隨機(jī)誤差和粗大誤差上課講義

1、隨機(jī)誤差和粗大誤差2-1、研究誤差的意義、研究誤差的意義：對測量誤差的研究是十分必要的，其意義體現(xiàn)在以下對測量誤差的研究是十分必要的，其意義體現(xiàn)在以下幾個方面：幾個方面：、根據(jù)檢測目的選擇確定測量精度，而不是精度越、根據(jù)檢測目的選擇確定測量精度，而不是精度越高越好；高越好；、通過誤差分析理論，正確處理數(shù)據(jù)，合理計算所、通過誤差分析理論，正確處理數(shù)據(jù)，合理計算所得結(jié)果，以便在一定的條件下得到接近于真值的數(shù)據(jù)；得結(jié)果，以便在一定的條件下得到接近于真值的數(shù)據(jù)；正確認(rèn)識誤差性質(zhì)，分析誤差不生原因，以減少誤正確認(rèn)識誤差性質(zhì)，分析誤差不生原因，以減少誤差差正確組織實(shí)驗(yàn)過程，合理設(shè)計儀器或選用儀器和測正確組

2、織實(shí)驗(yàn)過程，合理設(shè)計儀器或選用儀器和測量方法，以便在最經(jīng)濟(jì)的條件下得到理想結(jié)果。量方法，以便在最經(jīng)濟(jì)的條件下得到理想結(jié)果。2-2、檢測精度選擇、檢測精度選擇： 在實(shí)際測量中，檢測或測量的精度是相對而言的。在實(shí)際測量中，檢測或測量的精度是相對而言的。所以在解決實(shí)際問題中不是精度越高越好，而是要權(quán)所以在解決實(shí)際問題中不是精度越高越好，而是要權(quán)衡條件，根據(jù)實(shí)際需要選擇恰當(dāng)?shù)臏y量精度。衡條件，根據(jù)實(shí)際需要選擇恰當(dāng)?shù)臏y量精度。 舉例：舉例： 測量精度可以用誤差來表示，精度低即測量誤差測量精度可以用誤差來表示，精度低即測量誤差大。大。2-3、誤差原因分析、誤差原因分析：測量過程中，誤差產(chǎn)生的原因可歸納為以

3、下幾個方面：測量過程中，誤差產(chǎn)生的原因可歸納為以下幾個方面：1 1、被檢測物理模型的前提條件屬理想條件，與實(shí)際檢、被檢測物理模型的前提條件屬理想條件，與實(shí)際檢測條件有出入；測條件有出入；2 2、測量器件的材料性能或制作方法不佳使檢測特性隨、測量器件的材料性能或制作方法不佳使檢測特性隨時間而發(fā)生劣化；時間而發(fā)生劣化；3 3、電氣、氣壓、油壓等動力源的噪聲及容量的影響；、電氣、氣壓、油壓等動力源的噪聲及容量的影響；4 4、檢測線路接頭之間存在接觸電勢或接觸電阻；、檢測線路接頭之間存在接觸電勢或接觸電阻；5 5、檢測系統(tǒng)的慣性即遲延傳遞特性不符和檢測的目的、檢測系統(tǒng)的慣性即遲延傳遞特性不符和檢測的目

4、的要求，因此要同時考慮系統(tǒng)靜態(tài)特性和動態(tài)特性；要求，因此要同時考慮系統(tǒng)靜態(tài)特性和動態(tài)特性；2-3、誤差原因分析、誤差原因分析：測量過程中，誤差產(chǎn)生的原因可歸納為以下幾個方面：測量過程中，誤差產(chǎn)生的原因可歸納為以下幾個方面：6 6、檢測環(huán)境的影響，包括溫度、濕度、氣壓、振動、檢測環(huán)境的影響，包括溫度、濕度、氣壓、振動、輻射等；輻射等；7 7、不同采樣所得測量值的差異造成的誤差；、不同采樣所得測量值的差異造成的誤差；8 8、人為的疏忽造成誤讀，包括個人讀表偏差，知識、人為的疏忽造成誤讀，包括個人讀表偏差，知識和經(jīng)驗(yàn)的深淺，體力及精神狀態(tài)等因素；和經(jīng)驗(yàn)的深淺，體力及精神狀態(tài)等因素；9 9、測量器件進(jìn)

5、入被測對象，破壞了所要測量的原有、測量器件進(jìn)入被測對象，破壞了所要測量的原有狀態(tài)；狀態(tài)；1010、被測對象本身變動大，易受外界干擾以致測量值、被測對象本身變動大，易受外界干擾以致測量值不穩(wěn)定等不穩(wěn)定等2-3、誤差原因分析、誤差原因分析：測量過程中，誤差產(chǎn)生的原因可歸納為以下幾個方面：測量過程中，誤差產(chǎn)生的原因可歸納為以下幾個方面：歸結(jié)為：歸結(jié)為：1 1、測量裝置誤差、測量裝置誤差2 2、環(huán)境誤差、環(huán)境誤差3 3、方法誤差、方法誤差4 4、人員誤差、人員誤差2-4、誤差分類、誤差分類：一、系統(tǒng)誤差一、系統(tǒng)誤差1 1、概念：、概念：指測量器件或方法引起的有規(guī)律的誤差。指測量器件或方法引起的有規(guī)律的

6、誤差。2 2、特征：、特征：表現(xiàn)為在同一條件下，多次測量同一值時，表現(xiàn)為在同一條件下，多次測量同一值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或測量條件改變時，誤差的絕對值和符號保持不變，或測量條件改變時，誤差服從某種函數(shù)關(guān)系變化。其測量值具有不可抵誤差服從某種函數(shù)關(guān)系變化。其測量值具有不可抵抗性?？剐浴? 3、產(chǎn)生原因及實(shí)例：、產(chǎn)生原因及實(shí)例：(1)(1)測量裝置方面的因素：測量裝置方面的因素：(2)(2)環(huán)境方面的因素：環(huán)境方面的因素： (3)(3)測量方法的因素：測量方法的因素：(4)(4)測量人員方面的因素：測量人員方面的因素： 2-4、誤差分類、誤差分類：一、系統(tǒng)誤差一、系統(tǒng)誤差3 3、產(chǎn)生原

7、因及實(shí)例：、產(chǎn)生原因及實(shí)例：(1)(1)測量裝置方面的因素：測量裝置方面的因素：表現(xiàn)為儀器機(jī)構(gòu)設(shè)計原表現(xiàn)為儀器機(jī)構(gòu)設(shè)計原理上的缺點(diǎn)，如齒輪杠桿測微儀直線位移和轉(zhuǎn)角不理上的缺點(diǎn)，如齒輪杠桿測微儀直線位移和轉(zhuǎn)角不成比例的誤差；儀器零件制造和安裝不正確，如標(biāo)成比例的誤差；儀器零件制造和安裝不正確，如標(biāo)尺的刻度伯差、到度盤和指針的安裝偏心、儀器各尺的刻度伯差、到度盤和指針的安裝偏心、儀器各導(dǎo)軌的誤差、天平的臂長不等；儀器附件制造偏差導(dǎo)軌的誤差、天平的臂長不等；儀器附件制造偏差等。等。2-4、誤差分類、誤差分類：一、系統(tǒng)誤差一、系統(tǒng)誤差3 3、產(chǎn)生原因及實(shí)例：、產(chǎn)生原因及實(shí)例：(1)(1)測量裝置方面的

