理科高三數(shù)學(xué)教案：排列組合總復(fù)習(xí)

1、.理科高三數(shù)學(xué)教案：排列組合總復(fù)習(xí)【】鑒于大家對查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)非常關(guān)注，小編在此為大家搜集整理了此文理科高三數(shù)學(xué)教案：排列組合總復(fù)習(xí)，供大家參考!本文題目：理科高三數(shù)學(xué)教案：排列組合總復(fù)習(xí)第十二章 排列組合、二項式定理、概率高考導(dǎo)航考試要求 重難點擊 命題展望排列組合 1.理解并運用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題;2.理解排列、組合的概念;能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實際問題;3.能用計數(shù)原理證明二項式定理; 會用 二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題. 本章重點：排列、組合的意義及其計算方法，二項式定理的應(yīng)用.本章難點：用二項式定理解決

2、與二項展開式有關(guān)的問題. 排列組合是學(xué)習(xí)概率的根底，其核心是兩個根本原理.高考中著重考察兩個根本原理，排列組合的概念及二項式定理.隨機事件的概率 1.理解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，理解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別;2.理解兩個互斥事件的概率加法公式和互相獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式;3.理解古典概型及其概率計算公式;會計算一些隨機事件所包含的根本領(lǐng)件的個數(shù)及事件發(fā)生的概率;4.理解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率，理解幾何概型的意義. 本章重點：1.隨機事件、互斥事件及概率的意義，并會計算互斥事件的概率;2.古典概型、幾何概型的概率計算.本章難點：1.互斥事件的判斷及互斥事

3、件概率加法公式的應(yīng)用;2.可以轉(zhuǎn) 化為幾何概型求概率的問題. 本部分要求考生能從集合的思想觀點認(rèn)識事件、互斥事件與對立事件，進(jìn)而理解概率的性質(zhì)、公式，還要求考生理解幾何概型與隨機數(shù)的意義.在高考中注重考察根底知識和根本方法的同時，還常考察分類與整合，或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，邏輯思維才能以及運用概率知識解決實際問題的才能.離散型隨機變量 1.理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念，理解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性;2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)展簡單的應(yīng)用;3.理解條件概率和兩個事件互相獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題;4.理解取有限

4、值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題;5.利用實際問題的直方圖，認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義. 本章重點：1.離散型隨機變量及其分布列; 2.獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布.本章難點：1.利用離散型隨機變量的均值、方差解決一些實際問題;2.正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義. 求隨機變量的分布列與期望，以及在此根底上進(jìn)展統(tǒng)計分析是近幾年來較穩(wěn)定的高考命題態(tài)勢.考生應(yīng)注重對特殊分布如二項分布、超幾何分布的理解和對事件的意義的理解.知識網(wǎng)絡(luò)12.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理典例精析題型一 分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用【例1】

5、 在1到20這20個整數(shù)中，任取兩個數(shù)相加，使其和大于20，共有種取法.【解析】當(dāng)一個加數(shù)是1時，另一個加數(shù)只能是20，有1種取法;當(dāng)一個加數(shù)是2時，另一個加數(shù)可以是19,20，有2種取法;當(dāng)一個加數(shù)是3時，另一個加數(shù)可以是18,19,20，有3種取法;當(dāng)一個加數(shù)是10時，另一個加數(shù)可以是11,12，19,20，有10種取法;當(dāng)一個加數(shù)是11時，另一個加數(shù)可以是12,13，19,20，有9種取法;當(dāng)一個加數(shù)是19時，另一個加數(shù)只能是20，有1種取法.由分類加法計數(shù)原理可得共有1+2+3+10+9+8+1=100種取法.【點撥】采用列舉法分類，先確定一個加數(shù)，再利用和大于20確定另一個加數(shù).【變

6、式訓(xùn)練1】2019濟南市模擬從集合1,2,3，10中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為A.3 B.4 C.6 D.8【解析】當(dāng)公比為2時，等比數(shù)列可為1,2,4或2,4,8;當(dāng)公比為3時，等比數(shù)列可為1,3,9;當(dāng)公比為32時，等比數(shù)列可為4,6,9.同理，公比為12、13、23時，也有4個.應(yīng)選D.題型二 分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用【例2】 從6人中選4人分別到張家界、韶山、衡山、桃花源四個旅游景點游覽，要求每個旅游景點只有一人游覽，每人只游覽一個旅游景點，且6個人中甲、乙兩人不去張家界游覽，那么不同的選擇方案共有 種.【解析】能去張家界的有4人，依此能去韶山、衡

7、山、桃花源的有5人、4人、3人.那么由分步乘法計數(shù)原理得不同的選擇方案有4543=240種.【點撥】根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏.【變式訓(xùn)練2】2019湘潭市調(diào)研要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，現(xiàn)有5人，每人可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一人值班，問此值班表共有種不同的排法.【解析】依題意，值班表須一天一天分步完成.第一天有5人可選有5種方法，第二天不能用第一天的人有4種方法，同理第三天、第四天、第五天也都有4種方法，由分步乘法計數(shù)原理共有54444=1 280種方法.題型三 分類和分步計數(shù)原理

