應(yīng)用概率課后答案

1、習(xí) 題 一 解 答. 設(shè)、表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用、及其運(yùn)算符號(hào)表示出來(lái)：(1) 發(fā)生，、不發(fā)生；(2) 、不都發(fā)生，發(fā)生；(3) 、中至少有一個(gè)事件發(fā)生，但不發(fā)生；(4) 三個(gè)事件中至少有兩個(gè)事件發(fā)生；(5) 三個(gè)事件中最多有兩個(gè)事件發(fā)生；(6) 三個(gè)事件中只有一個(gè)事件發(fā)生解：（1） (2) (3) (4) (5) (6). 袋中有15只白球 5 只黑球，從中有放回地抽取四次，每次一只設(shè)表示“第i次取到白球”（i1，2，3，4 ），表示“至少有 3 次取到白球” 試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?1) ， (2) ,(3) ， (4) 解：（1）至少有一次取得白球（2）沒(méi)有一次取得白球（3）最

2、多有2次取得白球（4）第2次和第3次至少有一次取得白球. 設(shè)、為隨機(jī)事件，說(shuō)明以下式子中、之間的關(guān)系(1) （2）解：（1） (2). 設(shè)表示糧食產(chǎn)量不超過(guò)500公斤，表示產(chǎn)量為200-400公斤 ，表示產(chǎn)量低于300公斤，表示產(chǎn)量為250-500公斤，用區(qū)間表示下列事 件：(1) ， (2) ，(3) ，(4)，(5)解：(1); (2) (3) (4) (5). 在圖書(shū)館中任選一本書(shū)，設(shè)事件表示“數(shù)學(xué)書(shū)”，表示“中文版”， 表示“ 1970 年后出版”問(wèn)：(1) 表示什么事件？(2) 在什么條件下，有成立？(3) 表示什么意思？(4) 如果，說(shuō)明什么問(wèn)題？解：（1）選了一本1970年或以前

3、出版的中文版數(shù)學(xué)書(shū)（2）圖書(shū)館的數(shù)學(xué)書(shū)都是1970年后出版的中文書(shū)（3）表示1970年或以前出版的書(shū)都是中文版的書(shū)（4）說(shuō)明所有的非數(shù)學(xué)書(shū)都是中文版的，而且所有的中文版的書(shū)都不是數(shù)學(xué)書(shū). 互斥事件與對(duì)立事件有什么區(qū)別？試比較下列事件間的關(guān)系(1) X 20 與X 20 ；(2) X 20與X 18 ； (3) X 20與X 25 ；(4) 5 粒種子都出苗與5粒種子只有一粒不出苗；(5) 5 粒種子都出苗與5粒種子至少有一粒不出苗解：（1）對(duì)立; (2)互斥；（3）相容；（4）互斥；（5）對(duì)立(古). 拋擲三枚均勻的硬幣，求出現(xiàn)“三個(gè)正面”的概率解：（古）. 在一本英漢詞典中，由兩個(gè)不同的字母

4、組成的單詞共有 55 個(gè)，現(xiàn)從26個(gè)英文字母中隨機(jī)抽取兩個(gè)排在一起，求能排成上述單詞的概率解：0.0846（古）. 把 10 本書(shū)任意地放在書(shū)架上，求其中指定的三本書(shū)放在一起的概率是多少？解：首先將指定的三本書(shū)放在一起，共種放法，然后將進(jìn)行排列，共有種不同排列方法。故0.067（古）10. 電話號(hào)碼由 6 位數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可以是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 共 10 個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)數(shù)字（不考慮電話局的具體規(guī)定），求：(1) 電話號(hào)碼中 6 個(gè)數(shù)字全不相同的概率；(2) 若某一用戶的電話號(hào)碼為 283125 ，如果不知道電話號(hào)碼，問(wèn)一次能打通電話的概率是多少？解：(1) ，(