8、因素：測量裝置方面的因素：(2)(2)環(huán)境方面的因素：環(huán)境方面的因素： 測量時的實(shí)際溫度對標(biāo)淮測量時的實(shí)際溫度對標(biāo)淮溫度的偏差、測量過程中溫度、濕度等按一定規(guī)律溫度的偏差、測量過程中溫度、濕度等按一定規(guī)律變化的誤差。變化的誤差。(3)(3)測量方法的因素：測量方法的因素： 采用近似的測量方法或近采用近似的測量方法或近似的計算公式等引起的誤差。似的計算公式等引起的誤差。(4)(4)測量人員方面的因素：測量人員方面的因素： 由于測量者的個人特由于測量者的個人特點(diǎn)，在刻度上估計讀數(shù)時，習(xí)慣偏于某點(diǎn)，在刻度上估計讀數(shù)時，習(xí)慣偏于某一一方向；動方向；動態(tài)測量時，記錄某一信號有滯后的傾向等。態(tài)測量時，記錄

9、某一信號有滯后的傾向等。一、系統(tǒng)誤差一、系統(tǒng)誤差4 4、分類：、分類：變化系統(tǒng)誤差不變系統(tǒng)誤差按誤差出現(xiàn)規(guī)律分末定系統(tǒng)誤差已定系統(tǒng)誤差按誤差掌握的程度5 5、判斷及發(fā)現(xiàn)方法：、判斷及發(fā)現(xiàn)方法：實(shí)驗(yàn)對比法、殘余誤差觀察法等。實(shí)驗(yàn)對比法、殘余誤差觀察法等。2-4、誤差分類、誤差分類：2-4、誤差分類、誤差分類：二、隨機(jī)誤差二、隨機(jī)誤差1 1、概念：、概念： 由隨機(jī)因素引起的，一般無法排除并難以校由隨機(jī)因素引起的，一般無法排除并難以校正的誤差被稱為隨機(jī)誤差。正的誤差被稱為隨機(jī)誤差。2 2、特征：、特征： 表現(xiàn)為在同一測量條件下，多次測量同一值時，表現(xiàn)為在同一測量條件下，多次測量同一值時，誤差的絕對值

10、和符號以不可預(yù)定方式變化，即前一誤差的絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化，即前一個誤差出現(xiàn)后，不能預(yù)計下一個誤差的大小和方向，個誤差出現(xiàn)后，不能預(yù)計下一個誤差的大小和方向，但就總體而言，但就總體而言，具有統(tǒng)計規(guī)律性具有統(tǒng)計規(guī)律性。其測量值具有可。其測量值具有可抵消性。抵消性。2-4、誤差分類、誤差分類：二、隨機(jī)誤差二、隨機(jī)誤差3 3、產(chǎn)生原因及實(shí)例：、產(chǎn)生原因及實(shí)例：由許多暫時未能掌握或不便確定的微小因素所構(gòu)成由許多暫時未能掌握或不便確定的微小因素所構(gòu)成的，主要有以下幾個方面：的，主要有以下幾個方面：（1 1）、測量裝置方面的因素：如零件配合的不穩(wěn)定）、測量裝置方面的因素：如零件配合的不穩(wěn)定性、零

11、件的變形、零件表面油膜不均勻、摩擦等；性、零件的變形、零件表面油膜不均勻、摩擦等；（2 2）、環(huán)境方面的因素：溫度的微小波動、濕度與）、環(huán)境方面的因素：溫度的微小波動、濕度與氣壓的微小變化、電磁場變化等；氣壓的微小變化、電磁場變化等；（3 3）、人員方面的因素：計數(shù)不準(zhǔn)確等；）、人員方面的因素：計數(shù)不準(zhǔn)確等；2-4、誤差分類、誤差分類：三、粗大誤差三、粗大誤差1 1、概念：、概念：指由于觀測者誤讀或傳感要素故障而引起指由于觀測者誤讀或傳感要素故障而引起的規(guī)定條件下預(yù)期的歧異誤差。含有粗大誤差的測的規(guī)定條件下預(yù)期的歧異誤差。含有粗大誤差的測量值稱為壞值，在做統(tǒng)計處理時應(yīng)當(dāng)剔除。量值稱為壞值，在做

12、統(tǒng)計處理時應(yīng)當(dāng)剔除。2 2、產(chǎn)生原因及實(shí)例：、產(chǎn)生原因及實(shí)例：（1 1）測量人員的主觀原因：測量者的責(zé)任心不強(qiáng)、）測量人員的主觀原因：測量者的責(zé)任心不強(qiáng)、工作疲憊、缺乏經(jīng)驗(yàn)、操作不當(dāng)?shù)仍斐傻淖x數(shù)或錯工作疲憊、缺乏經(jīng)驗(yàn)、操作不當(dāng)?shù)仍斐傻淖x數(shù)或錯誤的記錄，這是造成粗大誤差的主要原因；誤的記錄，這是造成粗大誤差的主要原因；（2 2）客觀外界條件的原因：由于測量條件意外改變）客觀外界條件的原因：由于測量條件意外改變（如機(jī)械沖擊、外界振動等）引起儀器示值或被（如機(jī)械沖擊、外界振動等）引起儀器示值或被測對象位置改變而產(chǎn)生的粗大誤差測對象位置改變而產(chǎn)生的粗大誤差2-4、誤差分類、誤差分類：三、粗大誤差三、粗

13、大誤差3 3、防止和消除方法、防止和消除方法（1 1）、加強(qiáng)測量人員的責(zé)任；）、加強(qiáng)測量人員的責(zé)任；（2 2）、保證測量條件的穩(wěn)定；）、保證測量條件的穩(wěn)定；（3 3）、從測量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)和鑒別而加以消除；）、從測量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)和鑒別而加以消除；（4 4）、采用不等精度測量和互相之間進(jìn)行校核的方）、采用不等精度測量和互相之間進(jìn)行校核的方法；法；2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：下面介紹誤差統(tǒng)計學(xué)分析的一些基本關(guān)系與定義。下面介紹誤差統(tǒng)計學(xué)分析的一些基本關(guān)系與定義。一、真值、測量值與誤差的關(guān)系一、真值、測量值與誤差的關(guān)系1 1、概念：、概念：（1 1）真值真值A(chǔ) A0 0: :被測量的真

