機(jī)械優(yōu)化設(shè)計課后習(xí)題答案版本

1、第一章習(xí)題答案1-1 某廠每日(8h制)產(chǎn)量不低于 1800件。計劃聘請兩種不同的檢驗員，一級檢驗員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度為 25 件/h,正確率為98%,計時工資為 4元/h;二級檢驗員標(biāo)準(zhǔn)為：速度為 15件/h,正確率為95% ,計時工資 3 元/h。檢驗員每錯檢一件，工廠損失2元。現(xiàn)有可供聘請檢驗人數(shù)為：一級 8人和二級10人。為使總檢驗費用最省，該廠應(yīng)聘請一級、二級檢驗員各多少人？ 解：(1)確定設(shè)計變量；X1根據(jù)該優(yōu)化問題給定的條件與要求，取設(shè)計變量為 X= 1;x2二級檢驗員(2)建立數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)；取檢驗費用為目標(biāo)函數(shù)，即：f(X) = 8*4* X1+ 8*3* X2 + 2 (

2、8*25*0.02 X1 +8*15*0.05 X2 ) =40X1+ 36x2 (3)本問題的最優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型： 3 ,min f (X) = 40X1+ 36X2 x Rs.t.g1(X) =1800-8*25 Xi+8*15X2< 0g2( X) = x1 -8 < 0g3(X) = X2-10 <0g4( X) = - X1 < 0g5( X) = - X2 < 01-2已知一拉伸彈簧受拉力 F ,剪切彈性模量 G ,材料重度r ,許用剪切應(yīng)力,許用最大變形量卜欲 選擇一組設(shè)計變量 X Xi X2 X3T d D2 nT使彈簧重量最輕，同時滿足下列限制條

3、件：彈簧圈數(shù)n 3,簧絲直徑d 0.5,彈簧中徑10 D2 50。試建立該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。38FnD3注：彈簧的應(yīng)力與變形計算公式如下Gd4ks8FD32 , ks 1 - , c D2 (旋繞比)， d2c d解：(1)確定設(shè)計變量；x1d根據(jù)該優(yōu)化問題給定的條件與要求，取設(shè)計變量為X=x2D2;X3n(2)建立數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)； 取彈簧重量為目標(biāo)函數(shù)，即：22 f(X)=rx1 x2x3 4(3)本問題的最優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型：2minf (X)= rx1 x2x34s.t.gi(X) =0.5- xi <0g2( X) =10- x2 < 0g3(X) = x2-50 &l

4、t; 0g4(X) =3- x3 <0g5(X) = (1 3)8FX2<0g6(X)=2x2Xi38FX2 &Gx14<01-3某廠生產(chǎn)一個容積為 一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。8000 cm3的平底、無蓋的圓柱形容器,要求設(shè)計此容器消耗原材料最少，試寫出這x1底面半徑rX =1x2高h(yuǎn)解：根據(jù)該優(yōu)化問題給定的條件與要求，取設(shè)計變量為表面積為目標(biāo)函數(shù)，即：inf(X) =X12 + 2X1 X2考慮題示的約束條件之后，該優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型為：mnf(X) =X12 + 2X1 X2X= X1, X2 T e r2s.t .g1(X) = -x1 < 0g2( X) =

5、- X2 < 0h1( X) = 8000 -x12 X2 = 01-4 要建造一個容積為1500 m3的長方形倉庫，已知每平方米墻壁、屋頂和地面的造價分別為4元、6元和12元。基于美學(xué)的考慮，其寬度應(yīng)為高度的兩倍?，F(xiàn)欲使其造價最低，試導(dǎo)出相應(yīng)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。解：(1)確定設(shè)計變量；X1長根據(jù)該優(yōu)化問題給定的條件與要求，取設(shè)計變量為X= x2寬；X3高(2)建立數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)；取總價格為目標(biāo)函數(shù)，即：f(X) = 8(x1 X3 + X2 X3) + 6 X1 X2 + 12 X1 X2(3)建立數(shù)學(xué)模型的約束函數(shù)；1)倉庫的容積為1500 m3。即:1500- X1 X2 X3

6、 =02)倉庫寬度為高度的兩倍。即：X2 -2 X3 = 03)各變量取值應(yīng)大于 0,即：X1 > 0, X2 .> 0.,則-X1 < 0, -X2 < 0(4)本問題的最優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型：3 , min f (X) = 8( xi X3 + X2 X3)+ 18 xi X2X C Rs.t.gi(X) = - xi <0g2( X) = - X2 < 0g3( X) = - X3 < 0 h1(X) = 1500- xi X2 X3=0h2( X) = X2 -2 X3 = 01-5繪出約束條件：222X1x28；2x1 x28；X1X2 4所確定