5、2) （古）11. 50 粒牧草種子中混有3粒雜草種子，從中任取4粒，求雜草種子數(shù)分別為0，1，23 粒的概律解： （古）12. 袋內(nèi)放有兩個(gè)伍分、三個(gè)貳分和五個(gè)壹分的硬幣，從中任取五個(gè)，求錢(qián)額總和超過(guò)一角的概率解：設(shè)為事件“錢(qián)額總和超過(guò)一角”，則=兩個(gè)五分其余任取3個(gè)+一個(gè)五分3個(gè)兩分一個(gè)一分+一個(gè)五分2個(gè)兩分2個(gè)一分，故：0.5（古）13. 10 把鑰匙中有3把能打開(kāi)門(mén)，今任取兩把，求能打開(kāi)門(mén)的概率解：，或0.53（古）14. 求習(xí)題 11 中至少有一粒雜草種子的概率解：本題與11解法有關(guān)，即為（幾）15.有一碼頭，只能停泊一艘輪船，設(shè)有甲、乙兩艘輪船在0道T小時(shí)這段時(shí)間內(nèi)等可能地到達(dá)這個(gè)

6、碼頭，到后都停小時(shí)，求兩船不相遇的概率解：設(shè)分別為甲、乙船到達(dá)碼頭的時(shí)刻，A為事件“兩船相遇”。則，。所求概率為（幾）16.（蒲豐投針問(wèn)題）設(shè)平面上畫(huà)著一些有相等距離2a（a>0）的平行線。向此平面上投一枚質(zhì)地均勻的長(zhǎng)為2l(l<a)的針，求針與直線相交的概率。解：設(shè)為針的中點(diǎn)到最近一條直線的距離為針與直線的夾角，則， ，于是有17. 某種動(dòng)物由出生活到20歲的概率為0.8, 活到25歲的概率為0.4，求現(xiàn)在20歲的這種動(dòng)物能活到25歲的概率。解：設(shè)A為該動(dòng)物能活到20歲，B為能活到25歲，則，已知，所求概率為18由長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)資料表明，某一地區(qū)6月份下雨（記為事件A）的概率為4/15

7、，刮風(fēng)（記為事件B）的概率為7/15，既下雨又刮風(fēng)的概率為1/10，求解：由條件概率公式知 19為防止意外，在礦內(nèi)設(shè)有兩種報(bào)警系統(tǒng)，單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)有效的概率為 0.92 ，系統(tǒng)有效的概率為 0.93 ，在系統(tǒng)失靈的條件下，系統(tǒng)有效的概 率為 0.85，求：(1) 發(fā)生意外時(shí)，這兩種系統(tǒng)至少有一個(gè)系統(tǒng)有效的概率(2) 系統(tǒng)失靈的條件下，系統(tǒng)有效的概率解：由題意。（1）所求概率為：其中：（2）所求概率為 其中 20. 100件產(chǎn)品中有10件次品，用不放回的方式從中每次取1件，連取3 次，求第三次才取得正品的概率解：設(shè)第三次才取得正品的概率為A，樣本空間為 所以（條件）21. 在空戰(zhàn)中，甲機(jī)先向乙

8、機(jī)開(kāi)火，擊落乙機(jī)的概率為 0.4 ；若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為 0.5 ；若甲機(jī)仍未被擊落，則再進(jìn)攻乙機(jī)，擊落乙機(jī)的概率為 0.6 求在這幾個(gè)回合中(1) 甲機(jī)被擊落的概率；(2) 乙機(jī)被擊落的概率解：設(shè)A為甲機(jī)第一次被擊落，為乙機(jī)第次被擊落，這里互不相容。依題義有（1）所求概率為 （2）所求概率為 ,其中故所求概率為（全概）22. 一個(gè)袋子中裝有6只白球，4只黑球，從中任取一只，然后放回，并同時(shí)加進(jìn)2只與取出的球同色的球，再取第二只球，求第二只球是白色的概率解：設(shè)A為“第一次取得白球”，B為“第二次取得白球”（共4白2黑），則23. 10 張娛樂(lè)票中有4張電影票， 10個(gè)人