14、實(shí)值，是唯一的、確定的，被測量的真實(shí)值，是唯一的、確定的，但也是無法知道的。一般用高一等級的精密檢測手但也是無法知道的。一般用高一等級的精密檢測手段測量值來代替，稱為段測量值來代替，稱為約定真值約定真值；（2 2）測量值測量值M：在一定條件下的測量值；：在一定條件下的測量值；（3 3）誤差誤差x：測量值：測量值M偏離真值偏離真值A(chǔ)0 0的程度；的程度；x M A02-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：一、真值、測量值與誤差的關(guān)系一、真值、測量值與誤差的關(guān)系1 1、概念：、概念：2 2、算術(shù)平均值、偏差的概念及關(guān)系算術(shù)平均值、偏差的概念及關(guān)系：單次測量值單次測量值M往往含有系統(tǒng)誤差、粗

15、大誤差等往往含有系統(tǒng)誤差、粗大誤差等因素，使得測量結(jié)果的準(zhǔn)確性較低。為此，在實(shí)際因素，使得測量結(jié)果的準(zhǔn)確性較低。為此，在實(shí)際測量中，為減少隨機(jī)誤差等因素的影響，往往要進(jìn)測量中，為減少隨機(jī)誤差等因素的影響，往往要進(jìn)行一系列的行一系列的等精度測量等精度測量，計算其，計算其算術(shù)平均值算術(shù)平均值作為其作為其最后的測量結(jié)果，其處理方式如下：最后的測量結(jié)果，其處理方式如下：真值真值A(chǔ)0、測量值、測量值M、誤差、誤差x：x M A0一、真值、測量值與誤差的關(guān)系一、真值、測量值與誤差的關(guān)系1 1、概念：、概念：2 2、算術(shù)平均值、偏差的概念及關(guān)系：算術(shù)平均值、偏差的概念及關(guān)系：（1 1）n次測量所得的測量數(shù)據(jù)

16、為：次測量所得的測量數(shù)據(jù)為：Mi（i1、2n），），i為測量次數(shù)；為測量次數(shù)；（2 2）測量值的測量值的算術(shù)平均值為算術(shù)平均值為A：當(dāng)測量的次數(shù)當(dāng)測量的次數(shù)n足夠多時，有平均值等于真值，即：足夠多時，有平均值等于真值，即：（3 3）測量的平均值與真值之間的差值，稱為）測量的平均值與真值之間的差值，稱為偏差偏差， 用表示，有用表示，有2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：niiMnA11AAnlim00AA真值真值A(chǔ)0、測量值、測量值M、誤差、誤差x：x M A0二、二、和誤差相關(guān)的幾個基本概念：和誤差相關(guān)的幾個基本概念：1、殘差、殘差 vi ：（1）定義：）定義：各測量值各測量值Mi

17、與平均值與平均值A(chǔ)的差，稱為殘差的差，稱為殘差。（2）表達(dá)式：）表達(dá)式： vi =MiA（3）意義：一般情況下，被測量的真值）意義：一般情況下，被測量的真值A(chǔ)0未知，無法未知，無法按按x=M-A0來計算誤差，這時可用算術(shù)平均值來計算誤差，這時可用算術(shù)平均值A(chǔ)0代替被代替被測量的真值來計算測量誤差，以示區(qū)別，稱為殘差。測量的真值來計算測量誤差，以示區(qū)別，稱為殘差。（4）特點(diǎn)：）特點(diǎn)：對于只存在隨機(jī)誤差的測量，各測量值的殘差之和對于只存在隨機(jī)誤差的測量，各測量值的殘差之和等于等于0。即：。即：2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念： 0iv二、和誤差相關(guān)的幾個基本概念：二、和誤差相關(guān)的幾個

18、基本概念：2 2、方差、方差2 2 ：2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：niiAMn1202)(13 3、標(biāo)準(zhǔn)誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差 ：又稱為：又稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差niiAMn120)(1意義：誤差的方均根，表示測量值意義：誤差的方均根，表示測量值M Mi i偏離真值偏離真值A(chǔ) A0 0的的程度。程度。精密度低；大：度高；表示精密測量，即精密?。憾⒑驼`差相關(guān)的幾個基本概念：二、和誤差相關(guān)的幾個基本概念：4 4、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)：、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)：2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：關(guān)，即相互獨(dú)立表示兩組測量值線性無線性相關(guān)表示以概率，011)(jixxrjijijixx

19、xxjinkjjkiikxxxxrAxAxnxx212jjkiik),()(1A A 方差，定義為：相關(guān)系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)化的協(xié)協(xié)方差定義為：平均值為平均值為兩組測量值二、和誤差相關(guān)的幾個基本概念：二、和誤差相關(guān)的幾個基本概念：4 4、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)：、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)：誤差相關(guān)性討論（針對兩個測量量來討論的誤差相關(guān)性討論（針對兩個測量量來討論的）. .誤差間的線性相關(guān)關(guān)系誤差間的線性相關(guān)關(guān)系: :指它們具有線性依賴關(guān)系。這種關(guān)系有強(qiáng)有弱。指它們具有線性依賴關(guān)系。這種關(guān)系有強(qiáng)有弱。聯(lián)系最強(qiáng)時：聯(lián)系最強(qiáng)時：在平均意義上，一個誤差的取值完全決定了另一個在平均意義上，一個誤差的取值完全決定了另一個誤差的取

20、值，此時兩誤差間具有確定的線性函數(shù)關(guān)系。誤差的取值，此時兩誤差間具有確定的線性函數(shù)關(guān)系。聯(lián)系最弱時聯(lián)系最弱時：一個誤差的取值與另一個誤差的取值無關(guān)，這種無：一個誤差的取值與另一個誤差的取值無關(guān)，這種無關(guān)性稱為線性無關(guān)。關(guān)性稱為線性無關(guān)。最強(qiáng)最弱之間時：最強(qiáng)最弱之間時：一個誤差的取值隨另一個誤差變化具有線性關(guān)一個誤差的取值隨另一個誤差變化具有線性關(guān)系的傾向，但兩者之間又不服從確定的線性關(guān)系。系的傾向，但兩者之間又不服從確定的線性關(guān)系。2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：二、和誤差相關(guān)的幾個基本概念：二、和誤差相關(guān)的幾個基本概念：4 4、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)：、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)：. .相關(guān)

21、系數(shù)：兩誤差間有線性關(guān)系時，其相關(guān)性強(qiáng)弱相關(guān)系數(shù)：兩誤差間有線性關(guān)系時，其相關(guān)性強(qiáng)弱由由相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)來反映。由概率論可知，相關(guān)系數(shù)的取值范來反映。由概率論可知，相關(guān)系數(shù)的取值范圍是：圍是：2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：1),(1jixxr也可能另一誤差取值可能時即一誤差線性無關(guān)或不相關(guān)時當(dāng)數(shù)關(guān)系之間存在確定的線性函此時兩誤差完全負(fù)相關(guān)當(dāng)完全正相關(guān)當(dāng)另一誤差取值的平均即一誤差負(fù)相關(guān)兩誤差當(dāng)另一誤差取值的平均即一誤差正相關(guān)兩誤差當(dāng)，：r，xxrr，xxr，xxrjijiji0:1:1:01:10二、和誤差相關(guān)的幾個基本概念：二、和誤差相關(guān)的幾個基本概念：4 4、協(xié)方差與相關(guān)系

