最短距離問題

1、第三講 最短距離問題一、知識(shí)梳理幾何模型1條件：如圖，、是直線同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問題：在直線上確定一點(diǎn)，使的值最小方法：作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，則的值最小幾何模型2條件：如圖，、是直線異側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)且A、B到距離不相等問題：在直線上確定一點(diǎn)，使的值最大方法：作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，則的值最小二、方法歸納對(duì)于幾何模型1，近年來，除了常見的“一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”外，出現(xiàn)了“兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)”、 “三個(gè)動(dòng)點(diǎn)” 等變式問題的問題，而解決此類問題的關(guān)鍵在于：找點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”。對(duì)于幾何模型2，近年出現(xiàn)的中考題都是直接應(yīng)用。三、課堂精講例題 （一）、題中出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。例1、在正方形ABC

2、D中，點(diǎn)E為BC上一定點(diǎn)，且BE=10,CE=14,P為BD上一動(dòng)點(diǎn)，求PE+PC最小值。【難度分級(jí)】A類試題來源經(jīng)典例題選題意圖使學(xué)生掌握幾何模型1的應(yīng)用解題思路作關(guān)于對(duì)稱點(diǎn),可以證明在上，易求解：作關(guān)于對(duì)稱點(diǎn) 四邊形ABCD是正方形 在上，且 即是的最小值 【搭配課堂訓(xùn)練題】1、已知：拋物線的對(duì)稱軸為x=-1與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)其中、（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的周長最小請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)【難度分級(jí)】A類試題來源2009年山東濟(jì)南中考真題。答案解：（1）由題意得 解得此拋物線的解析式為（2）連結(jié)、.因?yàn)榈拈L度一定，所以周長最小，就是使最小.點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱

3、軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn). 設(shè)直線的表達(dá)式為則解得此直線的表達(dá)式為把代入得點(diǎn)的坐標(biāo)為例2：已知：直線與軸交于A，與軸交于D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，0）（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)【難度分級(jí)】A類試題來源2009眉山中考數(shù)學(xué)真題選題意圖使學(xué)生掌握幾何模型2的應(yīng)用解題思路直接應(yīng)用幾何模型2，由于B是C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以連接AB，則AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)M即為所求。（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入得解得拋物線的解折式為（2）拋物線的對(duì)稱軸為B、C關(guān)于x對(duì)稱 MCMB要使

4、最大，即是使最大 由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時(shí)的值最大易知直線AB的解析式為由 得 M（，） （二）、題中出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。例3、如圖：在ABC中,M、N分別AB,AC上動(dòng)點(diǎn),求BN+MN+MC最小值【難度分級(jí)】B類試題來源2003年浙江余姚中學(xué)保送生測(cè)試題選題意圖使學(xué)生體會(huì)如何實(shí)現(xiàn)由“折”轉(zhuǎn)“直”掌握雙動(dòng)點(diǎn)問題的解題方法解題思路當(dāng)題中出現(xiàn)兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),應(yīng)作兩次定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn).利用兩點(diǎn)之間線段最短求出最值。解:作關(guān)于對(duì)稱點(diǎn),關(guān)于對(duì)稱點(diǎn),有 (當(dāng)、運(yùn)動(dòng)到、時(shí)等號(hào)成立), 、 為正三角形 【搭配課堂訓(xùn)練題】1、恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、

5、幽、險(xiǎn)”著稱于世著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖9是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖10是方案二的示意圖（點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，連接交直線于點(diǎn)），到、的距離之和（1）求、，并比較它們的大??；（2）請(qǐng)你說明的值為最小；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖11所示的直角坐標(biāo)系，到直線的距離為，請(qǐng)你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、組成的四邊形的周長最小并求出這個(gè)最小值 【難度分級(jí)】B類試題來源2009年湖北恩施自治州中考真題

6、。答案解:圖9中過B作BCAP,垂足為C,則PC=40,又AP=10,AC=30 在RtABC 中，AB=50 AC=30 BC=40 BP=S1= 圖10中，過B作BCAA垂足為C，則AC=50，又BC=40 BA'=由軸對(duì)稱知：PA=PA'S2=BA'= (2)如 圖10，在公路上任找一點(diǎn)M,連接MA,MB,MA'，由軸對(duì)稱知MA=MA'MB+MA=MB+MA'A'BS2=BA'為最小 （3）如 圖12，過A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A', 過B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接A'B',交X軸于點(diǎn)P, 交Y