9、依次抽簽問(wèn)第一個(gè)人與第二個(gè)人抽到電影票的概率是否相同？解：設(shè)為事件“第個(gè)人抽到電影票”，則 24. 發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率 0.6 和 0.4發(fā)出信號(hào)“ ”和“ ”，由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“ ”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率 0.8 及 0.2 收到信號(hào) “ ”和“ ”，同樣，當(dāng)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“ ”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率 0 .9 和 0.1 收到信號(hào)“ ”和“ ”求(1) 收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“ ”的概率(2) 當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“ ”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)“ ”的概率解：設(shè)A，B分別為發(fā)出和接受信號(hào)“?！?，分別為發(fā)出和接受信號(hào)“-”則依題意有（） 所求概率為 （） 所求概率為 25. 某工廠有甲、乙兩車(chē)間

10、生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，兩車(chē)間產(chǎn)品的次品率分別為0 .03 和 0.02 ，生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品放在一起，且知甲車(chē)間的產(chǎn)量比乙車(chē)間的產(chǎn)量多一倍，求：(1) 該廠產(chǎn)品的合格率；(2) 如果任取一個(gè)產(chǎn)品，經(jīng)檢驗(yàn)是次品，求它是由甲車(chē)間生產(chǎn)的概率解：設(shè)分別為甲、乙車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品，B為次品，則依題義有(1) 所求概率為 (2) 所求概率為 26. 在習(xí)題20 中，若第二只取到的是白球，問(wèn)第一只球是白球的概率大還是黑球的概率大？解：已知第二只球是白球的概率 假設(shè)第一只球是白色時(shí)為事件，第一只球是黑球時(shí)為事件所以又因?yàn)槭菍?duì)立事件，而且事件B對(duì)都無(wú)影響所以 第一只球是白球的概率大27. 兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊，設(shè)甲

11、擊中的概率為 0.9 ，乙擊中的概率為 0.8 求(1) 目標(biāo)被擊中的概率；(2) 兩人都擊中的概率；(3) 甲中、乙不中的概率；(4)甲不中、乙中的概率解：A為甲擊中，B為乙擊中，則A，B獨(dú)立，且所求概率分別為（1）（2），（3）（4）28. 加工一個(gè)零件要經(jīng)過(guò)三道工序，各道工序的合格率分別為 0.95，0.9，0.85，設(shè)各道工序是否合格是獨(dú)立的，求加工出來(lái)的零件的合格率解：設(shè)分別表示第一，第二，第三道工序出現(xiàn)的合格品，則依題意相互獨(dú)立，且又設(shè)A表示加工出來(lái)的零件是合格品，則所以29. 某廠用兩種工藝生產(chǎn)一種產(chǎn)品，第一種工藝有三道工序，各道工序出現(xiàn)廢品的概率為0.05，0.1，0.15；第

12、二種工藝有兩道工序，各道工序出現(xiàn)廢品的概率都是 0.15 ，各道工序獨(dú)立工作設(shè)用這兩種工藝在合格品中得到優(yōu)等品的概率分別為0.95，0.85試比較用哪種工藝得到優(yōu)等品的概率更大？解：第一道工序的合格率為，優(yōu)等品率為第二道工序的合格率為，優(yōu)等品率為30. 三個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為， 求此密碼被譯出的概率解：設(shè)A，B，C分別為甲、乙、丙三人能單獨(dú)譯出的事件，則A，B，C相互獨(dú)立，所求概率為代入數(shù)據(jù)即可?；蚩紤]逆事件的概率：31. 某動(dòng)物的成活率為60% ，現(xiàn)飼養(yǎng)5只，設(shè)各動(dòng)物是否成活互不影響，求：(1)恰有2只成活的概率； (2) 至少有2只成活的概率解：設(shè)A為動(dòng)物能成

