常微分方程解的穩(wěn)定性(修改)

1、 常微分方程解的穩(wěn)定性 摘要 本文簡要介紹了常微分方程解的穩(wěn)定性理論的相關(guān)概念及其在解決微分方程相關(guān)問題的重要意義。最后，介紹用李雅普諾夫第二方法構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)來判斷常微分方程的穩(wěn)定性及其在解決常微分方程的穩(wěn)定性問題中的應(yīng)用。關(guān)鍵字： 常微分方程 穩(wěn)定性 李雅普諾夫函數(shù) V函數(shù)構(gòu)造方法引言 常微分方程在經(jīng)歷了長期的求精確解的努力后逐漸停滯，龐加萊在分析的基礎(chǔ)上引入幾何方法 ,開創(chuàng)了常微分方程定性理論 , 同時在分析中引入幾何方法 ,搭建起分析與幾何之間的溝通橋梁 ,帶來了微分方程研究的新突破。李雅普諾夫則在龐加萊定性分析的基礎(chǔ)上 ,轉(zhuǎn)而進(jìn)入了新的穩(wěn)定性研究。 如今 ,李雅普諾夫穩(wěn)定性理論被

2、普遍認(rèn)為是微分方程定性理論的基本成就之一。不僅有精確的定義 ,更有嚴(yán)格的分析證明 ,將微分方程及穩(wěn)定性理論的研究推向了新的高度。 本文論述常微分方程解的穩(wěn)定性的定義及其研究常微分方程相關(guān)問題的重要思想，并用李雅普諾夫第二方法構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)來判斷常微分方程的穩(wěn)定性及其在解決常微分方程的穩(wěn)定性問題中的應(yīng)用。 1、 常微分方程穩(wěn)定性微分方程自誕生以來就一直以微分方程解的求法為研究中心。數(shù)學(xué)家在微分方程求解過程中進(jìn)行了不懈的努力 ,但始終沒有從根本上擺脫求確定解的桎梏 ,致使研究的道路越來越窄。此時單純的定量分析已不能解決問題 ,必須用一種綜合化、 整體化的思想加以考慮. 避開微分方程求精確解的定

3、量方法 ,轉(zhuǎn)向運(yùn)用穩(wěn)定性方法探求解的性質(zhì) ,從而解決常微分方程（組）的解的問題.考慮微分方程組 dxdt=f(t,x) （2.1） 其中函數(shù)f(t,x) 對 xDRn 和 t(-, +) 連續(xù)，對x 滿足局部利普希茨條件。 設(shè)方程（2.1）對初值（t0, x1） 存在唯一解 x=(t, t0, x1) , 而其他解記作x=x(t, t0, x0) . 本文中向量 x=(x1, x2 , , xn)T 的范數(shù)取 x =( i=1nxi2)12 .如果所考慮的解的存在區(qū)間是有限閉區(qū)間，那么這是解對初值的連續(xù)依賴性。現(xiàn)在要考慮的是解的存在區(qū)間是無窮區(qū)間，那么解對初值不一定有連續(xù)依賴性，這就產(chǎn)生的李雅

4、普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念。 如果對于任意給定的 >0 和 t00 都存在 =（， t0）>0 ,使得只要 x0- x1 < 就有 xt, t0, x0-(t, t0, x1)< 對一切 tt0 成立，則稱（2.1） 的解 (t, t0, x1) 是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。假設(shè) x=(t, t0, x1) 是穩(wěn)定的，而且存在 1（0<1），使得只要 x0-x1<1 就有 limt xt, t0, x0-t, t0, x1=0則稱 （2.1）的解(t, t0, x1) 是漸近穩(wěn)定的。為了簡化討論，通常把解 x=(t, t0, x0) 的穩(wěn)定性化成零解的穩(wěn)定性問題