7、軸于點(diǎn)Q,則P,Q即為所求 A'B'=所求四邊形的周長為 例4、如圖,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若AC,AB是各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N,求BM+MN最小值. 【難度分級(jí)】B類試題來源經(jīng)典例題選題意圖使學(xué)生體會(huì)如何實(shí)現(xiàn)由“折”轉(zhuǎn)“直”使學(xué)生掌握，在由“折”轉(zhuǎn)“直”的過程中，如何做到最短。解題思路解：作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn), 在上運(yùn)動(dòng),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí),即 ，最短為 【搭配課堂訓(xùn)練題】如圖，在銳角中，的平分線交于點(diǎn)分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_【難度分級(jí)】B類試題來源2009年陜西省中考真題。答案4（三）、題中出現(xiàn)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)例5、如圖，在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60°

8、;,E,F,P分別為AB,BC,AC上動(dòng)點(diǎn),求PE+PF最小值【難度分級(jí)】B類試題來源經(jīng)典例題選題意圖使學(xué)生體會(huì)如何實(shí)現(xiàn)由“折”轉(zhuǎn)“直”掌握三動(dòng)點(diǎn)問題的解題方法解題思路當(dāng)題中出現(xiàn)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),在求解時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn),(1)作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn),(2)同時(shí)要考慮點(diǎn)點(diǎn),點(diǎn)線,線線之間的最短問題.解：作關(guān)于所直線的對(duì)稱點(diǎn),則 ,因?yàn)樵谏线\(yùn)動(dòng),故當(dāng)和、垂直時(shí)，最短,且 【搭配課堂訓(xùn)練題】12如圖，AOB=45°，角內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P ，PO=10，在AO，BO上有兩動(dòng)點(diǎn)Q，R，求PQR周長的最小值。【難度分級(jí)】B類試題來源經(jīng)典例題。答案在內(nèi)任取一點(diǎn),過做、的對(duì)稱點(diǎn)、則有由對(duì)稱性易知為等腰三角形

9、又因?yàn)?，所以為等腰直角三角形在中?所以的最小周長為： （四）、綜合壓軸例6、如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最小；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長.【難度分級(jí)】C類試題來源2010福建寧德中考真題選題意圖強(qiáng)化應(yīng)用解題思路（1）由題意得MB=NB，ABN=15°，所以EBN=45，容易證出AMBENB；（2）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得，當(dāng)M點(diǎn)落

10、在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最??；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長（如圖18）；（3）作輔助線，過E點(diǎn)作EFBC交CB的延長線于F，由題意求出EBF=30°，設(shè)正方形的邊長為x，在RtEFC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長解：ABE是等邊三角形，BABE，ABE60°.MBN60°，MBNABNABEABN.即MBANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）.當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AMCM的值最小. 如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AMBMCM的值最小.理由如下：連接MN.由知，

11、AMBENB，AMEN.MBN60°，MBNB，BMN是等邊三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得ENMNCMEC最短當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AMBMCM的值最小，即等于EC的長過E點(diǎn)作EFBC交CB的延長線于F，EBF90°60°30°.設(shè)正方形的邊長為x，則BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2.解得，x（舍去負(fù)值）.正方形的邊長為. 【搭配課堂訓(xùn)練題】1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，延長AC到點(diǎn)D,使CD=,過點(diǎn)D作DEAB交BC的延長線于點(diǎn)E.（1）求

12、D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF，若過B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短。（要求：簡述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）【難度分級(jí)】C類試題來源2009北京中考真題答案解：（1），設(shè)與軸交于點(diǎn)由可得又，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）由（1）可得點(diǎn)的坐標(biāo)為由，可得軸所在直線是線段的垂直平分線點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上與互相垂直平分四邊