13、活，則設(shè)為5只中的成活數(shù)，則，其中（） 所求概率為（） 所求概率為32. 某單位有 12 臺(tái)個(gè)人計(jì)算機(jī)，各計(jì)算機(jī)是否被使用是獨(dú)立的設(shè)計(jì)算機(jī)的使用率為 0.7 ，求在同一時(shí)刻有 9 臺(tái)或更多計(jì)算機(jī)在使用的概率解：設(shè)A為事件“計(jì)算機(jī)被使用”則，設(shè)X為同時(shí)使用的計(jì)算機(jī)數(shù)目，則，所求概率為33.愛(ài)滋病普查 使用一種血液試驗(yàn)來(lái)檢測(cè)人體內(nèi)是否攜帶愛(ài)滋病病毒.設(shè)這種試驗(yàn)的假陰性比例為5%（即在攜帶病毒的人中，有5%的試驗(yàn)結(jié)果為陰性），假陽(yáng)性比例為1%（即在不攜帶病毒的人中，有1%的試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性）.據(jù)統(tǒng)計(jì)人群中攜帶病毒者約占1，若某人的血液檢驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，試問(wèn)該人攜帶愛(ài)滋病毒的概率.解：設(shè)A為檢查為陽(yáng)性，B

14、為攜帶病毒，求。已知，由貝葉斯法則有c習(xí) 題 二 解 答1 五張卡片上分別寫(xiě)有號(hào)碼1，2，3，4，5。隨即抽取其中三張，設(shè)隨機(jī)變量X表示取出三張卡片上的最大號(hào)碼。（1） 寫(xiě)出X的所有可能取值；（2）求X的分布率。解：（1）顯然是：3，4，5。（2） X的分布律X345P0.10.30.62 下面表中列出的是否時(shí)。某個(gè)隨機(jī)變量的分布律（1）X135P0.50.30.2（2）X123P0.70.10.1答：（1）是 （2）不是3一批產(chǎn)品共有N件，其中M件次品。從中任意抽取n(n<=M)件產(chǎn)品，求這n件產(chǎn)品中次品數(shù)X的分布律。（此分布律為超幾何分布）解：抽取n件產(chǎn)品的抽法有種，抽取到次品的抽法

15、有種，所以所求概率為：P=,k=0,1,2,3.n4.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PX=k=,k=1,2,3,4,5.求：（1）PX=1或X=2； （2）P; (3)P. 解：（1）PX=1或X=2PX=1 PX=2。 （2）PPPX=1 PX=2。 （3）PPX=1 PX=2。5一批產(chǎn)品共10件，其中7件正品，3件次品。從該批產(chǎn)品中每次任取一件，在下列兩種情況下，分別求直至取得正品為止所需次數(shù)X的分布律。（1）每次取后不放回；（2）每次取后放回。X1234P解：（1） (2) （=1，2，）6.某射手每發(fā)子彈命中目標(biāo)概率為0.8，現(xiàn)相互獨(dú)立地射擊5發(fā)子彈，求：（1）命中目標(biāo)彈數(shù)地分布律；（2）命中

16、目標(biāo)的概率。解：（1）設(shè)X為命中目標(biāo)的彈數(shù)，則其分布律為PX=K=,(k=0,1,2,3,4,5). (2)P命中目標(biāo)1-PX=0=10.999687設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布P(),且PX=1=PX=2,求PX=4.解：由PX=1=PX=2得：ee解得：2或0（舍棄）。故：PX=4=e= e8.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：（1）PX=k=,k=1,2,.N(2) PX=k=a,k=0,1,2,試確定常數(shù)a解：（1）由1 得：N *=1,解得：a=1(2) 由1 得：1，解得：a= e9. 某車(chē)間有同類設(shè)備100臺(tái)，各臺(tái)設(shè)備工作互不影響。如果每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障得概率是0.01且一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人

17、來(lái)處理，問(wèn)至少配備多少維修工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01（利用泊松定理近似計(jì)算）。 解：設(shè)X為發(fā)生故障設(shè)備得臺(tái)數(shù)，則，即X近似服從參數(shù)為的poisson分布。設(shè)設(shè)備需要N個(gè)人看管“才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01”，則查表得10.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=c e (-<x<+),求：（1）常數(shù)c;(2)X落在區(qū)間（0，1）內(nèi)的概率；（3）P解：（1）因?yàn)?即：+1， ce=1,解得：c(2)P=(3)P=P=+=+= e11設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，求（1）常數(shù)c; (2)P0.3<X<0.7; (3)常數(shù)a，使得