7、的可行域1-6 試在三維設(shè)計空間中，用向量分別表示設(shè)計變量：Xi 1 3 2T; X2 23 4T; X3 4 1 4T。第二章習(xí)題答案2-1請作示意圖解釋：X(k1)X(k)(k)S(k)的幾何意義。2-2已知兩向量P 122 0T,B 2 0 21T ,求該兩向量之間的夾角。2-3 求四維空間內(nèi)兩點(1,3, 1,2)和(2,6,5,0)之間的距離。2-4計算二元函數(shù)f (X) X13X1X22 5Xi 6在X(0)1 1T處，沿方向S 12T的方向?qū)?shù)fs'(X(0)和沿該點梯度方向的方向?qū)?shù) f ' (X(0)。2-5 已知一約束優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型為22min f(

8、X) (X1 3)(x2 4)XX1,X2Tg1 (X ) X1 X2 5 0g2 (X ) X1 X2 2.5 0g3 (X )X1 0g4(X)X20求：(1)以一定的比例尺畫出當(dāng)目標(biāo)函數(shù)依次為f(X) 1、2、34時的四條等值線，并在圖上畫出可行區(qū)的范圍。(2)找出圖上的無約束最優(yōu)解X1和對應(yīng)的函數(shù)值f (X1 ),約束最優(yōu)解X2和f (X2 );精品文檔(3)若加入一個等式約束條件：h(X) x1 x2 0求此時的最優(yōu)解X3 , f(X3)。解：下圖為目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)(條件)設(shè)計平面 X1OX2 。 其中的同心圓是目標(biāo)函數(shù)依次為 f(X)=1、2、3、4時的四條等 值線；陰影的所圍的

9、部分為可行域。由于目標(biāo)函數(shù)的等值線為一同心圓，所以無約束最優(yōu)解為該圓 圓心即：Xi*=3, 4t函數(shù)值f(Xi*)= 0而約束最優(yōu)解應(yīng)在由約束線 gi(X)=0, g2(X)=0, g3(X)=0, g4(X)=0,組成的可行域(陰影線內(nèi)側(cè))x Xc 5 0內(nèi)尋找，即約束曲線gi(X)=0與某一等值線的一個切點 X2 ,可以聯(lián)立萬程：，解得X1 x2 1 0X2*=2, 3。函數(shù)值f(X2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。加入等式約束條件，則X3*為可行域上為hi(X)=0上與某一條等值線的交點，可以聯(lián)立方程：x1 x2 5 0 ,解得 X3*=5/2, 5/2。xi x20函

10、數(shù)值f(X3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。2-6試證明在(1,1)點處函數(shù)f (X)4 xi22x1 x22 xi2X2 2Xi 5具有極小值。證明：求駐點：丁山 4x13 4x1x22x12,f(X)一 2 一2xi2X2Xix2由 f(X)0,f(X)0,得：駐點11T,極值f(x*) 4Xix22f(X)2Xi212xi4X22f(X)Xix2x2Xi4xi,"2X2海賽矩陣H(X)104aii100,aiia2iai2a22104H(X)是正定的，所以駐點必定是極小點。故 在(1,1)點處函數(shù)f(X)具有極小值。222-7求函數(shù)f (X) 3x

11、i2 2x22 2xi X2 10的極值點，并判斷其極值的性質(zhì)。解：JIX! 6x1 2 , Xi3 4x2 1又2由3 qxx222-8試判斷函數(shù)f (X) 2x12x2 2x1x2 x1 1 的凸性。解：-1(X1 4x1 2x2 1 , x1f(X)*22x2 2x12222f(X)52f(X)22f(X)25，2，x1x1 x2x2 x12f(X)2乂2海賽矩陣H(X)52H(X)是正定的，0,得：極值點 x 1/3 1/4t,極值 f(x ) 229/2422222f(X)02f(X)2f(X)c2f(X)/2- 6, 0,2- 4x1x x2x2 x1x2一，-6 0海賽矩陣H(X

12、)0 4、,311 a126 0各階主子式：a.16 0,0a21 a220 4H(X)是正定的，所以，f(X)為凸函數(shù)。得：極值點 X*1/3 1/4T,極值 f (x*) 229/24所以，f(X)為凸函數(shù)。1.2上2-9試用向量及矩陣形式表示精品文檔是一個凸函數(shù)。解：3Xi10 2x1 x2 ，"X)4 2x2 x1X22f(X) 2 2f(X)22x1x1 x21,2f(X)海賽矩陣H(X)各階主子式：ana21ai2a22H(X)是正定的，所以，f(X)為凸函數(shù)。min f (X)stg1(X)g2(X) ga(X)2-10現(xiàn)已獲得優(yōu)化問題4x1 x22 1222x1 x2

