高等數(shù)學(xué)講義第三章

1、數(shù)學(xué)應(yīng)考必備第三章 一元函數(shù)積分學(xué)§3.1 不定積分（1） 內(nèi)容要點(diǎn)一、 基本概念與性質(zhì)1、 原函數(shù)與不定積分的概念設(shè)函數(shù)f(x)和F(x)在區(qū)間I上有定義，若= f(x)在區(qū)間I上成立。則稱F(x)為f(x)在區(qū)間I的原函數(shù)，f(x)在區(qū)間I中的全體原函數(shù)成為f(x)在區(qū)間I的不定積分，記為。其中稱為積分號(hào)，x稱為積分變量，f(x)稱為被積分函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式。2、 不定積分的性質(zhì)設(shè)F(x)C ,其中F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，C為任意常數(shù)。則 (1)F(x)C 或F(x)C (2)= f(x) 或 df(x)dx (3)k (4)=3、原函數(shù)的存在性 設(shè)f(x)

2、在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上原函數(shù)一定存在，但初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)，例如， ， ，等被積函數(shù)有原函數(shù)，但不能用初等函數(shù)表示，故這些不定積分均稱為積不出來(lái)。二、 基本積分表（略）三、 換元積分法和分部積分法1、 第一換元積分法（湊微分法）設(shè)=F(u)+C=F+C 這里要求讀者對(duì)常用的微分公式要“倒背如流50 / 26” ，也就是非常熟練地湊出微分。2、 第二換元積分法設(shè)x可導(dǎo)，且，若 ，則 其中t為x的反函數(shù)。3、 分部積分法 設(shè) u(x)，v(x)均有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則u(x)v(x)或u(x)v(x)（1）P(x)e，P(x)sinax，P(x)cosax情形，P(x)為n次

3、多項(xiàng)式，a為常數(shù)。要進(jìn)行n次分部積分法，每次均取e，sinax，cosax為；多項(xiàng)式部分為u（x）。（2）P(x)lnx，P(x)arcsinx，P(x)arctanx情形，P(x)為n次多項(xiàng)式取P(x)為，而lnx，arcsinx，arctanx為u（x），用分部積分法一次，被積函數(shù)的形式發(fā)生變化，再考慮其它方法。（2） 典型例題例1、 求下列不定積分（測(cè)試題，限15分鐘）（1） （2）（3） （4）（5） （6） （）例2、求下列不定積分（1） （2） （a）（3）（） （4）解：（1） =（2） （3）= =（4）=例3、 求解： 6 662=2-3例4、求解一：=-(這里已設(shè)x>

4、0)解二：倒代換 原式=(x>0)例5、求解一：x(arcsinx)=x2 =x+2 = x+2 = x+2 = x+2arcsinx2x+C解二：令arcsinxt，則xsint ， 2tcost2sint +C =x+2例6、設(shè)f（x）的一個(gè)原函數(shù)F（x），求I解：Ixf（x）x = C例7、設(shè)，當(dāng)x時(shí) f(x)F(x) ，又F(0)1，F(xiàn)(x)>0， 求f（x）（x解：22而 =+ C ，C=0，又，因此 則 f（x）例8、設(shè)，求I解一：令u=，則sinx，xarcsin，f(u)=則 I2 222C解二：令x，則，dx2costsintdt，則I 2tcost22tcost

5、2sintC 22C§3.2 定積分和廣義積分的概念與計(jì)算方法（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、 定積分的概念與性質(zhì)1、 定積分的定義及其幾何意義2、 定積分的性質(zhì)中值定理，設(shè)f（x）在上連續(xù)，則存在使得定義：我們稱為f（x）在上的積分平均值。二、 基本定理1、 變上限積分的函數(shù)定理：設(shè)f（x）在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，且推廣形式，設(shè)，可導(dǎo)，f(x)連續(xù)，則2、 牛頓萊布尼茲公式設(shè) f（x）在上可積，為f（x）在上任意一個(gè)原函數(shù)，則有三、定積分的換元積分法和分部積分法1、（x在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，單調(diào)，）2、四、廣義積分定積分的積分區(qū)間是有限區(qū)間，又f（x）在上是有界的，如果積分區(qū)間推廣到無(wú)窮區(qū)間或f（x）推

6、廣到無(wú)界函數(shù)就是兩種不同類(lèi)型的廣義積分。1、 無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分定義：若極限存在，則稱廣義積分是收斂的，它的值就是極限值；若極限不存在，則稱廣義積分是發(fā)散的。而發(fā)散的廣義積分沒(méi)有值的概念。同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的廣義積分有值的概念。2、無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）(1)設(shè)f（x）在內(nèi)連續(xù)，且，則稱b為f（x）的瑕點(diǎn)。定義若極限存在，則稱廣義積分收斂，且它的值就是極限值，若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散。發(fā)散的廣義積分沒(méi)有值的概念。(2)設(shè)f（x）在內(nèi)連續(xù)，且，則稱a為f（x）的瑕點(diǎn)定義若極限存在，則稱廣義積分收斂，且它的值就是極限值，若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散，它沒(méi)有值。（3）設(shè)f（