18、PX>a=PX<a; (4)常數(shù)b,使得PX>b=0.64; (5)X分布函數(shù)。解：(1) =+ =cxdx =1 所以，解得 C=2(2) P0.3<X<0.7=2xdx = =0.4(3)由得：當(dāng)a < 0時(shí)， 當(dāng)a > 1時(shí)，故，a不可能小于0或大于1；當(dāng)0a1時(shí)，所以，即得：a（4）由題設(shè)可知，b的取值范圍為：0b1，所以b0.6（5）當(dāng)x < 0時(shí)，F(xiàn)(x)0；當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x)當(dāng)x > 1時(shí)，F(xiàn)(x)12.解：由題設(shè)可知，把X的分布函數(shù)的取值范圍分為四段：當(dāng)x -1時(shí)，F(xiàn)(x)0；當(dāng)-1 < x 0時(shí)，F(xiàn)(x)；當(dāng)0 &

19、lt; x 1時(shí)，F(xiàn)(x)當(dāng)x > 1時(shí)，F(xiàn)(x)113.解：（1）PX2 F(2) 1e2 0.8647 ；PX > 2 1PX21-0.86470.1353；（2）設(shè)X的密度函數(shù)為f(x).當(dāng)X<0時(shí)，f(x)0；當(dāng)X0時(shí)，f(x)；14.解：（1）1；即： ； 0；即： ；由式得：A，B（2）P-1X1F(1)F(-1)（×）（×）（3）X的密度函數(shù)：f(x)，（）15.解：當(dāng)x<時(shí)，F(xiàn)(x)0；當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)(x)（sin x1）當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)(x)1圖如下：題15的圖：16.解：（1）由得，所以，（2）因?yàn)镻X > a1PX < a所以

20、，17.解：設(shè)乘客候車(chē)時(shí)間為X分。由于乘客到達(dá)該汽車(chē)站的任一時(shí)刻是等可能的，且公共汽車(chē)每隔5分鐘通過(guò)車(chē)站一次，所以，X在區(qū)間0,5內(nèi)均勻分布。所以X的密度函數(shù)為所以，乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率為：0.618.解：因?yàn)閄在-2 , 5上服從均勻分布，所以，X的密度函數(shù)為：而要方程有實(shí)根，則要求，即得：X-1或X2即，方程有實(shí)根的概率為：PX-1+PX219.解：（1）0.9996（2）20.解：（1） ， 所以查表可得：k的最大取值為：k=1.28（2） ， 所以查表可得：k的最大取值為：k=1.6521.解：由題設(shè)得：，即：，即：查表得：0，所以c=322.解：（1）即：；查表并計(jì)算得：3

21、03（2）查表并計(jì)算得：60623.解：要該種配件是合格品，那么，該配件的長(zhǎng)度X的范圍應(yīng)該在：9.93X10.17 （單位：cm）所以，生產(chǎn)該種配件是合格品的概率為：查表得：，所以概率為：0.954624.解：X-2024X+202461X31-1-3X240416P25.解：因?yàn)閅1X是嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)，所以：當(dāng)0y1時(shí)，即，0x1時(shí)，當(dāng)Y為其他值時(shí)，即，X在區(qū)間0，1外時(shí)，所以：Y1X的密度函數(shù)為：或：解 Y=1-X的分布函數(shù)為 其中是的分布函數(shù)，它滿足，而26.解：（1）由題設(shè)可得：（2）由（1）可知誤差的絕對(duì)值不超過(guò)150cm的概率為：p0.81855那么在三次測(cè)量中至少有一次的概率：（

22、3） 由題設(shè)可得：習(xí) 題 三 解 答1：設(shè)二維隨變量（X，Y）只能取下列數(shù)組中的值：（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），且取這幾組值的概率依次為1/6，1/3，1/12，5/12。求此二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布列。解：此二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布列是： YX01/31-101/121/301/60025/12002一袋中有四個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1，2，2，3。從這袋中任取一球后，不放回袋中，再?gòu)拇腥稳∏?，設(shè)每次取球時(shí)，袋中每個(gè)球被取到的可能性相同。以X，Y分別記第一、二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，求（X，Y）的概率分布。解：由題意得：（X，Y）的可能取值為：（1，2），