8、綜合應(yīng)用【例3】2019長郡中學(xué)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色4種顏色全部使用，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂一樣的顏色，那么不同的涂色種數(shù)有.【解析】方法一：由題意知，有且僅有兩個區(qū)域涂一樣的顏色，分為4類：1與5同;2與5同;3與5同;1與3同.對于每一類有A44種涂法，共有4A44=96種方法.方法二：第一步：涂區(qū)域1，有4種方法;第二步：涂區(qū)域2，有3種方法;第三步：涂區(qū)域4，有2種方法此前三步已經(jīng)用去三種顏色;第四步：涂區(qū)域3，分兩類：第一類，3與1同色，那么區(qū)域5涂第四種顏色;第二類，區(qū)域3與1不同色，那么涂第四種顏色，此時區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中

9、的任意一種顏色，有3種方法.所以，不同的涂色種數(shù)有43211+13=96種.【點撥】染色問題是排列組合中的一類難題.此題能運用兩個根本原理求解，要注意的是分類中有分步，分步后有分類.【變式訓(xùn)練3】2020深圳市調(diào)研用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號為1,2，9的9個小正方形，使得任意相鄰有公共邊小正方形所涂顏色都不一樣，且1,5,9號小正方形涂一樣顏色，那么符合條件的所有涂法有多少種?【解析】第一步，從三種顏色中選一種顏色涂1,5,9號有C13種涂法;第二步，涂2,3,6號，假設(shè)2,6同色，有4種涂法，假設(shè)2,6不同色，有2種涂法，故共有6種涂法;第三步，涂4,7,8號，同第二步，共有6種涂法.

10、由分步乘法原理知共有366=108種涂法.總結(jié)進(jìn)步分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理答復(fù)的都是完成一件事有多少種不同方法或種數(shù)的問題，其區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理是完成一件事要分假設(shè)干類，類與類之間要互斥，用任何一類中的任何一種方法都可以獨立完成這件事;分步乘法計數(shù)原理是完成一件事要分假設(shè)干步，步驟之間互相獨立，各個步驟互相依存，缺少其中任何一步都不能完成這件事，只有當(dāng)各個步驟都完成之后，才能完成該事件.因此，分清完成一件事的方法是分類還是分步，是正確使用這兩個根本計數(shù)原理的根底.12.2 排列與組合典例精析題型一 排列數(shù)與組合數(shù)的計算【例1】 計算：18!+A66A28-A410;2 C33

11、+C34+C310.【解析】1原式=87654321+65432187-10987=576543256-89=-5 130623.2原式=C44+C34+C35+C310=C45+C35+C310=C46+C36+C310=C411=330.【點撥】在使用排列數(shù)公式Amn=n!n-m!進(jìn)展計算時，要注意公式成立的條件：m，nN+，mn.另外，應(yīng)注意組合數(shù)的性質(zhì)的靈敏運用.【變式訓(xùn)練1】解不等式 6 .【解析】原不等式即9!9-x!9!11-x!，也就是19-x! ，化簡得x2-21x+1040，解得x8或x13，又因為29，且xN*，所以原不等式的解集為2,3,4,5,6,7.題型二 有限制條

12、件的排列問題【例2】 3男3女共6個同學(xué)排成一行.1女生都排在一起，有多少種排法?2女生與男生相間，有多少種排法?3任何兩個男生都不相鄰，有多少種排法?43名男生不排在一起，有多少種排法?5男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種排法?【解析】1將3名女生看作一人，就是4個元素的全排列，有A44種排法.又3名女生內(nèi)部可有A33種排法，所以共有A44A33=144種排法.2男生自己排，女生也自己排，然后相間插入此時有2種插法，所以女生與男生相間共有2A33A33=72種排法.3女生先排，女生之間及首尾共有4個空隙，任取其中3個安插男生即可，因此任何兩個男生都不

13、相鄰的排法共有A33A34=144種.4直接分類較復(fù)雜，可用間接法.即從6個人的排列總數(shù)中，減去3名男生排在一起的排法種數(shù)，得3名男生不排在一起的排法種數(shù)為A66-A33A44=576種.5先將2個女生排在男生甲、乙之間，有A23種排法.又甲、乙之間還有A22種排法.這樣就有A23A22種排法.然后把他們4人看成一個元素相當(dāng)于一個男生，這一元素及另1名男生排在首尾，有A22種排法.最后將余下的女生排在其間，有1種排法.故總排法為A23A22A22=24種.【點撥】排列問題的本質(zhì)就是元素占位子問題，有限制條件的排列問題的限制主要表如今：某些元素排或不排在哪個位子上，某些元素相鄰或不相鄰.對于這類

14、問題，在分析時，主要按照優(yōu)先原那么，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，對于相鄰問題可用捆綁法，對于不相鄰問題可用插空法.對于直接考慮較困難的問題，可以采用間接法.【變式訓(xùn)練2】把1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排列構(gòu)成一個數(shù)列.143 251是這個數(shù)列的第幾項?2這個數(shù)列的第97項是多少?【解析】1不大于43 251的五位數(shù)A55-A44+A33+A22=88個，即為此數(shù)列的第88項.2此數(shù)列共有120項，而以5開頭的五位數(shù)恰好有A44=24個，所以以5開頭的五位數(shù)中最小的一個就是該數(shù)列的第97項，即51 234.題型三 有限制條件的組合問題【例

