(yè)2022/2/148由于由于1|( )( )|.nfxf xk ,kNN對(duì)任意對(duì)任意 0，存在，存在 k 使得使得 , 令令1k |( )( )|.nfxf x 對(duì)任意對(duì)任意 0, 存在正整數(shù)存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)使得當(dāng)n N 時(shí)時(shí), 對(duì)對(duì),xE 有有1|knn NEEffk 因此因此, 當(dāng)當(dāng)n N 時(shí)時(shí), 對(duì)對(duì),xE 有有所以所以 fn 在在E 上一致收斂于上一致收斂于 f .上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè) 主主 頁(yè)頁(yè)2022/2/149 葉果洛夫定理的逆定理葉果洛夫定理的逆定理 設(shè)設(shè) fn 是是 E 上一列上一列幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)；幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)； | f ( x )| 0，存在可測(cè)子集，存在可測(cè)子集 E E , M( E E ) ，使得，使得 fn 在在E 上一致收斂于上一致收斂于 f ( x ) 則則. .nff a eE于于注：當(dāng)注：當(dāng) 時(shí)，時(shí)，葉果洛夫定理不成立，但葉果洛夫定理不成立，但mE mE 無(wú)論無(wú)論 或或 其逆定理都成立其逆定理都成立.mE 上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè) 主主 頁(yè)頁(yè)2022/2/1410證明：由條件知證明：由條件知 1n , ,存在可測(cè)集存在可測(cè)集 ,nEE 使使 1()nm EEn且且 在在 上一致收斂于上一致收斂于 , ,于是于是 nfxnE( )f x nfx1nnEE