高數(shù)中需要掌握證明過程的定理

1、高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（一）考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時(shí)候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時(shí)候可能是又費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。應(yīng)深受大家敬佩的靜水深流力邀，也為了方便各位師弟師妹復(fù)習(xí)，不才憑借自己對(duì)考研數(shù)學(xué)的一點(diǎn)了解，總結(jié)了高數(shù)上冊(cè)中需要掌握證明過程的公式定理。這些證明過程，或是直接的考點(diǎn)，或是蘊(yùn)含了重要的解題思想方法，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看都是應(yīng)當(dāng)熟練掌握的。由于

2、水平有限，總結(jié)不是很全面，但大家在復(fù)習(xí)之初，先掌握這些公式定理證明過程是必要的。1）常用的極限，【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)公式大家在計(jì)算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想過它們的由來呢？事實(shí)上，這幾個(gè)公式都是兩個(gè)重要極限與的推論，它們的推導(dǎo)過程中也蘊(yùn)含了計(jì)算極限中一些很基本的方法技巧。證明：由極限兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)即得。：在等式中，令，則。由于極限過程是，此時(shí)也有，因此有。極限的值與取極限的符號(hào)是無關(guān)的，因此我們可以吧式中的換成，再取倒數(shù)即得。：利用對(duì)數(shù)恒等式得，再利用第二個(gè)極限可得。因此有。：利用對(duì)數(shù)恒等式得上式中同時(shí)用到了第一個(gè)和第二個(gè)極限。：利用倍角公式得。2）導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則【點(diǎn)評(píng)】：

3、這幾個(gè)求導(dǎo)公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導(dǎo)數(shù)的定義。而導(dǎo)數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點(diǎn)，通過這幾個(gè)公式可以強(qiáng)化相關(guān)的概念，避免到復(fù)習(xí)后期成為自己的知識(shí)漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈?zhǔn)椒▌t設(shè)，如果在處可導(dǎo)，且在對(duì)應(yīng)的處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo)可導(dǎo)，且有：【點(diǎn)評(píng)】：同上。4）反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)處可導(dǎo)且，并令其反函數(shù)為，且所對(duì)應(yīng)的的值為，則有：【點(diǎn)評(píng)】：同上。5）常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， ，【點(diǎn)評(píng)】：這些求導(dǎo)公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實(shí)際上，掌握這幾個(gè)公式的證明過程，不但可以幫助我們強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的定義這個(gè)薄弱點(diǎn)，對(duì)極限的計(jì)算也是很好的練

4、習(xí)。現(xiàn)選取其中典型予以證明。證明：導(dǎo)數(shù)的定義是，代入該公式得。最后一步用到了極限。注意，這里的推導(dǎo)過程僅適用于的情形。的情形需要另行推導(dǎo)，這種情況很簡(jiǎn)單，留給大家。：利用導(dǎo)數(shù)定義，由和差化積公式得。的證明類似。：利用導(dǎo)數(shù)定義。的證明類似（利用換底公式）。：利用導(dǎo)數(shù)定義。的證明類似（利用對(duì)數(shù)恒等式）。6）定積分比較定理如果在區(qū)間上恒有，則有推論：如果在區(qū)間上恒有，則有； 設(shè)是函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，則有：【點(diǎn)評(píng)】：定積分比較定理在解題時(shí)應(yīng)用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過程，對(duì)理解及應(yīng)用該定理很有幫助。具體的證明過程教材上有。7）定積分中值定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)

5、間上至少存在一點(diǎn)使得下式成立：【點(diǎn)評(píng)】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的推論，在證明題中有重要的作用?？佳姓骖}中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴(yán)而喻。具體證明過程見教材。8）變上限積分求導(dǎo)定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是設(shè)函數(shù)，則有?！军c(diǎn)評(píng)】：不說了，考試直接就考過該定理的證明。具體證明過程見教材。9）牛頓-萊布尼茲公式如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則有，其中是的原函數(shù)。【點(diǎn)評(píng)】：微積分中最核心的定理，計(jì)算定積分的基礎(chǔ)，變上限積分求導(dǎo)定理的推論。具體證明過程見教材。10）費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，如果

6、對(duì)任意的，有，那么【點(diǎn)評(píng)】：費(fèi)馬引理是羅爾定理的基礎(chǔ)，其證明過程中用到了極限的保號(hào)性，是很重要的思想方法。具體證明過程見教材。11）羅爾定理：如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo)（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得?！军c(diǎn)評(píng)】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實(shí)際上卻是相互蘊(yùn)含，可以相互推導(dǎo)的。這幾個(gè)定理的證明方法也就是與中值有關(guān)的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數(shù)中的難點(diǎn)，一定要多加注意。具體證明過程見教材。12）拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)

7、間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo)那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得?！军c(diǎn)評(píng)】：同上。13）柯西中值定理：如果函數(shù)和滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo)那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得?！军c(diǎn)評(píng)】：同上。14）單調(diào)性定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)。如果在上有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞增。如果在上有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減?！军c(diǎn)評(píng)】：這個(gè)定理利用導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系很容易理解，但實(shí)際證明中卻不能用圖形來解釋，需要更嚴(yán)密的證明過程。證明：僅證明的情形，的情形類似。，假定則利用拉個(gè)朗日中值定理可得，使得。由于，因此。由的任意性，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增。14）(極值第一充分條件) 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，并在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。）若時(shí)，而時(shí)，則在處取得極大值）若時(shí)，而時(shí)，則在處取得極小值；）若時(shí)，符號(hào)保持不變，則在處沒有極值；【點(diǎn)評(píng)】：?jiǎn)握{(diào)性定理的推論，具體證明過程見教材。15）(極值第二充分條件) 設(shè)函數(shù)在處存在二階導(dǎo)數(shù)且，那么）若則在處取得極小值；）若則在處取得極大值。【點(diǎn)評(píng)】：這個(gè)定理是判斷極值點(diǎn)最常用的方法，證明過程需要用到泰勒公式。證明：僅證明的情形，的情形類似。由于在處存在二階導(dǎo)數(shù)，由帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式得。在的某領(lǐng)域內(nèi)成立由于，因此由高階無窮小的定義可知，當(dāng)時(shí)，有，又由于，因此在的某領(lǐng)域內(nèi)成立。進(jìn)一步，我們有。也即，在的某領(lǐng)域內(nèi)成立。由極值點(diǎn)的定義可知在處取得極小值。16）洛必