5、。下面記 x（t）=x(t, t0, x0) , (t)=x(t, t0, x1) 作如下變量代換：令 y=xt-(t) (2.2)則 dydt=dx(t)dt-d(t)dt=ft, xt-f(t, (t) =ft, t+y-f(t, (t) F (t, y) 于是在變換（2.2）下，將方程（2.1）化成 dydt=F(t, y) (2.3)其中 F t, y=ft, t+y-f(t, (t)，這樣關(guān)于（2.1）的解 x=(t) 的穩(wěn)定性問題就化為（2.3）的零解 y= 的穩(wěn)定性問題了。因此，我們可以只考慮（2.1）的零解 x= 的穩(wěn)定性，即假設(shè) ft,00 ,并有如下定義：定義 2.1 若對

6、于任意給定的 >0 和 t00 ，存在=（， t0）>0 , 使當(dāng) x0< 時有 xt, t0, x0< （2.4）對所有的tt0 成立，則稱（2.1）的零解是穩(wěn)定的，反之是不穩(wěn)定的。定義 2.2若 （2.1）的零解是穩(wěn)定的，且 存在 0<1 （ 為定義2.1中的），當(dāng) x0<1 時有 limt xt , t0, x0=0 則稱（2.1）的零解是漸近穩(wěn)定的。dxdt=ydydt=-x例1. 考察系統(tǒng) 的零解的穩(wěn)定性。 解： 不妨取初始時刻 t0=0 , 對于一切 t0 , 方程組滿足初值條件 x0=x0, y0=y0 (x02+y020) 的解為xt=x0c

7、ost+y0sintyt=-x0sint+y0cost 對任一 >0 ，取 = ，則當(dāng) （x02+y02）12< 時 ，有 x2t+y2（t）12=x0cost+y0sint2+（-x0sint+yocost）212 =（x02+y02）12<=故該系統(tǒng)的零解是穩(wěn)定的。limtx2t+y2(t)12=（x02+y02）120然而，由于 所以該系統(tǒng)的零解不是漸近穩(wěn)定的。2、 常微分方程解的穩(wěn)定性的重要意義在實(shí)際情況中,干擾性因素總是不可避免的,因此穩(wěn)定性理論的研究有很重要的理論意義和實(shí)用價值,這也是穩(wěn)定性理論蓬勃發(fā)展的原因。李雅普諾夫首先給出了常微分方程解穩(wěn)定的嚴(yán)格定義(稱為“

8、李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性”) :如果對于任何正數(shù),無論它多么小,可以選取另一個正數(shù)() ,使得對于所有受干擾的運(yùn)動,當(dāng)其在初始時刻t0 時滿足| xs(t0)| ( s = 1, 2, , n)而在所有t > t0 時滿足不等式dxidt=f(t,x1,x2,xn)| xs ( t) | <( s = 1, 2, , n) 則 的未被擾動運(yùn)動(即xs=0, s=1, 2, , n)是穩(wěn)定的;反之,則稱未被擾動運(yùn)動是不穩(wěn)定的。這個定義簡單而有力,既反映了深刻的物理本質(zhì),又具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)含義,極大地推廣了不動點(diǎn)或平衡解的穩(wěn)定性定義,成為更嚴(yán)格、更自然的定義。接著,他又給出了兩種解題方法

9、: ( 1)冪級數(shù)展開法,適用于已知擾動運(yùn)動方程一個明確解(通常為無窮級數(shù)的形式)的情形。( 2)李雅普諾夫直接方法,即李雅普諾夫第二方法,至今它仍是解決穩(wěn)定性問題的主要工具。這種方法不用尋求運(yùn)動方程的特解與通解,只要結(jié)合實(shí)際的物理背景,構(gòu)造一類具有特殊性質(zhì)的李雅普諾夫函數(shù)V (x1, x2 ,xn),利用它控制積分曲線的動向,從而解決未被擾動運(yùn)動的穩(wěn)定性問題。 李雅普諾夫使用分析的方法,以嚴(yán)格的分析證明解決穩(wěn)定性問題。理論的嚴(yán)格性與徹底性是李雅普諾夫工作的顯著特征之一。如今,李雅普諾夫穩(wěn)定性理論被普遍認(rèn)為是微分方程定性理論的基本成就之一。不僅有精確的定義,更有嚴(yán)格的分析證明,將微分方程及穩(wěn)定