22、數(shù)：、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)：. .相關(guān)系數(shù)：兩誤差間有線性關(guān)系時，其相關(guān)性強(qiáng)弱相關(guān)系數(shù)：兩誤差間有線性關(guān)系時，其相關(guān)性強(qiáng)弱由由相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)來反映。由概率論可知，相關(guān)系數(shù)的取值范來反映。由概率論可知，相關(guān)系數(shù)的取值范圍是：圍是：2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：1),(1jixxr注意注意: :當(dāng)當(dāng)r r很小很小, ,甚至等于甚至等于0 0時時, ,兩誤差間不存在線性關(guān)系兩誤差間不存在線性關(guān)系, ,但并但并不表示它們之間不存在其它的函數(shù)關(guān)系。不表示它們之間不存在其它的函數(shù)關(guān)系。復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：一、系統(tǒng)誤差一、系統(tǒng)誤差1 1、概念：、概念：指測量器件或方法引起的有規(guī)律的誤差指測量器件或方

23、法引起的有規(guī)律的誤差2 2、特征：、特征：表現(xiàn)為在同一條件下，多次測量同一值時，誤差的表現(xiàn)為在同一條件下，多次測量同一值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或測量條件改變時，誤差服從某種絕對值和符號保持不變，或測量條件改變時，誤差服從某種函數(shù)關(guān)系變化。其測量值具有不可抵抗性。函數(shù)關(guān)系變化。其測量值具有不可抵抗性。二、隨機(jī)誤差二、隨機(jī)誤差1、概念：、概念： 由隨機(jī)因素引起的，一般無法排除并難以校正的由隨機(jī)因素引起的，一般無法排除并難以校正的誤差被稱為隨機(jī)誤差。誤差被稱為隨機(jī)誤差。2、特征：、特征：具有統(tǒng)計規(guī)律性。其測量值具有可抵抗性。具有統(tǒng)計規(guī)律性。其測量值具有可抵抗性。三、粗大誤差三、粗大誤差1

24、1、概念：、概念：粗大誤差指由于觀測者誤讀或傳感要素故障而引起粗大誤差指由于觀測者誤讀或傳感要素故障而引起的規(guī)定條件下預(yù)期的歧異誤差。含有粗大誤差的測量值稱為的規(guī)定條件下預(yù)期的歧異誤差。含有粗大誤差的測量值稱為壞值，在做統(tǒng)計處理時應(yīng)當(dāng)剔除。壞值，在做統(tǒng)計處理時應(yīng)當(dāng)剔除。真值真值A(chǔ)0: :被測量的真實(shí)值，用高一等級的精密檢測手段測量值被測量的真實(shí)值，用高一等級的精密檢測手段測量值來代替，稱為來代替，稱為約定真值約定真值；測量值測量值M：在一定條件下的測量值；在一定條件下的測量值；誤差誤差x：測量值測量值M偏離真值偏離真值A(chǔ)0的程度；的程度；x M A0測量值的算術(shù)平均值測量值的算術(shù)平均值A(chǔ)：偏差

25、：偏差：測量的平均值與真值之間的差值測量的平均值與真值之間的差值，niiMnA11AAnlim00AA殘差殘差 vi ：各測量值各測量值Mi與平均值與平均值A(chǔ)的差，稱為殘差的差，稱為殘差。 vi =MiA對于只存在隨機(jī)誤差的測量，各測量值的殘差之和等于對于只存在隨機(jī)誤差的測量，各測量值的殘差之和等于0。方差方差2 ：niiAMn1202)(1標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差 ：又稱為：又稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差niiAMn120)(1三、測量三、測量 的的準(zhǔn)確度與精密度準(zhǔn)確度與精密度：反映測量結(jié)果與真值接近程度的量稱為精度。它與反映測量結(jié)果與真值接近程度的量稱為精度。它與誤差的大小相對應(yīng)，因此可用誤差的大小相對應(yīng)

26、，因此可用相對誤差大小相對誤差大小來表示精度來表示精度的高低，相對誤差小則精度高，相對誤差大則精度低，的高低，相對誤差小則精度高，相對誤差大則精度低，但這種描述也不夠準(zhǔn)確，具體又分下面幾種情況：但這種描述也不夠準(zhǔn)確，具體又分下面幾種情況：2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：三、測量三、測量 的的準(zhǔn)確度與精密度準(zhǔn)確度與精密度：2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：1 1、準(zhǔn)確度：、準(zhǔn)確度： 在同樣條件下進(jìn)行無數(shù)次測量所得的在同樣條件下進(jìn)行無數(shù)次測量所得的平均值與真平均值與真值的偏差較小值的偏差較小的測量稱為準(zhǔn)確測量的測量稱為準(zhǔn)確測量, ,即準(zhǔn)確度高即準(zhǔn)確度高. .它反映測量

27、結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度。它反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度。 大偏差系統(tǒng)誤差大準(zhǔn)確度低小偏差系統(tǒng)誤差小準(zhǔn)確度高)()(00AA，AA，三、測量三、測量 的準(zhǔn)確度與精密度：的準(zhǔn)確度與精密度：2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：2 2、精密度：、精密度： 用同樣方法與設(shè)備對同一未知量進(jìn)行多次檢測時用同樣方法與設(shè)備對同一未知量進(jìn)行多次檢測時, ,測量值不一測量值不一, ,把把測量值之間差異測量值之間差異小的測量稱為精密測量小的測量稱為精密測量, ,即精密度高即精密度高. .反映測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度。反映測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度。 大標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)誤差大精密度低小標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)誤差小

28、精密度高，三、測量三、測量 的準(zhǔn)確度與精密度：的準(zhǔn)確度與精密度：2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：3 3、精確度：、精確度：同時兼顧準(zhǔn)確度和精密度的測量，稱為精確測量。其定同時兼顧準(zhǔn)確度和精密度的測量，稱為精確測量。其定量特征可用測量的不確定度（或極限誤差）來表示。量特征可用測量的不確定度（或極限誤差）來表示。它反映測量結(jié)果中隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的的它反映測量結(jié)果中隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的的影響影響 程度。程度。 4 4、關(guān)系：、關(guān)系： 對于具體的測量，精密高的準(zhǔn)確度不一定高，準(zhǔn)確度高的對于具體的測量，精密高的準(zhǔn)確度不一定高，準(zhǔn)確度高的精密度也不一定高，但精確度高的，則測量精密度和準(zhǔn)確