15、3】 要從12人中選出5人去參加一項活動.1A，B，C三人必須入選有多少種不同選法?2A，B，C三人都不能入選有多少種不同選法?3A，B，C三人只有一人入選有多少種不同選法?4A，B，C三人至少一人入選有多少種不同選法?5A，B，C三人至多二人入選有多少種不同選法?【解析】1只須從A，B，C之外的9人中選擇2人，C29=36種不同選法.2由A，B，C三人都不能入選只須從余下9人中選擇5人，即有C59=C49=126種選法.3可分兩步，先從A，B，C三人中選出1人，有C13種選法，再從余下的9人中選4人，有C49種選 法，所以共有C13C49=378種選法.4可考慮間接法，從12人中選5人共有C

16、512種，再減去A，B，C三人都不入選的情況C59，共有C512-C59=666種選法.5可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種，再減去A，B，C三人都入選的情況C29種，所以共有C512-C29=756種選法.【點撥】遇到至多、至少的有關(guān)計數(shù)問題，可以用間接法求解.對于有限制條件的問題，一般要根據(jù)特殊元素分類.【變式訓(xùn)練3】四面體的頂點和各棱中點共有10個點.1在其中取4個共面的點，共有多少種不同的取法?2在其中取4個不共面的點，共有多少種不同的取法?【解析】1四個點共面的取法可分三類.第一類：在同一個面上取，共有4C46種;第二類：在一條棱上取三點，再在它所對的棱上取中點，共有6種;

17、第三類：在六條棱的六個中點中取，取兩對對棱的4個中點，共有C23=3種.故有69種.2用間接法.共C410-69=141種.總結(jié)進(jìn)步解有條件限制的排列與組合問題的思路：1正確選擇原理，確定分類或分步計數(shù);2特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮;3再考慮其余元素或其余位置.12.3 二項式定理典例精析題型一 二項展開式的通項公式及應(yīng)用【例1】 的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列.1求證：展開式中沒有常數(shù)項;2求展開式中所有的有理項.【解析】由題意得2C1n =1+C2n 2，即n2-9n+8=0，所以n=8，n=1舍去.所以Tr+1= =- r=-1r 08，rZ.1假設(shè)Tr+1是常數(shù)項，那么1

18、6-3r4=0，即16-3r=0，因為rZ，這不可能，所以展開式中沒有常數(shù)項.2假設(shè)Tr+1是有理項，當(dāng)且僅當(dāng)16-3r4為整數(shù)，又08，rZ，所以 r=0,4,8，即展開式中有三項有理項，分別是T1=x4，T5=358 x，T9=1256 x-2.【點撥】1把握住二項展開式的通項公式，是掌握二項式定理的關(guān)鍵.除通項公式外，還應(yīng)純熟掌握二項式的指數(shù)、項數(shù)、展開式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì);2應(yīng)用通項公式求二項展開式的特定項，如求某一項，含x某次冪的項，常數(shù)項，有理項，系數(shù)最大的項等，一般是應(yīng)用通項公式根據(jù)題意列方程，在求得n或r后，再求所需的項要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系;3 注意區(qū)分展開式第r

19、+1項的二項式系數(shù)與第r+1項的系數(shù).【變式訓(xùn)練1】假設(shè)xx+ n的展開式的前3項系數(shù)和為129，那么這個展開式中是否含有常數(shù)項，一次項?假如有，求出該項，假如沒有，請說明理由.【解析】由題知C0n+C1n2+C2n22=129，所以n=8，所以通項為Tr+1=Cr8xx8-r = ，故r=6時，T7=26C28x=1 792x，所以不存在常數(shù)項，而存在一次項，為1 792x.題型二 運用賦值法求值【例2】11+x+1+x2+1+xn=a0+a1x+a2x2+anxn，且a1+a2+an-1=29-n，那么n=;21-xn=a0+a1x+a2x2+anxn，假設(shè)5a1+2a2=0，那么a0-a

20、1+a2-a3+-1nan=.【解析】1易知an=1，令x=0得a0=n，所以a0+a1+an=30.又令x=1，有2+22+2n=a0+a1+an=30，即2n+1-2=30，所以n=4.2由二項式定理得，a1=-C1n=-n，a2=C2n=nn-12，代入得-5n+nn-1=0，所以n=6，令x=-1得1+16=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6，即a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=64.【點撥】運用賦值法求值時應(yīng)充分抓住代數(shù)式的構(gòu)造特征，通過一些特殊值代入構(gòu)造相應(yīng)的構(gòu)造.【變式訓(xùn)練2】設(shè)3x-18=a0+a1x+a2x2+a7x7+a8x8.求a0+a2+a4+a6+a8的

