多面體外接球半徑常見的5種求法

1、多面體外接球半徑常見的5種求法如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.多面體幾何性質(zhì)法例1 已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是A. B. C. D.解 設(shè)正四棱柱的底面邊長為，外接球的半徑為，則有，解得.這個(gè)球的表面積是.選C.小結(jié) 本題是運(yùn)用“

2、正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.補(bǔ)形法例2 若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是 .解 據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長為的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.設(shè)其外接球的半徑為，則有.故其外接球的表面積.小結(jié) 一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.尋求軸截面圓半徑法例3 正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為 .解 設(shè)正四棱錐的底面中心

3、為，外接球的球心為，如圖1所示.由球的截面的性質(zhì)，可得.又，球心必在所在的直線上.的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在中，由，得.是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故.小結(jié) 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).公式法例4 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六

4、棱柱的體積為，底面周長為，則這個(gè)球的體積為 .解 設(shè)正六棱柱的底面邊長為，高為，則有 正六棱柱的底面圓的半徑，球心到底面的距離.外接球的半徑.小結(jié) 本題是運(yùn)用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.確定球心位置法例5 在矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為A. B. C. D.解 設(shè)矩形對角線的交點(diǎn)為，則由矩形對角線互相平分，可知.點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，如圖2所示.外接球的半徑.故.選C.小結(jié)：鞏固練習(xí)：1.三棱錐中，平面，則該三棱錐外接球的表面積為（   ）A   

5、  B     C     D 2.在三棱柱中，已知,，此三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的體積為（ ）A B C D3.四面體ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，則四面體ABCD的外接球的表面積（ ）A25p B45p C50p D100p4.已知正四面體的棱長為，則它的外接球的表面積的值為 5.已知正三棱錐ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_。6.平面四邊形中，,將其沿對角線折成四面體,使平面平面，若四面體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為 （ ）（A） （B） （C） （D）7.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（ ）A B C D8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，俯視圖是一個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為_. 9.三棱錐的外接球?yàn)榍?，球的直徑是，且都是邊長為的等邊三角形，則三棱錐的體積是（ ） A B C D 10.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為A36 B.64 C.144 D.2