29、度都高。精密度也不一定高，但精確度高的，則測量精密度和準(zhǔn)確度都高。2-5、誤差分析的基本概念、誤差分析的基本概念：舉例：舉例：如圖所示的打靶結(jié)果，子彈打在靶心周圍有三種情況：如圖所示的打靶結(jié)果，子彈打在靶心周圍有三種情況：圖圖1 1：系統(tǒng)誤差小而隨機(jī)誤差大，即準(zhǔn)確度高而精密度低：系統(tǒng)誤差小而隨機(jī)誤差大，即準(zhǔn)確度高而精密度低圖圖2 2：系統(tǒng)誤差大而隨機(jī)誤差小，即準(zhǔn)確度低而精密度高；：系統(tǒng)誤差大而隨機(jī)誤差小，即準(zhǔn)確度低而精密度高；圖圖3 3：系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差都小，即精確度高：系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差都小，即精確度高. .誤差分析中需要估計研究的誤差主要是誤差分析中需要估計研究的誤差主要是隨機(jī)誤差隨機(jī)誤

30、差，下面主要，下面主要對隨機(jī)誤差的性質(zhì)進(jìn)行分析，介紹對隨機(jī)誤差的性質(zhì)進(jìn)行分析，介紹隨機(jī)誤差函數(shù)及其表達(dá)法隨機(jī)誤差函數(shù)及其表達(dá)法，以，以及從采樣平均和采樣方差如何求得及從采樣平均和采樣方差如何求得真值和方差的最佳估計值真值和方差的最佳估計值的方的方法等。法等。2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：一、誤差函數(shù)的有關(guān)符號定義：一、誤差函數(shù)的有關(guān)符號定義：1、 ：誤差：誤差 x 發(fā)生的發(fā)生的概率密度概率密度，積分結(jié)果為積分范圍，積分結(jié)果為積分范圍內(nèi)的誤差發(fā)生的概率；內(nèi)的誤差發(fā)生的概率；2、 ：誤差為：誤差為 x 的概率，稱為概率元；的概率，稱為概率元；3、 ： 誤差在誤差在a與與b之間的概率；之間

31、的概率；4、 ：表明檢測值存在或檢測誤差存在的概率為：表明檢測值存在或檢測誤差存在的概率為12-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：二、隨機(jī)誤差的性質(zhì)：二、隨機(jī)誤差的性質(zhì)：若測量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則測量列中的隨機(jī)若測量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則測量列中的隨機(jī)誤差具有如下特征：誤差具有如下特征：1 1、對稱性：、對稱性：大小相同，符號相反的誤差發(fā)生的概率相同；大小相同，符號相反的誤差發(fā)生的概率相同；2 2、抵償性：、抵償性：由對稱性可知，當(dāng)測量次數(shù)時，全體誤差由對稱性可知，當(dāng)測量次數(shù)時，全體誤差的代數(shù)和為零，即的代數(shù)和為零，即3 3、單峰性：、單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的

32、誤差發(fā)生的概率大；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差發(fā)生的概率大；4 4、有界性：、有界性：絕對值非常大的誤差基本不發(fā)生。絕對值非常大的誤差基本不發(fā)生。 2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：二、隨機(jī)誤差的性質(zhì)：二、隨機(jī)誤差的性質(zhì)：具有上述特征的概率密度分布曲線函數(shù)具有上述特征的概率密度分布曲線函數(shù) y=f(x) 應(yīng)滿應(yīng)滿足：足：1、對于所有的誤差對于所有的誤差x，都有，都有f(x)0 ；2、 f(x)為偶函數(shù)，正負(fù)對稱分布；為偶函數(shù)，正負(fù)對稱分布；3、x=0時時, f(x) 取最大值；取最大值；4、隨隨x0, f(x)單調(diào)減??；單調(diào)減??；5、 f(x)曲線在誤差曲線在誤差 較小時呈上凸，在較大

33、時呈下凹。較小時呈上凸，在較大時呈下凹。 2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：由概率論的中心極限定理可知：大量的、微小的及獨(dú)立的隨由概率論的中心極限定理可知：大量的、微小的及獨(dú)立的隨機(jī)變量之總和服從正態(tài)分布，因此可以用正態(tài)分布函數(shù)來描述隨機(jī)變量之總和服從正態(tài)分布，因此可以用正態(tài)分布函數(shù)來描述隨機(jī)誤差的理論分布規(guī)律。機(jī)誤差的理論分布規(guī)律。1、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布函數(shù)：又稱為高斯分布函數(shù)、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布函數(shù)：又稱為高斯分布函數(shù)設(shè)被測量的真值為設(shè)被測量的真值為A0，一系列測量值為，一系列測量值為Mi，則測量列中的隨

34、，則測量列中的隨機(jī)誤差為機(jī)誤差為xi（式中（式中i=1,2n）。）。則隨機(jī)誤差則隨機(jī)誤差xi正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為： 2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：1 1、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布函數(shù)：、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布函數(shù)： 概率密度函數(shù)為：概率密度函數(shù)為： (1)、分、分布曲線：布曲線：exfxxfx21)(21)(0時：時：2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：1、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布函數(shù)：、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布函

35、數(shù)： 概率密度函數(shù)為：概率密度函數(shù)為： (2)、：是進(jìn)行一系列測量值的是進(jìn)行一系列測量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差或稱均方根誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差或稱均方根誤差。只。只要要 的大小決定后，隨機(jī)誤差的大小決定后，隨機(jī)誤差x的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)f(x) 就就 唯一確定，且為單值函數(shù)。唯一確定，且為單值函數(shù)。(3)、正態(tài)分布的隨機(jī)函數(shù)滿足上述的正態(tài)分布的隨機(jī)函數(shù)滿足上述的5個特征；個特征；(4)、注意：隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布是從統(tǒng)計學(xué)角度而言的，即注意：隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布是從統(tǒng)計學(xué)角度而言的，即針對測量次數(shù)極大而測量分辨率又極高的測量情況而針對測量次數(shù)極大而測量分辨率又極高的測量情況而言的。言的。2-6、誤差的統(tǒng)計處

36、理、誤差的統(tǒng)計處理：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：1 1、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布函數(shù)：、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布函數(shù)： 概率密度函數(shù)為：概率密度函數(shù)為： (5)(5)、從檢測函數(shù)的角度來看，正態(tài)分布常用從檢測函數(shù)的角度來看，正態(tài)分布常用 形式形式來表示。即：來表示。即：其中分別為測量真值和標(biāo)準(zhǔn)誤差，其中分別為測量真值和標(biāo)準(zhǔn)誤差，2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：2 2、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的特征值：、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的特征值：(1)、 誤差函數(shù)的最大值，:0)(21)(

37、0 xfxfx誤差函數(shù)的兩拐點(diǎn)，:0)(21)( xfexfx(2)、 61. 012121ee2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：2 2、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的特征值：、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的特征值：(3)(3)、標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差：含義：標(biāo)準(zhǔn)誤差是含義：標(biāo)準(zhǔn)誤差是方差的平方根，在概率論中方差也被定義方差的平方根，在概率論中方差也被定義為二階中心距離，它表示隨機(jī)誤差相對于中心位置的離散程度。為二階中心距離，它表示隨機(jī)誤差相對于中心位置的離散程度。 (4)(4)、算數(shù)平均誤差算數(shù)平均誤差：誤差絕對值的平均值，即誤差絕