21、值.【解析】令fx=3x-18，因為f1=a0+a1+a2+a8=28，f-1=a0-a1+a2-a3+-a7+a8=48，所以a0+a2+a4+a6+a8=f1+f-12=271+28.題型三 二項式定理的綜合應(yīng)用【例3】求證：46n+5 n+1-9能被20整除.【解析】46n+5n+1-9=46n-1+55n-1=45+1n-1+54+1n-1=205n-1+C1n5n-2+Cn-1n+4n-1+C1n4n-2+Cn-1n，是20的倍數(shù)，所以46n+5n+1-9能被20整除.【點撥】用二項式定理證明整除問題時，首先需注意a+bn中，a，b中有一個是除數(shù)的倍數(shù);其次展開式有什么規(guī)律，余項是什

22、么，必須清楚.【變式訓(xùn)練3】求0.9986的近似值，使誤差小于0.001.【解析】0.9986=1-0.0026=1+6-0.0021+15-0.0022+-0.0026.因為T3=C26-0.0022=15-0.0022=0.000 060.001，且第3項以后的絕對值都小于0.001，所以從第3項起，以后的項都可以忽略不計.所以0.9986=1-0.00261+6-0.002=1-0.012=0.988.總結(jié)進(jìn)步1.利用通項公式可求展開式中某些特定項如常數(shù)項、有理項、二項式系數(shù)最大項等，解決這些問題通常采用待定系數(shù)法，運用通項公式寫出待定式，再根據(jù)待定項的要求寫出n、r滿足的條件，求出n和

23、r，再確定所需的項;2.賦值法是解決二項展開式的系數(shù)和、差問題的一個重要手段;3.利用二項式定理解決整除問題時，關(guān)鍵是進(jìn)展合理的變形，使得二項展開式的每一項都成為除數(shù)的倍數(shù).對于余數(shù)問題，要注意余數(shù)的取值范圍.12.4 隨機事件的概率與概率的根本性質(zhì)典例精析題型一 頻率與概率【例1】某企業(yè)消費的乒乓球被08年北京奧委會指定為乒乓球比賽專用球.日前有關(guān)部門對某批產(chǎn)品進(jìn)展了抽樣檢測，檢查結(jié)果如下表所示.抽取球數(shù)n 50 100 200 500 1 000 2 000優(yōu)等品數(shù)m 45 92 194 470 954 1 902優(yōu)等品頻率1計算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率;2從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個，質(zhì)量檢

24、查為優(yōu)等品的概率是多少?結(jié)果保存到小數(shù)點后三位【解析】1根據(jù)公式 ，計算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.2由1知，抽取的球數(shù)n不同，計算得到的頻率值不同，但隨著抽取的球數(shù)的增多，卻都在常數(shù)0.950的附近擺動，所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率為0.950.【點撥】從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)所抽乒乓球較少時，優(yōu)等品的頻率波動很大，但當(dāng)抽取的球數(shù)很大時，頻率根本穩(wěn)定在0.95，在其附近擺動，利用概率的統(tǒng)計定義，可估計該批乒乓球的優(yōu)等率.【變式訓(xùn)練1】某籃球運發(fā)動在最近幾場比賽中罰球的結(jié)果如下.投籃次數(shù)n 8 10 12 9 10 1

25、6進(jìn)球次數(shù)m 6 8 9 7 7 12進(jìn)球頻率1計算表中進(jìn)球的頻率;2這位運發(fā)動投籃一次，進(jìn)球的概率是多少?【解析】1由公式計算出每場比賽該運發(fā)動罰球進(jìn)球的頻率依次為：2由1知，每場比賽進(jìn)球的頻率雖然不同，但頻率總在 附近擺動，可知該運發(fā)動進(jìn)球的概率為 .題型二 隨機事件間的關(guān)系【例2】從一副橋牌52張中任取1張.判斷以下每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件.1抽出紅桃與抽出黑桃2抽出紅色牌與抽出黑色牌3抽出的牌點數(shù)為3的倍數(shù)與抽出的牌點數(shù)大于10.【解析】1是互斥事件但不是對立事件.因為抽出紅桃與抽出黑桃在僅取一張時不可能同時發(fā)生，因此是互斥的.同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，因為還可能抽

26、出方塊或梅花，因此兩者不對立.2是互斥事件又是對立事件.因為兩者不可同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生.3不是互斥事件，更不是對立事件.因為抽出的牌點數(shù)為3的倍數(shù)與抽出的牌點數(shù)大于10這兩個事件有可能同時發(fā)生，如抽得12.【點撥】要區(qū)分互斥事件和對立事件的定義.【變式訓(xùn)練2】抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，那么A的對立事件為A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.至多兩件正品 D.至少兩件正品【解析】根據(jù)對立事件的定義得選項B.題型三 概率概念的應(yīng)用【例3】 甲、乙兩個班級進(jìn)展數(shù)學(xué)考試，按照大于或等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計后，得到如以下聯(lián)表.優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計甲 10乙 30