7、x）在和皆連續(xù)，且，則稱C為f（x）的瑕點(diǎn)定義（乙）典型例題一、一般方法例1、計(jì)算下列定積分（1）（xlnxx）2（2）（3）（4）22二、用特殊方法計(jì)算定積分例1、計(jì)算下列定積分（1） I（f為連續(xù)函數(shù)，f（sinx）f（cosx）（2） I（3） I（a常數(shù)）（）（4） I解：（1）令x，則I， 2I， I（2）令x ，則I I ， 2I， I（3）令x，則I，2I，I（4）令9xt3，則 x39t，于是I因此，2I ，則I1例2、 設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）滿足f（x）lnx，求解：令A(yù)，則f（x）lnxA，兩邊從1到e進(jìn)行積分，得（xlnxx）A（e1）于是Ae（e1）A（e1），eA1，A，

8、則例3、 設(shè)f（x）連續(xù)，且，f（1）1，求解：變上限積分的被積函數(shù)中出現(xiàn)上限變量必須先處理，令u2xt，則2x（u>0）代入條件方程后，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得三、遞推方法例1、設(shè)（n0，1，2，）（1） 求證當(dāng)n2時(shí)，（2） 求解：（1）xcosx (n1) =(n1) =(n1) （n1） n(n1) ，則（n）（2），1，當(dāng)n2k 正偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)n2k1 正奇數(shù)時(shí)，例2、設(shè) ，求證 證：令xt, = 則 例3、設(shè) 求證解： 例4：計(jì)算（n為正整數(shù)）解一：令xcost解二： 四、 廣義積分例1、 計(jì)算I解：I 0 lnln1lnln2（這里ln10） 于是Iln2例2 計(jì)算解：令x ，I由

9、于 I= = arctan =§3.3 有關(guān)變上（下）限積分和積分證明題一、 有關(guān)變上（下）限積分例1、設(shè)f（x）= (常數(shù))，求解： 例2、設(shè)f（x）在內(nèi)可導(dǎo)，f（1），對(duì)所有x，t，均有，求f（x）解：把所給方程兩邊求x求導(dǎo)，tf（xt）tf（x）du把x1代入，得 tf（t） 再兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得f（t）t于是，則f（t）=lnt + C ,令t=1代入得C=f（1） ，所以f（x）（lnx+1）例3 設(shè)f（x）為連續(xù)函數(shù)，且滿足2，求f（x）在0,2上的最大值與最小值。解：先從方程中求出f（x），為此方程兩邊對(duì)x求導(dǎo) =而=因此 兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，得2f（2x）2412x6 f（

10、x）3 6x3，令0 得駐點(diǎn) x又在0,2上f（x）沒(méi)有不可導(dǎo)點(diǎn)，比較f（0）0，f（），f（2）6可知f（x）在0,2上最大值為f（2）6，最小值為f（）例4 設(shè)f（x）在上連續(xù)，且f（x）>0,證明g（x）內(nèi)單調(diào)增加證：當(dāng)x>0時(shí)，因?yàn)?g（x）在內(nèi)單調(diào)增加二、積分證明題例1、設(shè)f（x）在0,上連續(xù)，求證存在證：令F（x） 則F(0)0，F(xiàn)()0，又0如果F(x)sinx在（0,）內(nèi)恒為正，恒為負(fù) 則也為正或?yàn)樨?fù)，與上面結(jié)果矛盾，故存在使，而sin，所以F（）0 于是在區(qū)間上分別用羅爾定理，則存在使，存在0，其中例2、設(shè)在0,1上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且f（0）f（1）0，試證：，

11、其中M證：用拉格朗日中值定理f（x）f（x）f（0），其中f（x）f（x）f（1）=,其中由 題設(shè)可知; 又因此M例3設(shè)f（x），g（x）在上連續(xù)，證明證一：（引入?yún)?shù)法）設(shè)t為實(shí)參數(shù)， 則2作為t的一元二次不等式 A2BtC，則AC0即,因此證二：（引入變上限積分）令F（u）于是2f（u）g（u） 則 F（u）在上單調(diào)不增 故即證三： （化為二重積分處理）令 I ， 則I，其中區(qū)域D：，同理 I 2I，故2I因此，I例4設(shè)f（x）在上連續(xù)，證明證：在例3中，令g（x）1，則于是例5設(shè)在上連續(xù)，且>0，證明證：在例3柯西不等式中，取f(x)為 ，g(x)為則 ，而因此例6、設(shè)在上具有連續(xù)