10、性理論的研究推向了新的高度。3、 李雅普諾夫第二方法3.1 李雅普諾夫函數(shù)的介紹李雅 李雅普諾夫創(chuàng)立了處理穩(wěn)定性問題的兩種方法：第一方法要利用微分方程的級數(shù)解，在他之后沒有得到大的發(fā)展；第二方法是在不求方程解的情況下，借助一個所謂的李雅普諾夫函數(shù)V(x)和通過微分方程所計算出來的導(dǎo)數(shù)dV(x)dt 的符號性質(zhì)，就能直接推斷出解的穩(wěn)定性，因此又稱為直接法。下面，先引入李雅普諾夫函數(shù)概念我們考慮自治系統(tǒng) dxdt=Fx , xRn (3.11) 假設(shè) Fx=(F1x , , Fn(x)T 在 G=xRn xK上連續(xù)，滿足局部利普希茨條件，且 F0=0 . 定義 3.1 若函數(shù) Vx: G R 滿足

11、 V 0=0 , Vx 和 Vxi (i=1,2,n) 都連續(xù)，且若存在 0<HK ,使在 D= x xH 上 V(x)0(0) ,則稱 Vx 是常正(負(fù))的;若在D上除 x0 外總有 V(x)>0(<0) ，則稱 V(x) 正(負(fù))的；既不是常正又不是常負(fù)的函數(shù)稱為變號函數(shù)。通常我們稱函數(shù)V(x) 為李雅普諾夫函數(shù)。例： 函數(shù) V=x12+x22 在 （x1 , x2） 平面上為正定的； 函數(shù) V=-(x12+x22) 在（x1 , x2） 平面上為負(fù)定的；函數(shù) V=x12-x22在（x1 , x2） 平面上是變號函數(shù)； 函數(shù) V=x12在（x1 , x2） 平面上是常正函

12、數(shù)；3.2 李雅普諾夫第二方法的相關(guān)定理定理 3.1對系統(tǒng) （3.11），若在區(qū)域D 上存在李雅普諾夫函數(shù)V(x)滿足 （1） 正定 （2） dVdt|3.11=i=1nVxiFi(x) 常負(fù)， 則 （3.11）的零解是穩(wěn)定的。證明：對任意 >0 （<H） ,記 =x|x=則由V(x) 正定，連續(xù)和 是有界閉集知 b=minxV(x)>0 由 V0=0 和 V(x) 連續(xù)知存在 >0（<），使當(dāng) x時，Vx<b ,于是有 x 時， xt, t0, x0< , tt0 (3.12) 若上述不等式不成立，有x<< 和 xt, t0, x0 的連

13、續(xù)性知存在 t1>t0 當(dāng) t t0 , t1) 時，xt, t0, x0< ， 而xt, t0, x0= 。那么由 b 的定義，有 V(xt, t0, x0)b (3.13)dV(xt, t0, x0)dt0 另一方面，由條件（2）知 在 t0 , t1 上成立，即 tt0 , t1 時， V(xt, t0, x0)V(x0)<b 自然有V(xt, t0, x0)<b ，與 （3.13）矛盾，即（3.12）成立。引理 若Vx 是正定（或負(fù)定）的李雅普諾夫函數(shù)，且對連續(xù)有界函數(shù) x(t) 有 limtV(xt)=0則limtxt=0定理 3.2對系統(tǒng) （3.11），若在