27、總計 105從全部105人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為 .1請完成上面列聯(lián)表;2根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，假設(shè)按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為成績與班級有關(guān)系參考數(shù)據(jù)PK26.635=0.05;3假設(shè)按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10人按2到11進(jìn)展編號，然后兩次擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的編號.試求抽到6號或10號的概率.【解析】1優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計甲 10 45 55乙 20 30 50總計 30 75 1052計算K2的一個觀測值k= =6.109.因為6.1096.635，所以沒有95%的把握認(rèn)為成績與班級有關(guān).3記被抽取人的序號為，那么P=6= ，P=10

28、= ，所以P=6或=10=P=6+P=10= = .【點撥】此題考察概率的概念在實際生活中的應(yīng)用.【變式訓(xùn)練3】袋內(nèi)有35個球，每個球上都記有從135中的一個號碼，設(shè)號碼為n的球的重量為 -5n+20克，這些球以等可能性從袋里取出不受重量、號碼的影響.1假如取出1球，試求其重量比號碼數(shù)大5的概率;2假如任意取出2球，試求它們重量相等的概率.【解析】1由不等式 -5n+20n+5，得n15或n3，由題意知n=1,2或者n=16,17，35，于是所求概率為 .2設(shè)第n號和第m號的兩個球的重量相等，其中n所以n-mn+m-15=0.因為nm，所以n+m=15，所以n，m=1,14，2,13，7,8.

29、故所求概率為 .總結(jié)進(jìn)步1.對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件.集合A的對立事件記作 ，從集合的角度來看，事件 所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補集，即A =U，A = .對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件.事件A、B的和記作A+B，表示事件A、B至少有一個發(fā)生.當(dāng)A、B為互斥事件時，事件A+B是由A發(fā)生而B不發(fā)生以及B發(fā)生而A不發(fā)生構(gòu)成的.當(dāng)計算事件A的概率PA比較困難時，有時計算它的對立事件 的概率那么要容易些，為此有PA=1-P .2.假設(shè)A與B互相獨立，那么 與 ，A與 ， 與B都是互相獨立事件.判斷A與B是

30、否獨立的方法是看PAB=PAPB是否成立.12.5 古典概型典例精析題型一 古典概率模型的計算問題【例1】一汽車廠消費A、B、C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表單位：輛，轎車A 轎車B 轎車C舒適型 100 150 z標(biāo)準(zhǔn)型 300 450 600現(xiàn)按分層抽樣的方法在這個月消費的轎車中抽取50輛，其中有A類10輛.1求z的值;2用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本視為一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率;3用隨機抽樣方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,

31、8.2把這8輛車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.【解析】1依題意知，從每層抽取的比率為140，從而轎車的總數(shù)為5040=2 000輛，所以z=2 000-100-150-300-450-600=400.2由1知C類轎車共1 000輛，又樣本容量為5，故抽取的比率為1200，即5輛轎車中有2輛舒適型、3輛標(biāo)準(zhǔn)型，任取2輛，一共有n=10種不同取法，記事件A：至少有1輛舒適型轎車，那么事件 表示抽取到2輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，有m=3種不同取法，從而事件A包含：根本領(lǐng)件數(shù)為m=7種，所以PA=710.3樣本平均數(shù) =189.4+8.6+9.2+9.6+8

32、.7+9.3+9.0+8.2=9.0，記事件B：從樣本中任取一數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)的絕對值不超過0.5，那么事件B包含的根本領(lǐng)件有6種，所以PB=68=34.【點撥】利用古典概型求事件的概率時，主要弄清根本領(lǐng)件的總數(shù)，及所求事件所含的根本領(lǐng)件的個數(shù).【變式訓(xùn)練1】ABC的三邊是10以內(nèi)不包含10的三個連續(xù)的正整數(shù)，求任取一個ABC是銳角三角形的概率.【解析】依題意不妨設(shè)a=n-1，b=n，c=n+1n1，nN，從而有a+bc，即n2，所以ABC的最小邊為2，要使ABC是銳角三角形，只需ABC的最大角C是銳角，cos C=n-12+n2-n+122n-1n=n-42n-10，所以n4，所以，要使

33、ABC是銳角三角形，ABC的最小邊為4.另一方面，從2,3,4，9中，任取三個連續(xù)正整數(shù)共有6種根本情況，ABC是銳角三角形包含4種情況，故所求的概率為46=23.題型二 有放回抽樣與不放回抽樣【例2】 現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品.1假如從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率;2假如從中一次取3件，求3件都是正品的概率.【解析】1有放回地抽取3次，按抽取順序x，y，z記錄結(jié)果，那么x，y，z都有10種可能，所以試驗結(jié)果有101010=103種;設(shè)事件A為連續(xù)3次都取正品，那么包含的根本領(lǐng)件共有888=83 種，因此，PA= =0.512.2方法

34、一：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，根本領(lǐng)件不同，按抽取順序記錄x，y，z，那么x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結(jié)果為1098=720種.設(shè)事件B為3件都是正品，那么事件B包含的根本領(lǐng)件總數(shù)為876=336， 所以PB=3367200.467.方法二：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序x，y，z記錄結(jié)果，那么x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但x，y，z，x，z，y，y，x，z，y，z，x，z，x，y，z，y，x是一樣的，所以試驗的所有結(jié)果有10986=120.按同樣的方法，事件B包含的根本領(lǐng)件個數(shù)為8766=56，因此PB=561200.467.

