第6章分支限界法

1、第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍第六章 分支限界法第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍第六章 分支限界法本章主要知識(shí)點(diǎn)本章主要知識(shí)點(diǎn) 6.1 分支限界法的基本思想 6.2 單源最短路徑問題 6.3 裝載問題 6.4 布線問題 6.5 01背包問題 6.6 最大團(tuán)問題 6.7 旅行售貨員問題 6.8 電路板排列問題 6.9 批處理作業(yè)調(diào)度第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.1分支限界法的基本思想1. 分支

2、限界法與回溯法的不同（1）求解目標(biāo)：回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。 （2）搜索方式的不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹。 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.1分支限界法的基本思想2. 分支限界法基本思想 分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。 在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)

3、點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。 此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過程。這個(gè)過程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.1分支限界法的基本思想3. 常見的兩種分支限界法（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法 按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。 （2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法 按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)

4、點(diǎn)。第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.2單源最短路徑問題1. 問題描述 下面以一個(gè)例子來說明單源最短路徑問題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.2單源最短路徑問題 下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法

5、分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.2單源最短路徑問題2. 算法思想 解單源最短路徑問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。 算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四

6、川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.2單源最短路徑問題3. 剪枝策略 在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹。 在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹剪去。 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.2單源最短路徑問題 while (true) / 搜索問題的解空間 for (int j=1;j=n;j+) if(aenode.ij

7、Float.MAX_VALUE & enode.length+aenode.ij distj) / 頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束 distj=enode.length+aenode.ij; pj=enode.i; HeapNode node = new HeapNode(j,distj); heap.put(node); / 加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列 if (heap.isEmpty() break; else enode = (HeapNode) heap.removeMin(); 頂點(diǎn)頂點(diǎn)I I和和j j間有邊，且此間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從原點(diǎn)路徑長(zhǎng)小于原先從原點(diǎn)到到j(luò) j的路徑長(zhǎng)的路

8、徑長(zhǎng) 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.3 裝載問題1. 問題描述有一批共n個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且211ccwnii裝載問題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。 容易證明：如果一個(gè)給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。 (1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.3 裝載問題2.

9、 隊(duì)列式分支限界法 在算法的while循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。 活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.3 裝載問題

10、2. 隊(duì)列式分支限界法while (true) if (ew + wi = c) enQueue(ew + wi, i); / 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) enQueue(ew, i); /右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的 ew = (Integer) queue.remove().intValue(); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) if (ew = -1) if (queue.isEmpty() return bestw; queue.put(new Integer(-1); / 同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志 ew = (Integer) queue.remove().intValue(); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) i+; / 進(jìn)入下一層

11、 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.3 裝載問題3. 算法的改進(jìn) 節(jié)點(diǎn)的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+rbestw時(shí)，可將其右子樹剪去，因?yàn)榇藭r(shí)若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。 另外，為了確保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹的時(shí)候更新bestw的值。第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.3 裝載問題3. 算法的改進(jìn)/ 檢查左兒子結(jié)

12、點(diǎn) int wt = ew + wi; if (wt bestw) bestw = wt; / 加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列 if (i bestw & i 0; j-) bestxj = (e.leftChild) ? 1 : 0; e = e.parent; 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.3 裝載問題5. 優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法 解裝載問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。 優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。

13、以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級(jí)。子集樹中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。 在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.4 布線問題算法的思想 解此問題的隊(duì)列式分支限界法從起始位置a開始將它作為第一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。與該擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰并且可達(dá)的方格成為可行結(jié)點(diǎn)被加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，并且將這些方格標(biāo)記為1，即從起始方格a到這些方格的距離為1。 接著，算法從活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

14、，并將與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰且未標(biāo)記過的方格標(biāo)記為2，并存入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列。這個(gè)過程一直繼續(xù)到算法搜索到目標(biāo)方格b或活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空時(shí)為止。即加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索。第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.4 布線問題Position offset = new Position 4;offset0 = new Position(0, 1); / 右offset1 = new Position(1, 0); / 下offset2 = new Position(0, -1); / 左offset3 = new Position(-1, 0); /

15、 上 定義移動(dòng)方向的定義移動(dòng)方向的相對(duì)位移相對(duì)位移 for (int i = 0; i = size + 1; i+) grid0i = gridsize + 1i = 1; / 頂部和底部 gridi0 = gridisize + 1 = 1; / 左翼和右翼 設(shè)置邊界的圍墻設(shè)置邊界的圍墻第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.4 布線問題for (int i = 0; i numOfNbrs; i+) nbr.row = here.row + offseti.row; nbr.col = here.col + offseti.c

16、ol; if (gridnbr.rownbr.col = 0) / 該方格未標(biāo)記 gridnbr.rownbr.col = gridhere.rowhere.col + 1; if (nbr.row = finish.row) & (nbr.col = finish.col) break; q.put(new Position(nbr.row, nbr.col); 找到目標(biāo)位置后，可以通過回溯方法找到這條最短路徑。第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.5 0-1背包問題 算法的思想 首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重

17、量?jī)r(jià)值從大到小進(jìn)行排列。 在下面描述的優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量?jī)r(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和。 算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它加入子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)為問題的最優(yōu)值。第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.5 0-1背包問題上界函數(shù)while (i = n & wi = cleft) / n表示物品總數(shù)，cle