13、形為菱形，且點(diǎn)為其對(duì)稱中心作直線設(shè)與分別交于點(diǎn)、點(diǎn)可證，直線將四邊形分成周長相等的兩個(gè)四邊形由點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，可得直線的解析式為（3）確定點(diǎn)位置的方法：過點(diǎn)作于點(diǎn)則與軸的交點(diǎn)為所求的點(diǎn)由，可得，在中，點(diǎn)的坐標(biāo)為（或點(diǎn)的位置為線段的中點(diǎn)）四、鞏固練習(xí)基礎(chǔ)訓(xùn)練題（A類）1、如圖，AC、BD為正方形ABCD對(duì)角線，相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，正方形邊長為2cm,在BD上找點(diǎn)P，使EP+CP之和最小，且最小值為_。【答案】2、（1）如圖22，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值為 ；（2）幾何拓展：如圖23, ABC中，AB=2，BAC

14、=30,若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小， 這個(gè)最小值為 ； 【答案】1、 2、3、如圖所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一點(diǎn)，使的值最小，則這個(gè)最小值為（ ） A B C3 D【答案】A4、已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則當(dāng)PA+PD取最小值時(shí)，APD中邊AP上的高為（ ）A、 B、 C、 D、3【答案】C提高訓(xùn)練（B類）1、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B

15、三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BOC的周長最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào)）【解析】:（1）過點(diǎn)B作BD軸于點(diǎn)D，由已知可得：OB=OA=2，BOD=60。.在RtOBD中，ODB=90。，OBD=30。.OD=1，DB=點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，）.（2）設(shè)所求拋物線的解析式為，由已知可得： 解得：所求拋物線解析式為（3）存在.由配方后得：拋物線的對(duì)稱軸為=1.（也寫用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出）OB=2，要使BOC的周長最小，必須BC+CO最小.點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于直線=1對(duì)稱，有CO=CA. BOC的周長=OB+BC+CO

16、=OB+BC+CA.當(dāng)A、C、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C為直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，BC+CA最小，此時(shí)BOC的周長最小.設(shè)直線AB的解析式為解得：直線AB的解析式為當(dāng)=1時(shí)，所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）.2、如圖，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式（2）把ABC繞AB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形ADBC判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由（3）試問在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得FBD的周長最小，若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】解：（1）由題意知解得， 拋物線的解析式為 （2）設(shè)點(diǎn)A（，0），B（，0），則，解得 OA1

17、，OB3又tanOCBOCB60°，同理可求OCA30°ACB90° 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知ACBD，BCAD 四邊形ADBC是平行四邊形 又ACB90°四邊形ADBC是矩形 （3）延長BC至N，使假設(shè)存在一點(diǎn)F，使FBD的周長最小即最小DB固定長只要FD+FB最小又CABNFD+FBFD+FN當(dāng)N、F、D在一條直線上時(shí)，F(xiàn)D+FB最小 又C為BN的中點(diǎn)， （即F為AC的中點(diǎn)）又A（1，0），C（0，） 點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（，） 存在這樣的點(diǎn)F（，），使得FBD的周長最小 綜合遷移（C類）1、如圖，已知點(diǎn)A(-4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線上(1) 求a的值及點(diǎn)B

18、關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2) 平移拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，點(diǎn)C(-2，0)和點(diǎn)D(-4，0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn) 當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，AC+CB 最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式； 當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形ABCD的周長最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】(1) 將點(diǎn)A(-4，8)的坐標(biāo)代入，解得將點(diǎn)B(2，n)的坐標(biāo)代入，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，則點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，-2) 直線AP的解析式是令y=0，得即所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是

19、(，0)(2) 設(shè)將拋物線向左平移m個(gè)單位，則平移后A，B的坐標(biāo)分別為A(-4-m，8)和B(2-m，2)，點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-4-m，-8)直線AB的解析式為 要使AC+CB最短，點(diǎn)C應(yīng)在直線AB上，將點(diǎn)C(-2，0)代入直線AB的解析式，解得故將拋物線向左平移個(gè)單位時(shí)AC+CB最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為左右平移拋物線，因?yàn)榫€段AB和CD的長是定值，所以要使四邊形ABCD的周長最短，只要使AD+CB最短；第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有AD+CB>AD+CB，因此不存在某個(gè)位置，使四邊形ABCD的周長最短第二種情況：設(shè)拋物線向左平移了b個(gè)單位，則點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為A(-4-b，8)和B(2-b，2)因?yàn)镃D=2，因此