35、【點撥】關(guān)于不放回抽樣，計算根本領(lǐng)件個數(shù)時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結(jié)果是一樣的，但不管選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否那么會導(dǎo)致錯誤.【變式訓(xùn)練2】有5張卡片，上面分別寫有0,1,2,3,4中的1個數(shù).求：1從中任取兩張卡片，兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的概率;2從中任取兩次卡片，每次取一張，第一次取出卡片，記下數(shù)字后放回，再取第二次，兩次取出的卡片上的數(shù)字之和恰好等于4的概率.【解析】1兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的情形共有4種，任取兩張卡片共有10種，所以概率為P=410=25;2兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的情形共有5種，任取兩張卡片共有25種，所以概率為P=52

36、5=15.題型三 古典概型問題的綜合應(yīng)用【例3】 甲、乙兩袋裝有大小一樣的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球;乙袋裝有2個紅球，n個白球.從甲、乙兩袋中各任取2個球.1假設(shè)n=3，求取到的4個球全是紅球的概率;2假設(shè)取到的4個球中至少有2個紅球的概率為34，求n.【解析】1記取到的4個球全是紅球為事件A，PA=C22C24C22C25=16110=160.2記取到的4個球至多有1個紅球為事件B，取到的4個球只有1個紅球為事件B1，取到的4個球全是白球為事件B2.由題意，得PB=1-34=14.PB1=C12C12C24C2nC2n+2+C22C24C12C1nC2n+2=2n23n+2n+

37、1，PB2=C22C24C2nC2n+2=nn-16n+2n+1.所以PB=PB1+PB2=2n23n+2n+1+nn-16n+2n+1=14，化簡得7n2-11n-6=0，解得n=2或n=-37舍去，故n=2.【變式訓(xùn)練3】甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10道不同的題目，其中選擇題6道，判斷題4道，甲、乙二人一次各抽取一題.1甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少?2甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是多少?【解析】1甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有C16個，乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是C 14，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結(jié)果為C16C14=24.又甲、乙二人一次各抽取一題

38、的結(jié)果有C110C19=90，所以概率為2490=415.2甲、乙二人一次各抽取一題根本領(lǐng)件的總數(shù)是109=90.方法一：分類計數(shù)原理只有甲抽到了選擇題的事件數(shù)是：6只有乙抽到了選擇題的事件數(shù)是：6甲、乙同時抽到選擇題的事件數(shù)是：65=30.故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是24+24+3090=1315.方法二：利用對立事件事件甲、乙二人至少有一個抽到選擇題與事件甲、乙兩人都未抽到選擇題是對立事件.事件甲、乙兩人都未抽到選擇題的根本領(lǐng)件個數(shù)是43=12.故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是1-1290=1-215=1315.總結(jié)進(jìn)步1.對古典概型首先必須使學(xué)生明確判斷兩點：對于每個

39、隨機試驗來說，所有可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果數(shù)n必須是有限個;出現(xiàn)的各個不同的試驗結(jié)果數(shù)m其可能性大小必須是一樣的.只有在同時滿足、的條件下，運用的古典概型計算公式PA=mn得出的結(jié)果才是正確的.使用公式PA=mn計算時，確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在.2.對于n個互斥事件A1，A2，An，其加法公式為PA1+A2+An=PA1+PA2+PAn.3.分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導(dǎo)思想.4.在應(yīng)用題背景條件下，能否把一個復(fù)雜事件分解為假設(shè)干個互相排斥或互相獨立、既不重復(fù)又不遺漏的簡單事件是解答這類應(yīng)用題的關(guān)鍵，也是考察學(xué)生分析問題、解決問題的才能的重要環(huán)節(jié).12.6 幾何概型典例

40、精析題型一 長度問題【例1】如圖，AOB=60，OA=2，OB=5，在線段OB上任取一點C，試求：1AOC為鈍角三角形的概率;2AOC為銳角三角形的概率.【解析】如圖，由平面幾何知識知：當(dāng)ADOB時，OD=1;當(dāng)OAAE時，OE=4，BE=1.1當(dāng)且僅當(dāng)點C在線段OD或BE上時，AOC為鈍角三角形.記AOC為鈍角三角形為事件M，那么PM=OD+EBOB=1+15=0.4，即AOC為鈍角三角形的概率為0.4.2當(dāng)且僅當(dāng)點C在線段DE上時，AOC為銳角三角形.記AOC為銳角三角為事件N，那么PN=DEOB=35=0.6，即AOC為銳角三角形的概率為0.6.【點撥】我們把每一個事件理解為從某個特定的

41、區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的時機都一樣，而一個事件發(fā)生那么理解為恰好在上述區(qū)域內(nèi)的某個指定的區(qū)域內(nèi)的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型求解.【變式訓(xùn)練1】點A為周長等于3的圓周上的一個定點，假設(shè)在該圓周上隨機取一點B，那么劣弧AB的長度小于1的概率為 .【解析】如圖可設(shè) =1，那么根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長3，那么其概率是23.題型二 面積問題【例2】 兩個CB對講機CB即CitizenBand民用波段的英文縮寫持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運公司工作，他們的對講機的接收范圍為25公里，在下午3：00時莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00