38、對值的平均值，即 dxxfx)(27979. 022)(dxxfx2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：2 2、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的特征值：、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的特征值：(5)(5)、概率（或然）誤差：概率（或然）誤差：含義：為使的內(nèi)外概率相等的誤差。含義：為使的內(nèi)外概率相等的誤差。 (6)(6)、極限誤差極限誤差：標(biāo)準(zhǔn)誤差的標(biāo)準(zhǔn)誤差的2323倍倍6745. 05 . 0)(dxxfxx說明：說明：、：其大小反映了隨機(jī)誤差相對于中心位置的離散程度，：其大小反映了隨機(jī)誤差相對于中心位置的離散程度，對應(yīng)曲線上拐點(diǎn)對應(yīng)

39、曲線上拐點(diǎn)A A的橫坐標(biāo)；的橫坐標(biāo)；、：對應(yīng)曲線右半部面積重心：對應(yīng)曲線右半部面積重心B B的橫坐標(biāo)；的橫坐標(biāo)；、：值的縱坐標(biāo)線平分曲線右半部面積。、：值的縱坐標(biāo)線平分曲線右半部面積。 2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：三、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：2 2、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的特征值：、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的特征值：2009.3.27復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：一、基本概念一、基本概念真值真值A(chǔ)0:被測量的真實(shí)值，用高一等級的精密檢測手段測被測量的真實(shí)值，用高一等級的精密檢測手段測 量值來代替，稱為量值來代替，稱為約定真值約定真值；測量值測量值M： 在一定

40、條件下的測量值；在一定條件下的測量值；誤差誤差x： 測量值測量值M偏離真值偏離真值A(chǔ)0的程度；的程度；x M A0測量值的算術(shù)平均值測量值的算術(shù)平均值A(chǔ)：偏差：偏差： 測量的平均值與真值之間的差值測量的平均值與真值之間的差值，niiMnA11AAnlim00AA殘差殘差 vi ： 各測量值各測量值Mi與平均值與平均值A(chǔ)的差，稱為殘差的差，稱為殘差。 vi =MiA 對于只存在隨機(jī)誤差的測量，各測量值的殘差之和對于只存在隨機(jī)誤差的測量，各測量值的殘差之和 等于等于0。方差方差2 2 ：niiAMn1202)(1標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差 ：又稱為：又稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差niiAMn120)(1二、隨機(jī)誤差

41、函數(shù)的有關(guān)符號定義：二、隨機(jī)誤差函數(shù)的有關(guān)符號定義：1 1、 ：誤差：誤差 x 發(fā)生的概率密度，積分結(jié)果為積分范發(fā)生的概率密度，積分結(jié)果為積分范圍內(nèi)的誤差發(fā)生的概率；圍內(nèi)的誤差發(fā)生的概率；二、隨機(jī)誤差的性質(zhì)：二、隨機(jī)誤差的性質(zhì)：1 1、對稱性、對稱性、2 2、抵償性、抵償性、3 3、單峰性、單峰性、4 4、有界性、有界性 四、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：四、服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差函數(shù)及其特征：1 1、分布曲線：、分布曲線： 2 2、：是進(jìn)行一系列測量值的是進(jìn)行一系列測量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差或稱方均根誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差或稱方均根誤差。只。只要要的大小決定后，的大小決定后，隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差x的概率密度函

42、數(shù)的概率密度函數(shù)f(x) 就就唯一確定，且為單值函數(shù)。唯一確定，且為單值函數(shù)。3 3、算數(shù)平均誤差、算數(shù)平均誤差：誤差絕對值的平均值，即誤差絕對值的平均值，即 dxxfx)(27979. 022)(dxxfx4 4、概率（或然）誤差：、概率（或然）誤差：含義：為使的內(nèi)外概率相等的誤差。含義：為使的內(nèi)外概率相等的誤差。 6745. 05 . 0)(dxxfxx 2 2、： 3 3、算數(shù)平均誤差、算數(shù)平均誤差： dxxfx)(222)(dxxfx 4 4、概率（或然）誤差：、概率（或然）誤差：5 . 0)(dxxfx反映了隨機(jī)誤差相對于中心位反映了隨機(jī)誤差相對于中心位置的離散程度，對應(yīng)曲線上拐置的

43、離散程度，對應(yīng)曲線上拐點(diǎn)點(diǎn)A A的橫坐標(biāo)；的橫坐標(biāo)；對應(yīng)曲線右半部面積對應(yīng)曲線右半部面積重心重心B B的橫坐標(biāo)；的橫坐標(biāo)；縱坐標(biāo)線平分曲線右縱坐標(biāo)線平分曲線右半部面積。半部面積。5 5、極限誤差、極限誤差：標(biāo)準(zhǔn)誤差的標(biāo)準(zhǔn)誤差的2323倍倍2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、三、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差討論：討論：四、置信區(qū)間與置信概率：四、置信區(qū)間與置信概率：2-7、誤差傳遞法則、誤差傳遞法則：一、傳遞傳遞法則：一、傳遞傳遞法則：二、不等精度測量的加權(quán)及其誤差：二、不等精度測量的加權(quán)及其誤差：2-8、誤差估計、誤差估計：2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計

44、處理：三、三、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差討論：討論：由于隨機(jī)誤差的存在，等精度測量列中各測量值一由于隨機(jī)誤差的存在，等精度測量列中各測量值一般皆不相等，它們圍繞該列測量值的平均值有一定的分般皆不相等，它們圍繞該列測量值的平均值有一定的分散性，此分散性說明了測量列中散性，此分散性說明了測量列中單次測量值的不可靠性單次測量值的不可靠性，必須用一個數(shù)值作為必須用一個數(shù)值作為不可靠性的評定不可靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差下面作一討論：下面作一討論：2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差三、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差討論：討論：

45、1 1、標(biāo)準(zhǔn)誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差的統(tǒng)計學(xué)意義：的統(tǒng)計學(xué)意義：表征同一被測量的表征同一被測量的n n次測量的測量值分散性的參數(shù)，次測量的測量值分散性的參數(shù)，作為測量列中單次測量值不可靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)作為測量列中單次測量值不可靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)。對于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差分布密度函數(shù)：對于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差分布密度函數(shù)：有以下關(guān)系：有以下關(guān)系：曲線變低的縱坐標(biāo)誤差為曲線平坦愈慢曲線變高的縱坐標(biāo)對應(yīng)誤差前的系數(shù)曲線變陡愈快的指數(shù)絕對值0)(0)(xfxexfe2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差三、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差討論：討論：1 1、標(biāo)準(zhǔn)誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差的統(tǒng)計學(xué)意義：的