18、ft為剩余空間 cleft -= wi; /wi表示i所占空間 b += pi; /pi表示i的價(jià)值 i+; if (i = n) b += pi / wi * cleft; / 裝填剩余容量裝滿背包return b; /b為上界函數(shù)第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.5 0-1背包問題 while (i != n + 1) / 非葉結(jié)點(diǎn) double wt = cw + wi; if (wt bestp) bestp = cp + pi; addLiveNode(up,cp + pi,cw + wi,i + 1, enode,

19、 true); up = bound(i + 1); if (up = bestp) /檢查右兒子節(jié)點(diǎn) addLiveNode(up,cp,cw,i + 1, enode, false); / 取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）分支限界搜索分支限界搜索過程過程第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.6 最大團(tuán)問題問題描述 給定無向圖G=(V，E)。如果UV，且對(duì)任意u，vU有(u，v)E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。 下圖G中，子集1，2是G的大小為2

20、的完全子圖。這個(gè)完全子圖不是團(tuán)，因?yàn)樗籊的更大的完全子圖1，2，5包含。1，2，5是G的最大團(tuán)。1，4，5和2，3，5也是G的最大團(tuán)。 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.6 最大團(tuán)問題2. 上界函數(shù) 用變量cliqueSize表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹中所處的層次；用cliqueSize +n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界upperSize的值。 在此優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，upperSize實(shí)際上也是優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級(jí)。算法總是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中抽取具有最大upperSize值的元素作

21、為下一個(gè)擴(kuò)展元素。 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.6 最大團(tuán)問題3. 算法思想 子集樹的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cliqueSize的值為0。 算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其他頂點(diǎn)之間是否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)之間都有邊相連，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，將它加入到子集樹中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列，否則就不是可行結(jié)點(diǎn)。 接 著 繼 續(xù) 考 察 當(dāng) 前 擴(kuò) 展 結(jié) 點(diǎn) 的 右 兒 子 結(jié) 點(diǎn) 。 當(dāng)upperSiz

22、ebestn時(shí)，右子樹中可能含有最優(yōu)解，此時(shí)將右兒子結(jié)點(diǎn)加入到子集樹中并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.6 最大團(tuán)問題 算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。 對(duì)于子集樹中的葉結(jié)點(diǎn)，有upperSizecliqueSize。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中剩余結(jié)點(diǎn)的upperSize值均不超過當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的upperSize值，從而進(jìn)一步搜索不可能得到更大的團(tuán)，此時(shí)算法已找到一個(gè)最優(yōu)解。 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍

23、算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.7 旅行售貨員問題1. 問題描述 某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。 路線是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。 旅行售貨員問題的解空間可以組織成一棵樹，從樹的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案

24、楊維劍6.7 旅行售貨員問題2. 算法描述 算法開始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。接著算法計(jì)算出圖中每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。 算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)行處理：第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.7 旅行售貨員問題 1、首先考慮s=n-2的情形，此時(shí)當(dāng)

25、前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。 2、當(dāng)sn-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x0:s，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)xs+1:n-1中選取的頂點(diǎn)xi，且(xs，xi)是所給有向圖G中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x0:s，xi)的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcostbestc時(shí)，將這個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)

26、教案 楊維劍6.7 旅行售貨員問題 算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)s=n-1時(shí)，已找到的回路前綴是x0:n-1，它已包含圖G的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)s=n-1時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的lcost值不小于已找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。 算法結(jié)束時(shí)返回找到的最小費(fèi)用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。 第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊

27、維劍6.8 電路板排列問題 算法描述 算法開始時(shí)，將排列樹的根結(jié)點(diǎn)置為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在do-while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中取出具有最小cd值的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。 首先考慮s=n-1的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。x表示相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的電路板排列。計(jì)算出與x相應(yīng)的密度并在必要時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)值和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解。 當(dāng)sn-1時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)node，計(jì)算出其相應(yīng)的密度node.cd。當(dāng)node.cdbestd時(shí)，將該兒子結(jié)點(diǎn)N插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理

28、工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.8 電路板排列問題算法描述do if (enode.s = n - 1) / 僅一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn) int ld = 0; / 最后一塊電路板的密度 for (int j = 1; j = m; j+) ld += board enode.xnj; if (ld bestd) / 找到密度更小的電路板排列 x = enode.x; bestd = Math.max(ld, enode.cd); S=n-1S=n-1的情況，計(jì)算出的情況，計(jì)算出此時(shí)的密度和此時(shí)的密度和bestdbestd進(jìn)進(jìn)行比較。行比較。第第6章章 分支界限法分支界限法

29、四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.8 電路板排列問題算法描述else / 產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn) for (int i = enode.s + 1; i = n; i+) HeapNode node = new HeapNode(0, new int m + 1, 0, new int n + 1); for (int j = 1; j = m; j+) / 新插入的電路板 node.nowj = enode.nowj + board enode.xij;第第6章章 分支界限法分支界限法 四川理工學(xué)院四川理工學(xué)院 楊維劍楊維劍算法分析與設(shè)計(jì)教案 楊維劍6.8 電路板排列問題int ld = 0; / 新插入電路板的密度for (int j = 1; j 0 & totalj != node.nowj) ld+;node.cd = Math.max(ld, enode.cd);if (node.cd bestd)/ 可能產(chǎn)生更好的葉結(jié)點(diǎn) node.s = enode.s + 1; for (int j = 1; j =r+1時(shí)依非減序排列，S1則取得極小值。同理如果選擇Pk使t2pk依非減序排列，則S2取得極小值。 ,max212SSFfMii這可以作為優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中的限界函數(shù)。 第第6章章 分支界限法分