42、時正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問在下午3：00時他們可以通過對講機交談的概率有多大?【解析】設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距基地的間隔 ，于是030,040.他們所有可能的間隔 的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點對x，y，這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，那么所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合即為根本領(lǐng)件組對應(yīng)的幾何區(qū)域，每一個幾何區(qū)域中的點都代表莉莉和霍伊的一個特定的位置， 他們可以通過對講機交談的事件僅當(dāng)他們之間的間隔 不超過25公里時發(fā)生如以下圖，因此構(gòu)成該事件的點由滿足不等式x2+y225的數(shù)對組成，此不等式等價于x2+y2625，右圖中的方形區(qū)域代表根本領(lǐng)件組，陰影部分代表所求事件，方形

43、區(qū)域的面積為1 200平方公里，而事件的面積為14252=6254，于是有P=62541 200=6254 8000.41.【點撥】解決此類問題，應(yīng)先根據(jù)題意確定該實驗為幾何概型，然后求出事件A和根本領(lǐng)件的幾何度量，借助幾何概型的概率公式求出.【變式訓(xùn)練2】如圖，以正方形ABCD的邊長為直徑作半圓，重疊部分為花瓣.如今向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一飛鏢，求飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率.【解析】飛鏢落在正方形區(qū)域內(nèi)的時機是均等的，符合幾何概型條件.記飛鏢落在花瓣內(nèi)為事件A，設(shè)正方形邊長為2r，那么P A=S花瓣SABCD=12r24-2r22r2=-22.所以，飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率為-22.題型三 體積問

44、題【例3】 在線段0,1上任意投三個點，設(shè)O至三點的三線段長為x、y、z，研究方法說明：x，y，z能構(gòu)成三角形只要點x，y，z 落在棱長為1的正方體T的內(nèi)部由ADC，ADB，BDC，AOC，AOB，BOC所圍成的區(qū)域G中如圖，那么x，y，z能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大?【解析】VT=1，VG=13-3131213=12，所以P=VGVT=12.由此得，能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大.【點撥】因為任意投的三點x，y，z是隨機的，所以使得能構(gòu)成三角形只與能構(gòu)成三角形的區(qū)域及根本領(lǐng)件的區(qū)域有關(guān).【變式訓(xùn)練3】正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O，那么在正

45、方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取點M，點M在球O內(nèi)的概率是A.8 C.12【解析】設(shè)正方體的棱長為a，那么點M在球O內(nèi)的概率P=V球V正方體=43a23a3=6，選C.總結(jié)進(jìn)步1.幾何概型是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗的可能結(jié)果不是有限個.其特點是在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀和位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān).假如隨機事件所在區(qū)域是一個單點，其測度為0，那么它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件. 假如隨機事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點， 其測度為1，那么它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件.2.假設(shè)試驗的全部結(jié)果是一個包含無限個點的區(qū)域長度，面積，體積，一

46、個根本領(lǐng)件是區(qū)域中的一個點.此時用點數(shù)度量事件A包含的根本領(lǐng)件的多少就毫無意義.等可能性可以理解成對任意兩個區(qū)域，當(dāng)它們的測度長度，面積，體積，相等時，事件A對應(yīng)點落在這兩區(qū)域上的概率相等，而與形狀和位置都無關(guān).3.幾何概型并不限于向平面或直線、空間投點的試驗，假如一個隨機試驗有無限多個等可能的根本結(jié)果，每個根本結(jié)果可以用平面或直線、空間中的一點來表示，而所有根本結(jié)果對應(yīng)于一個區(qū)域，這時，與試驗有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決.12.7 條件概率與事件的獨立性典例精析題型一 條件概率的求法【例1】一張儲蓄卡的密碼共6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從09中任選一個.某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼

47、的最后一位數(shù)字，求：1任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率;2假如他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率.【解析】設(shè)第i次按對密碼為 事件Aii=1,2，那么A=A1 A2表示不超過2次就按對密碼.1因為事件A1與事件 A2互斥，由概率的加法公式得PA=PA1+P A2=110+91109=15.2用B表示最后一位是偶數(shù)的事件，那么PA|B=PA1|B+P A2|B=15+4154=25.【點撥】此類問題解題時應(yīng)注意著重分析事件間的關(guān)系，辨析所求概率是哪一事件的概率，再運用相應(yīng)的公式求解.【變式訓(xùn)練1】設(shè)某種動物從出生算起活到20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0

48、.4.現(xiàn)有一只20歲的這種動物，問它能活到25歲以上的概率是 .【解析】設(shè)此種動物活到20歲為事件A，活到25歲為事件B，所求概率為PB|A， 由于BA，那么PAB=PB，所以PB|A=PABPA=PBPA=0.40.8=12.題型二 互相獨立事件的概率【例2】三人獨立破譯同一份密碼，三人各自破譯出密碼的概率分別為15，14，13，且他們是否破譯出密碼互不影響.1求恰有二人破譯出密碼的概率;2密碼被破譯與密碼未被破譯的概率哪個大?說明理由.【解析】1記三人各自破譯出密 碼分別為事件A，B，C，依題意知A，B，C互相獨立，記事件D：恰有二人破譯密碼，那么PD=PAB +PA C+P BC=151