13、25 022x1x210x1 10x2 34 0(x1 3)2 (x2 1)2 0g4(X)x1 0g5(X)x2 0的一個數(shù)值解X 1.000, 4.900T ,試判定該解是否上述問題的最優(yōu)解。第三章習(xí)題答案取初3-1函數(shù)f (X) 3x3 8x 9,當(dāng)初始點分別為x0 0及x° 1.8時，用進(jìn)退法確定其一維優(yōu)化的搜索區(qū)間,始步長T0 0.1。解：當(dāng)x0 0時(1)取 T T00.1, A 0，A2 T 0.1F1F(A1) f(X(0)9x x(0) a2s=0.1F2 F(A2)f(X(0) A2S) 8.203比較F1、F2 ,因F1 F2 ,所以應(yīng)作前進(jìn)搜索。步長加倍：T

14、2T 0.2, A2A2 T 1 2 0.3F1 F28.203X X(0) A2s =0.3F2F(A2)f(X(0) A2S) 6.681再比較Fi、F2,因FiF2,所以還應(yīng)再向前搜索，為此應(yīng)舍去上一次的A點。所以：AiA2 T 0.3 0.2 0.1。(3)步長加倍：T 2T0.4, A2A2 T 0.3 0.4 0.7F1F2 6.681X X(0) A2S=0.7F2F(A2) f(X(0)A2S) 4.429 .比較Fi、F2,因FiF2,所以還應(yīng)再向前搜索，AA2 T 0.7 0.4 0.3。(4)步長加倍：T 2T0.8, A2A2 T 1.5F1 F24.429X X(0)

15、 A2 s =1.5F2F(A2)f(XA2S)7.125.比較F1、F2,因F1F20已找到具有 高一低一高”特征的區(qū)間即：1A10.3 時，F(xiàn)(1)6.6812 A2T 0.7時，F(xiàn)(2)4.4293 A21.5 時，F(xiàn)(3)7.125。所以，F(xiàn)( 1) F( 2) F( 3),單峰區(qū)間為：A 1A1 0.3,B3 A2 1.5。當(dāng)x0 1.8時A 1A11.5, B 3 A20.323-2用黃金分割法求函數(shù)F( )2在區(qū)間3 5中的極小點，要求計算到最大未確定區(qū)間長度小于0.05。f()0.115136 f ()7.667f ()0.98759解：(1)在初始區(qū)間a,b =-3 , 5中

16、取計算點并計算函數(shù)值(1) b 0.618(b a) 0.056; fia 0.618(b a)1.944; f2(2)比較函數(shù)值，縮短搜索區(qū)間因有 fwf2,則 b 1.944; f2f ()0.115136 b 0.618(b a) 1.11139 ; f1(3)判斷迭代終止條件b a> e不滿足迭代終止條件，比較函數(shù)值f1、f2繼續(xù)縮短區(qū)間。將各次縮短區(qū)間的有關(guān)計算數(shù)據(jù)列于下表。表黃金分割法的搜索過程區(qū)間縮短 次數(shù)ab(1) aaf1f2(原區(qū)間)-350.0561.9440.1157.6671-31.944-1.1110.056-0.9870.1152-30.056-1.832-

17、1.111-0.306-0.9873-1.8320.056-1.111-0.665-0.987-0.8884-1.832-0.665-1.386-1.111-0.851-0.987(5-8)略9-1.11122-0.94097-1.046-1.006-0.997867-0.999964323-3用二次插值法求函數(shù)F( ) 8273的最優(yōu)解。已知搜區(qū)間為0 2,選代精度0.01。解：采用Matlab編程計算得：0.62073-4函數(shù)f(X) Xi2 X1X2 X22 2Xi 4X2,取初始點為X(0) 2 2T ,規(guī)定沿X(0)點的負(fù)梯度方向進(jìn)行一次一維優(yōu)化搜索，選代精度：x 10 5, f 1

18、0 6。(1)用進(jìn)退法確定一維優(yōu)化搜索區(qū)間；(2)用黃金分割法求最優(yōu)化步長及一維優(yōu)化最優(yōu)值；(3)用二次插值法求最優(yōu)化步長及一維優(yōu)化最優(yōu)值；(4)上述兩種一維優(yōu)化方法在求解本題時，哪一個種方法收取更快，原因是什么？解：最優(yōu)點X 0 2T,最優(yōu)值f(X )4二次插值法更快.- 2 .3-5求F( ) (1)(2)的極小點，選代精度x 0.1, f 0.1。要求：(1)從0出發(fā)，To0.1為步長確定搜索區(qū)間；(2)用黃金分割法求極值點；(3)用二次插值法求極值點。精品文檔精品文檔解：由已知條件可得，10，F(xiàn)i F( 1)421 To0.1一 一一 2F2F( 2) ( 2 1)( 2 2)2(0.1 1)(0.1 2)3.971因為F2 F1 ,應(yīng)作前進(jìn)搜索。步長加倍，T 2T0 0.2, F1 F2 3.971 ,22T0.10.2 0.3F2F(2)( 21)(2 2)2(0.3 1)(0.3 2)2 3.757因為F