23、（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。則由概率的乘法公式得：PX=1,Y=2=(1/4)×(2/3)=1/6 PX=1,Y=3=(1/4)×(1/3)=1/12 PX=2,Y=1=(2/4)×(1/3)=1/6 PX=2,Y=2=(2/4)×(1/3)=1/6 PX=2,Y=3=(2/4)×(1/3)=1/6 PX=3,Y=1=(1/4×(1/3)=1/12 PX=3,Y=2=(1/4)×(2/3)=1/6 而事件(1,1),(3,3)為不可能事件，所以PX=1,Y=1=0，PX=3,Y=3

24、=0。則（X，Y）的聯(lián)合分布列為：YX123101/61/1221/61/61/631/121/60 3在一個(gè)箱子里裝有12只開(kāi)關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只，考慮兩種試驗(yàn)，（1）有放回抽樣，（2）無(wú)放回抽樣，我們定義隨機(jī)變量X，Y如下 解：（1）所求聯(lián)合概率分布為：YXX01025/365/3615/361/36 （2）所求聯(lián)合概率分布為： YXX01045/6610/66110/661/664.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 =（1）確定常數(shù)k；（2）求（X，Y）的分布函數(shù)；（3）求P0X1，0Y2。解：（1）由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知 = =* =1 即 k=12.

25、(2)由定義，有 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)于是（3） = 5.隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度為（1）求系數(shù)C；（2）求隨機(jī)變量（X，Y）落在內(nèi)的概率。解：（1）由（利用極坐標(biāo)運(yùn)算）得于是 （2）利用極坐標(biāo)運(yùn)算得： =（1-）6.求出在D上服從均勻分布的隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度及分布函數(shù),其中D為x軸，y軸及直線y=2x+1圍成的三角形區(qū)域解：由于面積=1/4，所以（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為分布函數(shù)分區(qū)域討論（1） 當(dāng)從而 （2） 當(dāng)（3） 當(dāng)（4） 當(dāng)（5） 當(dāng) 綜上可得： 7. 設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為求PX+Y.解：PX+Y1=1PX+Y<1=1=8：設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）要區(qū)域D上服

26、從均勻分布，其中D 是曲線y=和 y=x所圍成，試求（X，Y）的分布密度及邊緣分布密度。解：面積則 （a）關(guān)于X的邊緣概率密度當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí)所以（b）關(guān)于Y的邊緣概率密度當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí)所以9（1）第1題中的隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立（提示：考慮事件X=-1，y=1）？ （2）第6題中的隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立（提示：考慮事件 ）？解：（1），而 根據(jù)定義得：X與Y不相互獨(dú)立。（2）10已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為：求邊緣概率密度與；（1） ，（2） 問(wèn)X和Y是否相互獨(dú)立？解：（1）當(dāng)0x1時(shí)， 其它， 所以 所以關(guān)于X的概率密度為類似地，當(dāng)0y1， 其它， 所以 （3） 故由

27、條件概率密度的定義可知，（3）x=1，y=1時(shí)，×（4y-3）(4x-3)=1此時(shí)所以X和Y不相互獨(dú)立。11（1）如果（X，Y）在以原點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)服從均勻分布，問(wèn)X和Y是否相互獨(dú)立？（2）如果（X，Y）在以原點(diǎn)為中心，R為半徑的圓內(nèi)服從均勻分布，問(wèn)X和Y是否相互獨(dú)立？解：（1）因?yàn)椋╔，Y）服從均勻分布，故當(dāng)x<-1或x>1時(shí)，f(x,y)=0 所以當(dāng)時(shí)， 于是得關(guān)于X的概率密度為同理可得關(guān)于Y得概率密度為，故X和Y是相互獨(dú)立。（2）因?yàn)椋╔，Y）服從均勻分布，故當(dāng)x<R或x>R時(shí)，所以 當(dāng)時(shí)，即同理得：, ,故X和Y不相互獨(dú)立。12.設(shè)X和Y