14、區(qū)域D 上存在李雅普諾夫函數(shù)V(x)滿足（1） 正定 （2） dVdt|3.11=i=1nVxiFi(x) 負(fù)定，則 （3.11）的零解是漸近穩(wěn)定。 證明： 由定理（3.1）知（3.11）的零解是穩(wěn)定的。取 為定理（3.1）的證明過程中的 ，于是當(dāng) x 時，V(xt, t0, x0) 單調(diào)下降。若x0=0 ,則由唯一性知 xt, t0, x00 ，自然有l(wèi)imt+xt, t0, x0=0 不妨設(shè) x00 .由初值問題解的唯一性，對任意t ，(xt, t0, x00 。 從而由V(x) 的正定性知 V(xt, t0, x0)>0 總成立，那么存在 a0 使 limt+Vxt, t0, x0

15、=a 假設(shè) a>0 ,聯(lián)系到 V(xt, t0, x0)的單調(diào)性有 a<Vxt, t0, x0<Vx0 對tt0 成立，從而由V0=0 知存在 h>0 ,使tt0 時， h<xt, t0, x0< (3.16)成立。 由條件（2）有 M=maxhxdVdt<0故從（3.16）知 dVxt, t0, x0dtM對上述不等式兩端從t0 到 t>t0 積分得 Vxt, t0, x0-V(x0)M(t-t0)該不等式意味著 limt+Vxt, t0, x0=+矛盾，故 a=0 ,即 limt+Vxt, t0, x0=0 由于零解是穩(wěn)定的，所以 xt, t

16、0, x0 在t0 , + 上有界，再由引理知 limt+xt, t0, x0=0 。 定理證畢定理 3.3對系統(tǒng) （3.11），若在區(qū)域D 上存在李雅普諾夫函數(shù)V(x)滿足（1） dVdt|3.11=i=1nVxiFi(x) 正定 （2） V(x) 不是常負(fù)函數(shù)則系統(tǒng)（3.11）的零解是不穩(wěn)定的.4、 李雅普諾夫第二方法的構(gòu)造和應(yīng)用4.1 李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造在判定系統(tǒng)是自治的情況下，微分方程的穩(wěn)定性和將近穩(wěn)定性，可以構(gòu)造如下形式的李雅普諾夫函數(shù)（1） 二維空間： Vx1 ,x2=aa12n+bx22m 這里 a ,b >0 ,m,n為正整數(shù) （2） n維空間 Vx1,xn=a1x12

17、n1+a2x22n2+anxn2nn其中 a1,a2,an 同號，n1,n2,nn 都是正整數(shù). 這樣構(gòu)造的整數(shù) V(x1,x2) ,V(x1,x2,xn) 都是定號函數(shù)且不含t， 也就有無窮小上界的性質(zhì)。 4.2 李雅普諾夫第二方法的應(yīng)用例1: 討論方程組零解的穩(wěn)定性dxdt=xy-x3+ydydt=x4-x2y-x3 解： 取函數(shù) V=14x4+12y2 是正定函數(shù)。沿方程的全導(dǎo)數(shù)為 dvdt=x3xy-x3+y+yx4-x2y-x3=-x2(x2-y2)20(常負(fù)函數(shù))。由定理（3.1）知零解穩(wěn)定。 例2： 研究質(zhì)點(diǎn)振動方程md2xdt2+adxdt+bx=0 (m>0,a,b>0) 零解穩(wěn)定性。解： 原振動方程可轉(zhuǎn)化為 零解對應(yīng)平衡點(diǎn) （0,0）dxdt=ydydt=-bmx-amy V=m2y2+b2x2 取函數(shù) 是正定函數(shù)，沿方程的導(dǎo)數(shù)為dvdt=my-bmx-amy+bxy=-ay20 (常負(fù)函數(shù))。 由定理3.1 知，零解穩(wěn)定. 例3： 討論方程組零解穩(wěn)定性dxdt=-3x+y-z+3x(6x2+5y2+2z2)dydt=-2x-5y+z+5y(6x2+5y2+2z2)dzdt=2x-y-2z+2z(6x2+5y2+2z2) 解： 取 Vx,y,z=2x2+y2+z2 是正定函數(shù)，沿方程對t求