46、統(tǒng)計學(xué)意義：表征表征單次測量值不可靠性單次測量值不可靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)。的評定標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值小，表明該測量的數(shù)值小，表明該測量列相應(yīng)小的誤差就占優(yōu)勢，任一列相應(yīng)小的誤差就占優(yōu)勢，任一單次測量值對算術(shù)平均值的分散單次測量值對算術(shù)平均值的分散度就小，測量的可靠性就大，即度就小，測量的可靠性就大，即測量精度高測量精度高( (如圖中的第一條曲如圖中的第一條曲線線) )；反之，測量精度就低；反之，測量精度就低( (如圖如圖中的第三條曲線中的第三條曲線) )。2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差三、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差討論：討論：2 2、說明：、說明： 標(biāo)

47、準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差不是測量列中任何一個具體測不是測量列中任何一個具體測量值的隨機(jī)誤差量值的隨機(jī)誤差，其大小只說明在一定條件下等精，其大小只說明在一定條件下等精度測量列隨機(jī)誤差的攝率分布情況。在該條件下，度測量列隨機(jī)誤差的攝率分布情況。在該條件下，任一單次測量值的隨機(jī)誤差任一單次測量值的隨機(jī)誤差x，一般都不等于，一般都不等于 ，但卻認(rèn)為這一系列測量中所有測得值但卻認(rèn)為這一系列測量中所有測得值都屬于同樣一都屬于同樣一個標(biāo)準(zhǔn)差個標(biāo)準(zhǔn)差的概率分布的概率分布。在不同條件下，對同一被。在不同條件下，對同一被測量進(jìn)行兩個系列的等精度測量，其標(biāo)準(zhǔn)差測量進(jìn)行兩個系列的等精度測量，其標(biāo)準(zhǔn)差也不也不相同。相同。2-6、

48、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差三、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差討論：討論：3、等精度測量列中、等精度測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)誤差單次測量的標(biāo)準(zhǔn)誤差的計算：的計算：若已知誤差若已知誤差 x ，概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) f(x)，根據(jù)定義可知：，根據(jù)定義可知：nxxxn22221. dxxfx)(2 實(shí)際的測量列誤差為實(shí)際的測量列誤差為x1 、x2 、 x3 、 xn (其中其中xi=Mi A0)n應(yīng)足夠大。應(yīng)足夠大。 由于真值由于真值A(chǔ) A0 0不知，按上不知，按上式無法求取式無法求取。實(shí)際應(yīng)用中，在有限次測量中用。實(shí)際應(yīng)用中，在有限次測量中用殘差殘差代替真實(shí)誤代

49、替真實(shí)誤差來求解，其結(jié)果稱為差來求解，其結(jié)果稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計，即，即單次測量單次測量的標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值，用表示，其計算方法：偏差的估計值，用表示，其計算方法：誤差誤差x1 、x2 、 x3 、 xn無法求出無法求出vi =MiA2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：三、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差三、正態(tài)分布的誤差函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差討論：討論：3 3、等精度測量列中、等精度測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)誤差單次測量的標(biāo)準(zhǔn)誤差的計算：的計算：（1 1）、貝塞爾公式：）、貝塞爾公式：112nvnii（2 2）、別捷爾斯法：）、別捷爾斯法：說明說明（1 1）以上兩法均需先求平均值

50、，再求殘差以上兩法均需先求平均值，再求殘差 (2)(2)以上方法求取的標(biāo)準(zhǔn)誤差實(shí)質(zhì)是以上方法求取的標(biāo)準(zhǔn)誤差實(shí)質(zhì)是單次單次測量標(biāo)準(zhǔn)測量標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計值，稱為誤差的估計值，稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計，在，在2-82-8節(jié)證節(jié)證明。明。) 1(253. 11nnvnii2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：四、置信區(qū)間與置信概率：四、置信區(qū)間與置信概率：在研究隨機(jī)誤差的統(tǒng)計規(guī)律時，不僅要知道隨機(jī)變在研究隨機(jī)誤差的統(tǒng)計規(guī)律時，不僅要知道隨機(jī)變量在哪個范圍內(nèi)取值，而且要知道在該范圍內(nèi)取值的概量在哪個范圍內(nèi)取值，而且要知道在該范圍內(nèi)取值的概率，兩者是相互關(guān)聯(lián)的。率，兩者是相互關(guān)聯(lián)的。1 1

51、、置信區(qū)間：、置信區(qū)間：定義為隨機(jī)變量取值的范圍，常用正態(tài)定義為隨機(jī)變量取值的范圍，常用正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤差分布的標(biāo)準(zhǔn)誤差的倍數(shù)來表示，即的倍數(shù)來表示，即 ，其中，其中 為為置信系數(shù)。置信系數(shù)。2 2、置信概率：、置信概率：隨機(jī)變量在置信區(qū)間隨機(jī)變量在置信區(qū)間 內(nèi)取值的概內(nèi)取值的概率。率。zzzzzzdxedxxfzxpzx022222)()(2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：四、置信區(qū)間與置信概率：四、置信區(qū)間與置信概率：1 1、置信區(qū)間：置信區(qū)間：即即 ，其中，其中 為置信系數(shù)。為置信系數(shù)。2 2、置信概率：置信概率：3 3、置信水平置信水平: : 表示隨機(jī)變量在置信區(qū)間以外取值的概表

52、示隨機(jī)變量在置信區(qū)間以外取值的概率。計為：率。計為：zzzxpz)()(1)(zz2-6、誤差的統(tǒng)計處理、誤差的統(tǒng)計處理：四、置信區(qū)間與置信概率：四、置信區(qū)間與置信概率：1 1、置信區(qū)間：置信區(qū)間：即即 ，其中，其中 為置信系數(shù)。為置信系數(shù)。2 2、置信概率：置信概率：3 3、置信水平：置信水平：zzzxpz)()(1)(zz說明：說明：置信系數(shù)取不同典型值時，正態(tài)分布的置信區(qū)間與置信概率置信系數(shù)取不同典型值時，正態(tài)分布的置信區(qū)間與置信概率數(shù)值如下表所示。置信系數(shù)越大，置信區(qū)間越寬，置信概率越大，數(shù)值如下表所示。置信系數(shù)越大，置信區(qū)間越寬，置信概率越大，隨機(jī)誤差的范圍也越大，對測量精度的要求越

53、低。隨機(jī)誤差的范圍也越大，對測量精度的要求越低。 在實(shí)際測量中，如有在實(shí)際測量中，如有95% 95% 的置信概率時，其可靠性已經(jīng)足夠的置信概率時，其可靠性已經(jīng)足夠了，此時的置信區(qū)間是，置信水平為了，此時的置信區(qū)間是，置信水平為5%5%。22-7、誤差傳遞法則、誤差傳遞法則：一、誤差傳遞法則：一、誤差傳遞法則：當(dāng)間接檢測量當(dāng)間接檢測量Y Y與與互相獨(dú)立的互相獨(dú)立的直接檢測量直接檢測量 M1 、 M2 有如有如下的函數(shù)關(guān)系：下的函數(shù)關(guān)系：其中各直接測量量其中各直接測量量M1 、 M2 標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為 時，時，下面來求下面來求Y的標(biāo)準(zhǔn)偏差。只要知道了也就確定了間接的標(biāo)準(zhǔn)偏差。只要知道了

