經典十字相乘法分解因式整理

1、因式分解的一點補充十字相乘法一、 學習目標1 .使學生掌握運用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項式因式分解；2 進一步培養(yǎng)學生的觀察力和思維的敏捷性。二、 學習重點：正確地運用十字相乘法把某些二次項系數(shù)不是1的二次三項式因式分解。三、學習難點：靈活運用十字相乘法因分解式。四、自主學習：(一) 導入新課關于x + (p+q) x+pq這類二次三項式的因式分解，這類式子的特點是x + (p+q) x+pq= (x+p) (x+q).課前練習：下列各式因式分解41. - x2+2 x+152 . (x+y) 2-8 (x+y) +123. x4-7x2+184. x2-5xy+6y2對于

2、二次項系數(shù)不是 1的二次三項式如何因式分解呢？這節(jié)課就來討論這個問題，即把某些形如axbx+c的二次三項式因式分解。(二) 、探究：例1把2x2-7x+3因式分解。分析：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線 的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)。分解二次項系數(shù)(只取正因數(shù))：2=1 X 2=2 X 1;分解常數(shù)項：3=1 X 3=3 X 1= (-3)X(-1) = (-1 )X( -3)。用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：1 1131 -11-32 X 32 X 12 X -32 X-11 X 3+2 X 11 X

3、1+2 X 31X( -3) +2X( -1)1 X( -1)+2X( -3)=5=7=-5=-7經過觀察，第四種情況是正確有。這是因為交叉相乘后，兩項代數(shù)和恰等于一次項系數(shù)-7。解2x2-7x+3= (x-3) (2x-1 )。歸納：一般地，對于二次三項式ax2+bx+c (a工0)，如果二次項系數(shù)a可以分解成兩個因數(shù)之積，即日=日伯2,常數(shù)項c可以分解成兩個因數(shù)之積，即C=C1c2,把Q，a2，C1, C2排列如下：日丄6a2 X C2a1c2 + a2C1按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三項式ax2+bx+c的一次項系數(shù)b，即a1c2+a2c1=b，那么二

4、次三項式就可以分解為兩個因式日低+與a2x+C2之積，即ax +bx+c= (a1X+cJ (a2X+C2)。例2把6x2-7x-5分解因式。例3把5x2+6xy-8y 2分解因式。例4 把(x-y) ( 2x-2y-3 ) -2分解因式(三) 、課堂練習1 用十字相乘法因式分解：2(3) 6x2-13x+5 ;2(6) 4x2+24x+27。(1) 2x2-5x-12;(4) 7x2-19x-6 ;2(2) 3x2-5x-2 ;2(5) 12x2-13x+3 ;2把下列各式因式分解：(1) 6x2-13x+6y2;(2) 8x2y2+6xy-35 ;(3) 18x2-21xy+5y2;(4)

5、 2 (a+b) 2+ ( a+b)(a-b)2-6 (a-b) 2。(四)、小結1 用十字相乘法把某些形如axbx+c的二次三項式分解因式時，應注意以下問題：(1)正確的十字相乘必須滿足以下條件：a1 C1在式子X 中，豎向的兩個數(shù)必須滿足關系a1a2=a， C1C2=c；在上式中，斜32C2向的兩個數(shù)必須滿足關系 a1C2+a2C1=b，分解思路為“看兩端，湊中間。”(2) 由十字相乘的圖中的四個數(shù)寫出分解后的兩個一次因式時，圖的上一行兩個數(shù)中，a1是第一個因式中的一次項系數(shù)，c1是常數(shù)項；在下一行的兩個數(shù)中，勺是第二個因式中的一次項的系數(shù)，c2是常數(shù)項。(3) 二次項系數(shù)a一般都把它看作

6、是正數(shù)(如果是負數(shù)，則應提岀負號，利用恒等變形把它轉化為正數(shù))，只需把經分解在兩個正的因數(shù)。2. 形如x2+px+q的某些二次三項式也可以用十字相乘法分解因式。3. 凡是可用代換的方法轉化為二次三項式ax2+bx+c的多項式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。(五)、作業(yè)1 用十字相乘法分解因式：(1) 2x2+3x+1 ;( 2) 2y2+y-6;( 3) 6x2-13x+6 ;( 4) 3a2-7a-6;(5) 6x2-11xy+3y2;(6) 4m2+8mn+3n2;(7) 10x2-21xy+2y2;(8) 8m2-22mn+15n2。像這種借助開十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們

7、把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。2 把下列各式分解因式：2 2(1) 4n +4n-15;( 2) 6a+a-35;2(3) 5x -8x-13;(4) 4x2+i5x+9 ;(5) 15x2+x-2 ;2(6) 6y2+19y+10;(7) 20-9y-20y2;(8) 7 (x-1)2 22+4 (x-1) (y+2) -20 (y+2) 2。十字相乘法因式分解練習題2I、x 3x 2 =3、x -4x -21 =5、x4 6x28 二2 27、x -3xy 2y =9、x2 4x 3 二2II、y -7y 12 =13、x x -20 二215、p 5p36 二17、x4

8、x220 二2 219、a -9ab 14b=一22l2221、x y -5x y -6x 二223、3x 11x10 =225、6x -7x -5 二22、x - 7x 6 =24、x 2x -15 =6、(a b)2 -4(a b) 3& x4 -3x3 -28x2 =210、a 7a 10 二212、q -6q 8 =214、m 7m -18 =216、t -2t -8 二18、a2x2 7ax8 二2 220、x 11xy 18y =3222、- a -4a 12a =224、2x -7x 3 =2226、5x 6xy -8y 二27、22x 15x 7 二228、3a - 8

9、a 4 =29、25x 7x - 6 二2 230、5a b 23ab-10 二31、2 2 2 23a b -17abxy 10x y =32、4x y - 5x y - 9y =33、24n 4n -15 =234、6l丨 -35 二35、10x2 - 21xy 2y2 二36、8m -22 mn 15n37、(x2 5x 3)(x25x_ 2)_ 6 =38、(x-1)(x 2)(x-3)(x 4)24 二答案：1、(x 1)(x2)2、(x_1)(x_6)3、(x 3)(x_7)4、(x_3)(x5)2 25、(x 4)(x2)6、(a b1)(a b3) 7、(xy)(x2y)28

10、x (x 4)(x-7) 9、(x 1)(x 3)10、(a 2)(a 5)11、(y-3)(y-4)12、(q-2)(q-4) 13、(x4)(x 5)14、(m2)(m9)15、(p 4)(p-9)2 216、(t 2)(t-4)17、(x 4)(x -5)18、(ax -1)(ax 8)19、(a-2b)(a-7b)20、(x 2y)(x 9y)21、x2(y 1)( y -6) 22、- a(a-2)(a 6)23、(x 2)(3x 5)24、(x-3)(2x-1)25、(2x 1)(3x_5)26、(x 2y)(5x-4y)27、(2x 1)(x 7)28、(a-2)(3a-2)29、(x 2)(5x-3)30、(5ab-2)(ab 5