28、相互獨(dú)立，它們的概率密度分別為求ZXY的概率密度.解：因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，所以有 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)13.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 ，求的概率密度。解：Z的分布函數(shù)為 式中，G是xOy平面內(nèi)由不等式所確定的區(qū)域，當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)(z)=0；求導(dǎo)得當(dāng)z>0時(shí)，再用極坐標(biāo)來(lái)求積分求導(dǎo)得 所以 14設(shè)（X，Y）的分布密度為 求Z=的概率密度。解：Z的分布函數(shù)為當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以綜上得 15設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布密度為 求k值。解：由概率密度的性質(zhì)，由題意得， ， 所以 k=。16求15題中X和Y的邊緣分布。解 （1）因?yàn)楫?dāng)x<0或x>1時(shí)，f(x,y)=0,所以 當(dāng)時(shí)，（2） 因

29、為當(dāng)y<1或y>3時(shí)，f(x,y)=0,所以 當(dāng)時(shí)，由上可知習(xí) 題 四 解 答1. 解：由數(shù)學(xué)期望的定義知：因?yàn)?53511X-1012P0.20.30.40.1 所以 3511P0.30.60.1 從而由期望和方差的定義知： =0.842. 解：甲品種母豬產(chǎn)仔的期望為=11.39乙品種母豬產(chǎn)仔的期望為11.92由于， 因此乙種母豬平均產(chǎn)仔數(shù)多。3. 解：設(shè)在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3 且 則其分布率為X0123P4.解：設(shè)孵出小雞的個(gè)數(shù)為X，則 = =2.125.解：(1) (2) 6.解：=15007設(shè)測(cè)量真實(shí)值為Y,則，故X=Y-(m+0

30、.5)此時(shí)候，且Y在m,m+1之間是均勻分布，因?yàn)槿∶恳粋€(gè)點(diǎn)的可能性相同，于是故8. (1)由規(guī)范性（2）9. =0=1+1=210.解：由題意有 按定義有=由公式11.解：設(shè)球的直徑為，則,所以 又因?yàn)榍虻捏w積為 所以1213. 解:由期望的性質(zhì)和題設(shè)條件知(1) =+=(2)=10- =14.解： 由期望的定義得，由公式有 而所以于是（1）（2）(15)略(16)（17) (18) (19) 20. D(X)=25, D(Y)=36, D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)212223設(shè)X表示良種的粒數(shù)，則24設(shè)所求 為 a,則 25設(shè)不發(fā)芽種子數(shù)為X,則p=0.2.（注意不

31、發(fā)芽的概率為10.8） 26.設(shè)X為不短于3m的木柱的數(shù)目，注意到長(zhǎng)度不少于3m的目住的概率為p0.80題目要求至少有30根木柱短于3m，相當(dāng)于求至多 有70根木柱長(zhǎng)于3m的概率，故27.設(shè)X表示每毫升血液所含白細(xì)胞數(shù)，則28.設(shè)X表示蟲(chóng)食豆的數(shù)目，則29.設(shè)要配置a條外線才滿足題目要求，X為200臺(tái)分機(jī)某時(shí)刻使用的外線數(shù)目，則30.設(shè)該10000人中每年的死亡人數(shù)為X(1)要使得虧本，必須1000X>120000,即x>120,故 (2) 31.設(shè)X表示有這種血液的人數(shù)，則32.設(shè)X表示1萬(wàn)個(gè)件中的次品數(shù)，則習(xí) 題 六 解 答2、解：由例3（P114）知：的矩法估計(jì)分別為， 代入