12、導(dǎo)數(shù)，且0，求證：證：在例3柯西不等式中取f(x)為，g（x）為x于是=§3.4 定積分的應(yīng)用（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、平面圖形的面積1直角坐標(biāo)系模型 ，其中 ， 模型 ，其中 ，注：復(fù)雜圖形分割為若干個(gè)小圖形，使其中每一個(gè)符合模型I或模型加以計(jì)算，然后再相加。2. 極坐標(biāo)系模型 模型 3參數(shù)形式表出的曲線所圍成的面積設(shè) 曲線C的參數(shù)方程 在（或）上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且不變號(hào)，且連續(xù)。則曲邊梯形面積（曲線C與直線xa，xb和x軸所圍成）二、平面曲線的弧長(zhǎng)（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二）（略）三、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積（1）平面圖形由曲線y=f(x) () 與直線xa，xb 和x軸圍成繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積 繞

13、y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積（2）平面圖形由曲線x=g(y) () 與直線yc，yd 和y軸圍成繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積四、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二）（略）(乙)典型例題一、在幾何方面的應(yīng)用例1、求曲線 處法線與曲線所圍成圖形的面積解： 先找出法線方程 法線方程 y1（1）（x） xy曲線和法線xy的另一交點(diǎn)為 所求面積 S例2、設(shè)f(x)在上連續(xù)，在（a, b）內(nèi)，證明，且唯一，使得yf（x），yf，xa，所圍面積是yf（x），yf，xb 所圍面積的三倍。證：令F（t） 由連續(xù)函數(shù)介值定理的推論可知使F0再由，可知f（x）的單調(diào)增加性，則唯一例3、設(shè)yf（x）在上

14、為任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)。（1）試證：，使上以f（x）為高的矩形面積等于上以yf（x）為曲邊的曲邊梯形面積。（2）又設(shè)f（x）在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明（1）中唯一。（1）證：設(shè)，則，且，對(duì)F(x)在上用羅爾定理，使，即證畢（2）證：令 2f(x)<0(由（2）的已知條件)因此在（0，1）內(nèi)， 單調(diào)減少，是唯一的例4 求由曲線y和直線y0，x1，x3 所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 解一：平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積27所求體積=+=9解二： = =例5、設(shè)是由拋物線和直線x=a, x=2 及y=0 所圍成的平面區(qū)域; 是由拋物線和直

15、線x=a, y=0所圍成的平面區(qū)域, 其中0<a<2.(1) 試求繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積;繞y軸而成的旋轉(zhuǎn)體體積(如圖)(2)問(wèn)當(dāng)a為何值時(shí), +取得最大值? 試求此最大值解 (1) = =或 =(2) V=+=由=0,得區(qū)間 (a,2) 內(nèi)的唯一駐點(diǎn) a=1.又因此a=1 是極大值點(diǎn), 也是最大值點(diǎn). 此時(shí)+的最大值為二 物理和力學(xué)方面應(yīng)用(數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二)例 為清除井底的污泥, 用纜繩將抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口, 已知井深30m, 抓斗自重400N, 纜繩每米重 50N, 抓斗抓起污泥重2000N, 提升速度 3m/s, 提升過(guò)程中污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙

16、中漏掉, 現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口, 問(wèn)克服重力需作多少焦耳的功?說(shuō)明：(1) 1N1m=1J; m, N, s, J 分別表示米, 牛頓, 秒, 焦耳. (2)抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長(zhǎng)度忽略不計(jì).解：所需作功 W= 是克服抓斗自重所作的功=40030=12000 是克服纜繩重力作的功=是提取污泥所作的功=所以 W=91500(J)三、經(jīng)濟(jì)方面應(yīng)用(數(shù)學(xué)三和數(shù)學(xué)四)例1 設(shè)某商品每天生產(chǎn)x單位時(shí)固定成本40元, 邊際成本函數(shù)為(元/單位), 求總成本函數(shù)C(x), 最小平均成本. 若該商品的銷(xiāo)售單價(jià)為20元, 且產(chǎn)品全部售出, 問(wèn)每天生產(chǎn)多少單位時(shí)才能獲得最大利潤(rùn), 最大利潤(rùn)多少?

17、解: (1) =0.2x+2, C(x)=+40 = +40 = , 令 （舍去）， ， 故生產(chǎn)20單位時(shí)平均成本最小為.(2) 總收益 R（x）= 20x , 總利潤(rùn)L（x）20x (0.1+2x+40) =(18x 0.1 40) , 令 18 0.2x 0x90 ， , 因此，每天生產(chǎn)90單位時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)。 最大利潤(rùn)為 L（90）(18x 0.1 40)270（元）例2 由于折舊等因素，某機(jī)器轉(zhuǎn)售價(jià)格P（t）是時(shí)間t（周）的減函數(shù)P（t）（元），其中A是機(jī)器的最初價(jià)格。在任何時(shí)間t，機(jī)器開(kāi)動(dòng)就能產(chǎn)生R的利潤(rùn)。問(wèn)機(jī)器使用了多長(zhǎng)時(shí)間后轉(zhuǎn)售出去能使總利潤(rùn)最大？解：假設(shè)機(jī)器使用了x周后出售，此時(shí)的售價(jià)為P（x），在這段時(shí)間