54、也就確定了間接測量量測量量Y的誤差分布。的誤差分布。.21、.)(21MMY，YY2-7、誤差傳遞法則、誤差傳遞法則：一、誤差傳遞法則：一、誤差傳遞法則：nnxxxMxxxM222212121111.、的測量列誤差分別為：若、的測量列誤差分別為：若（1 1）簡易）簡易情況：情況：Y=M1+M22221Y21212122212221Y02Y的標(biāo)準(zhǔn)偏差間接測量協(xié)方差相互獨(dú)立、由于方差：誤差：的：間接測量量iiiiiiiYiiixxMMnxxnxnxnyxxy2-7、誤差傳遞法則、誤差傳遞法則：一、誤差傳遞法則：一、誤差傳遞法則：（2）任意線性結(jié)合的情況：）任意線性結(jié)合的情況：Y=a1M1a2M2a

55、nMn +k2n222222121Y21.Y0.nnaaaMMM的標(biāo)準(zhǔn)偏差間接測量誤差的任意協(xié)方差相互獨(dú)立、由于說明：說明：、盡管間接檢測函數(shù)中有差的結(jié)合方式，但方差均為和的形式、盡管間接檢測函數(shù)中有差的結(jié)合方式，但方差均為和的形式出現(xiàn)；出現(xiàn)；、各誤差相互獨(dú)立，是指其線性無關(guān)，即一誤差增大，其余誤、各誤差相互獨(dú)立，是指其線性無關(guān)，即一誤差增大，其余誤差可能增大也可能減少；差可能增大也可能減少；、 a1 、a2 、an為各測量量的誤差傳遞系數(shù)為各測量量的誤差傳遞系數(shù) 2-7、誤差傳遞法則、誤差傳遞法則：一、誤差傳遞法則：一、誤差傳遞法則：（2）任意線性結(jié)合的情況：）任意線性結(jié)合的情況：Y=a1M

56、1a2M2anMn +k2n222222121Y21.Y0.nnaaaMMM的標(biāo)準(zhǔn)偏差間接測量量誤差的任意協(xié)方差相互獨(dú)立、由于舉例：舉例：一組測量值的算術(shù)平均值為一組測量值的算術(shù)平均值為設(shè)測量值之間相互獨(dú)立，測量標(biāo)準(zhǔn)誤差同為時，設(shè)測量值之間相互獨(dú)立，測量標(biāo)準(zhǔn)誤差同為時， 可知平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為可知平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 這意味著多次采集數(shù)據(jù)，取其平均值為測量結(jié)果時，誤差會相對這意味著多次采集數(shù)據(jù)，取其平均值為測量結(jié)果時，誤差會相對變小，可以提高測量精度倍。變小，可以提高測量精度倍。nMMMAn.21nnnn222222Y1.11n（3）一般情況：）一般情況：Y=（x1，x2，xn） 在各檢測量取平

57、均值時，將間接檢測量在各檢測量取平均值時，將間接檢測量在附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，在附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開， 并略去并略去高階誤差項，得：高階誤差項，得：其中偏微分系數(shù)其中偏微分系數(shù)均為取平均值時的均為取平均值時的常量，因此上式為的一次多項式，同情形（常量，因此上式為的一次多項式，同情形（2）一樣，可得標(biāo)準(zhǔn)偏差為：一樣，可得標(biāo)準(zhǔn)偏差為： 偏微分形式偏微分形式nnxxxxxxYY02021010.0201x、x.2220221201xxY2-7、誤差傳遞法則、誤差傳遞法則：一、誤差傳遞法則：一、誤差傳遞法則：21mm、21xx、321.mmm、).(021nmmmY、2-7、誤差傳遞法則、誤差傳遞法則

58、：二、不等精度測量的加權(quán)及其誤差：二、不等精度測量的加權(quán)及其誤差： 使用不同檢測方法對同一未知量進(jìn)行檢測所得的使用不同檢測方法對同一未知量進(jìn)行檢測所得的m組測量數(shù)據(jù)，一般認(rèn)為它們是具有不等精度，即不能同組測量數(shù)據(jù)，一般認(rèn)為它們是具有不等精度，即不能同等看待它們的測量結(jié)果及其誤差。精密度高的測量數(shù)據(jù)等看待它們的測量結(jié)果及其誤差。精密度高的測量數(shù)據(jù)具有較大的可靠性，將這種可靠性的大小稱為權(quán)重，通具有較大的可靠性，將這種可靠性的大小稱為權(quán)重，通常用常用加權(quán)平均加權(quán)平均的方法計算的方法計算m組測量數(shù)據(jù)的總的平均值。組測量數(shù)據(jù)的總的平均值。2-7、誤差傳遞法則、誤差傳遞法則：二、不等精度測量的加權(quán)及其誤

59、差：二、不等精度測量的加權(quán)及其誤差：1 1、權(quán)重的大小確定、權(quán)重的大小確定: : 權(quán)重的大小是相對的，一般用方差權(quán)重的大小是相對的，一般用方差 2 2 的倒數(shù)的倒數(shù)的比值表示。設(shè)的比值表示。設(shè)m組測量數(shù)據(jù)各自的檢測方差為：組測量數(shù)據(jù)各自的檢測方差為： ，即有：，即有：如果各種檢測方法的精度同為如果各種檢測方法的精度同為2 2，但每組檢測數(shù)據(jù)的，但每組檢測數(shù)據(jù)的個數(shù)不同，分別為時，根據(jù)誤個數(shù)不同，分別為時，根據(jù)誤差傳遞法則的應(yīng)用，可得差傳遞法則的應(yīng)用，可得 mnnn.21、22221.m，2-7、誤差傳遞法則、誤差傳遞法則：二、不等精度測量的加權(quán)及其誤差：二、不等精度測量的加權(quán)及其誤差：2、加權(quán)

60、平均值計算、加權(quán)平均值計算: 設(shè)設(shè)m組測量數(shù)據(jù)各自的平均值為組測量數(shù)據(jù)各自的平均值為相應(yīng)于各組的權(quán)重分別為相應(yīng)于各組的權(quán)重分別為 ，加權(quán)平均，加權(quán)平均值為：值為：根據(jù)誤差傳遞法則，加權(quán)平均結(jié)果的根據(jù)誤差傳遞法則，加權(quán)平均結(jié)果的誤差誤差被合成為：被合成為：mXXX.21、mppp.21、X2-8、誤差估計、誤差估計：一、平均值的誤差表示方法：一、平均值的誤差表示方法：測量值的算術(shù)平均值測量值的算術(shù)平均值由于實(shí)際的測量次數(shù)有限，所以測量平均值由于實(shí)際的測量次數(shù)有限，所以測量平均值A(chǔ)不等于真值。不等于真值。如果在相同的測量條件下，對同一測量值作如果在相同的測量條件下，對同一測量值作多組多組重復(fù)系列測