32、數(shù)據(jù)得樣本均值為：且 于是的矩估值分別為2809， 1206.83、解：似然函數(shù)為對(duì)其求對(duì)數(shù)得： 求導(dǎo)，并令其為0 解得： （即為的極大似然估計(jì)）4、解：因?yàn)?，可知樣本均服從N(,1) 所以 是的無(wú)偏估計(jì)量。 于是 即的無(wú)偏估計(jì)量方差較小。 5、解：設(shè)總體，因?yàn)榭傮w方差已知，所以總體均值的置信水平為的置信區(qū)間為 （，）又已知n25，（樣本均值），從而得故得 得置信下限為：得置信上限為：故的置信水平為95的置信區(qū)間為（480.4，519.6）9、解:(1)的置信水平為0.95的置信區(qū)間長(zhǎng)度為 ，即 要使置信區(qū)間長(zhǎng)為5，則令 (2)若置信水平為99，則有，即 11、解：因?yàn)榭傮w方差未知，所以用樣本

33、方差來(lái)代替總體方差。從而總體均值的置信水平為的置信區(qū)間為（，）其中，n=6,從而 代入數(shù)據(jù)得：的置信水平為95的置信區(qū)間為（218.52.571×9.88，218.5+2.571×9.88）即（193，244）12、解：因?yàn)榭傮w方差未知，所以用樣本方差來(lái)代替總體方差。從而總體均值的置信水平為的置信區(qū)間為（，）其中，n=81,s=15.3,代入數(shù)據(jù)得：的置信水平為95的置信區(qū)間為（，）即 （95.2，101.8）13、解：當(dāng)總體均值未知時(shí),總體方差的置信水平為的置信區(qū)間為（，）其中，n=10, 查表得：，。代入數(shù)據(jù)得總體方差的置信水平為95的置信區(qū)間為 (653.92， 46

34、07.26)習(xí) 題 七 解 答1、由經(jīng)驗(yàn)知某零件重量，技術(shù)革新后，抽出6個(gè)零件，測(cè)得重量為（單位：g） 14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6已知方差不變，試統(tǒng)計(jì)推斷，平均重量是否仍為15g（）？解：此題是正態(tài)總體方差已知時(shí)，關(guān)于總體均值的雙側(cè)檢驗(yàn)，故采用U檢驗(yàn)。假設(shè) 因?yàn)?已知，故應(yīng)選擇統(tǒng)計(jì)量 又，且，所以查正態(tài)分布表得，故拒絕域?yàn)?由題設(shè)條件知：n6，樣本均值為 于是統(tǒng)計(jì)量得觀測(cè)值即落在拒絕域中，故否定，即認(rèn)為平均重量不為15g.5、已知健康人的紅血球直徑服從均值為的正態(tài)分布，今在某患者血液中隨機(jī)測(cè)得9個(gè)紅血球的直徑如下： 7.8 9.0 7.1 7.6 8.5 7.7

35、 7.3 8.1 8.0問(wèn)該患者紅血球平均值與健康人的差異有無(wú)統(tǒng)計(jì)意義（）？解：由于方差未知，所以采用T檢驗(yàn)。假設(shè)： 由題中數(shù)據(jù)得：樣本均值：樣本方差：從而 于是 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 當(dāng)時(shí)，自由度n18，查t分布表得，于是得拒絕域?yàn)?因?yàn)槁湓诰芙^域內(nèi)，所以拒絕，即該患者紅血球平均值與健康人的差異在下有統(tǒng)計(jì)意義。習(xí) 題 八 解 答1、今有不同溫度處理的魚(yú)卵胚胎發(fā)育速度（從受精到孵化所需時(shí)間）數(shù)據(jù)如下表，試做方差分析。處理溫度胚胎發(fā)育速度數(shù)據(jù)21C12812913213013423C12312512612712825C9910010211010527C868890939529C7675788081解：處理溫度胚胎發(fā)育速度數(shù)據(jù)21C128129132130134653130.623C123125126127128629125.825C99100102110105516103.227C868890939545290.429C767578808139078T=2640105.6假設(shè)魚(yú)卵胚胎發(fā)育速度服從方差相等的正態(tài)分布，依題意，它們?cè)诓煌瑴囟认?，發(fā)育速度均值分別為。（1）需檢驗(yàn)假設(shè)（2）首先計(jì)算離差平方和自由度于是自由度：