49、41-13+151-1413+1-151413=960=320.2記事件E：密碼被破譯， ：密碼未被破譯，那么P =P =1-151-141-13=2460=25，所以PE=1-P =35，所以PEP .故密碼被破譯的概率大.【點撥】解決事件的概率問題的一般步驟：記取事件;提醒事件的關(guān)系;計算事件的概率.【變式訓(xùn)練2】甲、乙、丙三個口袋內(nèi)都分別裝有6個只有顏色不一樣的球，并且每個口袋內(nèi)的6個球均有1個紅球，2個黑球，3個無色透明的球，現(xiàn)從甲、乙、丙三個口袋中依次隨機各摸出1個球，求恰好摸出紅球、黑球和無色球各1個的概率.【解析】由于各個袋中球的情況一樣，而且從每一個袋中摸出紅球、黑球、無色球的

50、概率均分別為16，13，12，可得P=A33161312=16.題型三 綜合問題【例3】某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：三門課程中至少有兩門及格為考試通過;方案二：在三門課程中隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是a，b，c，且三門課程考試是否及格互相之間沒有影響.1分別求該應(yīng)聘者在方案一和方案二下考試通過的概率;2試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由.【解析】記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為A，B，C，那么PA=a，PB=b，PC=c.1應(yīng)聘者在方案一下考試通過的概率P1=PAB +

51、P BC+PA C+PABC=ab1-c+bc1-a+ac1-b+abc=ab+bc+ca-2abc.應(yīng)聘者在方案二下考試通過的概率P2=13PAB+13PBC+13PAC=13ab+bc+ca.2由a，b，c0,1，那么P1-P2=23ab+bc+ca-2abc=23ab1-c+bc1-a+ca1-b0，故P1P2，即采用第一種方案，該應(yīng)聘者考試通過的概率較大.【點撥】此題首先以互相獨立事件為背景，考察兩種方案的概率，然后比較概率的大小，要求運用a，b，c0,1這一隱含條件.【變式訓(xùn)練3】甲，乙，丙三人分別獨立地進(jìn)展某項體能測試，甲能通過測試的概率是25，甲，乙，丙三人都能通過測試的概率是3

52、20，甲，乙， 丙三人都不能通過測試的概率是340，且乙通過的概率比丙大.1求乙，丙兩人各自通過測試的概率分別是多少?2測試完畢后，最容易出現(xiàn)幾人通過的情況?【解析】1設(shè)乙、丙兩人各自通過的概率分別為x，y，依題意得即 或 舍去，所以乙、丙兩人各自通過的概率分別為34，12.2因為三人都不能通過測試的概率為P0=340，三人都能通過測試的概率為P3=320=640，三人中恰有一人通過測試的概率：P1=251-341-12+1-25341-12+1-251-3412=720=1440，三人恰有兩人通過測試的概率：P2=1-P0+P1+P3=1740，所以測試完畢后，最容易出現(xiàn)兩人通過的情況.總結(jié)

53、進(jìn)步1.互斥事件、對立事件、互相獨立事件的區(qū)別：對于事件A、B，在一次試驗中，A、B假如不能同時發(fā)生，那么稱A、B互斥.一次試驗中，假如A、B互斥且A、B中必有一個發(fā)生，那么稱A、B對立.顯然，A+ 為必然事件，A、B互斥那么不能同時發(fā)生，但可能同時不發(fā)生.兩事件互相獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件的發(fā)生的概率沒有影響.事實上：A、B互斥，那么PAB=0;A、B對立，那么PAB=0且PA+PB=1;A、B互相獨立，那么PAB=PAPB.它們是不一樣的.2.由于當(dāng)事件A、B互相獨立時，PAB=PAPB，因此式子1-PAPB表示互相獨立事件A、B中至少有一個不發(fā)生的概率.對于n個隨機事件A1，

54、A2，An，有PA1+A2+An=1-P ，此稱為概率的和與積的互補公式.12.8 離散型隨機變量及其分布列典例精析題型一 離散型隨機變量的分布列【例1】設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X 0 1 2 3 4P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3求：12X+ 1的分布列;2|X-1|的分布列.【解析】首先列表如下：X 0 1 2 3 42X+1 1 3 5 7 9|X-1| 1 0 1 2 3從而由上表得兩個分布列如下：2X+1的分布列：2X+1 1 3 5 7 9P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3|X-1|的分布列：|X-1| 0 1 2 3P 0.1 0.3 0.3 0.3【點撥】由于X的不同的值，Y=fX會取到一樣的值，這時要考慮所有使fX=Y成立的X1，X2，Xi的值，那么PY=PfX=PX1+PX2+PXi，在第2小題中充分表達(dá)了這一點.【變式訓(xùn)練1】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