2422第2課時(shí)切線的判定與性質(zhì)

1、24.2 直線和圓的位置關(guān)系第2課時(shí) 切線的判定與性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握切線的判定定理，能判定一條直線是否為圓掌握切線的判定定理，能判定一條直線是否為圓的切線的切線2掌握切線的性質(zhì)定理掌握切線的性質(zhì)定理3能綜合運(yùn)用圓的切線的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題能綜合運(yùn)用圓的切線的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】探索圓的切線的判定和性質(zhì)，并能運(yùn)用探索圓的切線的判定和性質(zhì)，并能運(yùn)用【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】探索圓的切線的判定方法探索圓的切線的判定方法轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)飛出的雨滴，用砂輪磨刀時(shí)擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？都是沿切線方向飛出的. 生活中?？吹角芯€的實(shí)例，如何判斷一條直線是否為切線呢？

2、學(xué)完這節(jié)課，你就都會(huì)明白.情境引入情境引入ABC問(wèn)題：已知圓O上一點(diǎn)A，怎樣根據(jù)圓的切線定義過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線？觀察：（1） 圓心O到直線AB的距離和圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系?（2）二者位置有什么關(guān)系？為什么？切線的判定定理O經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.OA O的半徑 OA于A O的切線ABC 切線的判定定理應(yīng)用格式O要點(diǎn)歸納要點(diǎn)歸納下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明為什么？O.lAO.lABAOl(1)(2)(3)(1)不是，因?yàn)闆](méi)有垂直.(2),(3)不是，因?yàn)闆](méi)有經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)A.在此定理中，“經(jīng)過(guò)半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個(gè)條件缺一不可，否則就不

3、是圓的切線.判一判判一判判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法：1.定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線是圓的切線;2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時(shí)，直線與圓相切；3.判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd要點(diǎn)歸納要點(diǎn)歸納例1：如圖,ABC=45，直線AB是O上的直徑，點(diǎn)A,且AB=AC.求證：AC是O的切線. 解析：直線AC經(jīng)過(guò)半徑的一端，因此只要證OA垂直于AC即可.證明：證明：AB=AC，ABC45，ACBABC45. BAC=180- -ABC- -ACB=90. AB是是O的直徑，的直徑， AC是是O的切線的切線.

4、AOCB典例精析典例精析例2 已知：直線AB經(jīng)過(guò) O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是 O的切線.分析：由于AB過(guò) O上的點(diǎn)C，所以連接OC，只要證明ABOC即可. 證明：連接OC(如圖). OAOB,CACB, OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線. ABOC. OC是 O的半徑, AB是 O的切線. 例3 如圖,ABC 中，AB AC ，O 是BC的中點(diǎn)， O 與AB 相切于E.求證：AC 是 O 的切線BOCEA分析：根據(jù)切線的判定定理，要證明AC是 O的切線，只要證明由點(diǎn)O向AC所作的垂線段OF是 O的半徑就可以了，而OE是 O的半徑，因此只需要證明OF=OE.F

5、證明：證明：連接OE ，OA, 過(guò)O 作OF AC. O 與AB 相切于E ， OE AB.又ABC 中，AB AC ，O 是BC 的中點(diǎn)AO 平分BAC，F(xiàn)BOCEAOE OF.OE 是 O 半徑，OF OE，OF AC.AC 是 O 的切線又又OE AB ，OFAC.如圖，已知直線AB經(jīng)過(guò) O上的點(diǎn)C，并且OAOB，CACB求證：直線AB是 O的切線.CBAO如圖，OAOB=5，AB8, O的直徑為6.求證：直線AB是 O的切線.CBAO對(duì)比思考作垂直連接方法歸納方法歸納(1) 有交點(diǎn)，連半徑,證垂直;(2) 無(wú)交點(diǎn)，作垂直,證半徑.證切線時(shí)輔助線的添加方法例1例2有切線時(shí)常用輔助線添加方

6、法 見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直.切線的其他重要結(jié)論(1)經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn);(2)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.要點(diǎn)歸納要點(diǎn)歸納思考：如圖，如果直線l是 O 的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，那么OA與l垂直嗎？AlO直線l是 O 的切線，A是切點(diǎn)，直線l OA.切線的性質(zhì)定理 切線性質(zhì) 圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑 應(yīng)用格式1.如圖：在 O中，OA、OB為半徑，直線MN與 O相切于點(diǎn)B，若ABN=30，則AOB= .2.如圖AB為 O的直徑，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DC與 O相切于點(diǎn)C，DAC=30， 若 O的半徑長(zhǎng)1cm，則CD= cm.603練一練練一練 利用切線的性質(zhì)解題時(shí)，常需

7、連接輔助線，一般連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題.方法總結(jié)方法總結(jié)例4 如圖，PA為 O的切線，A為切點(diǎn)直線PO與 O交于B、C兩點(diǎn)，P30，連接AO、AB、AC.(1)求證：ACBAPO；(2)若AP ，求 O的半徑3解析：(1)根據(jù)已知條件我們易得CAB=PAO=90，由P=30可得出AOP=60，則C=30=P，即AC=AP；這樣就湊齊了角邊角，可證得ACBAPO；OABPC(2)由已知條件可得AOP為直角三角形，因此可以通過(guò)解直角三角形求出半徑OA的長(zhǎng).(1)求證：ACBAPO；OABPC在ACB和APO中，BACOAP，ABAO，ABOAOB，ACBAP

8、O.(1)證明：PA為 O的切線，A為切點(diǎn)，又P30，AOB60，又OAOB，AOB為等邊三角形ABAO，ABO60.又BC為 O的直徑，BAC90.OAP90.(2)若AP ，求 O的半徑OABPC3AO1，CBOP2，OB1，即 O的半徑為1.(2)解：在RtAOP中，P30，AP ，3 1.判斷下列命題是否正確. 經(jīng)過(guò)半徑外端的直線是圓的切線. （ ） 垂直于半徑的直線是圓的切線. （ ） 過(guò)直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線. （ ） 和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線. （ ） 過(guò)直徑一端點(diǎn)且垂直于直徑的直線是圓的切線. （ ） 當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)3.如圖，在O的內(nèi)接四邊形A

9、BCD中，AB是直徑，BCD=120，過(guò)D點(diǎn)的切線PD與直線AB交于點(diǎn)P，則ADP的度數(shù)為（ ）A40 B35 C30 D452.如圖所示，A是O上一點(diǎn)，且AO=5,PO=13,AP=12,則PA與O的位置關(guān)系是 .APO第2題PO第3題DABC相切C4.如圖, O切PB于點(diǎn)B,PB=4,PA=2,則 O的半徑多少？OPBA解：連接OB，則OBP=90.設(shè) O的半徑為r,則OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r. 在RtOBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得 r=3，即 O的半徑為3.證明：連接OP. AB=AC,B=C. OB=OP，B=OPB， OBP=C.

10、OPAC. PEAC， PEOP. PE為 O的切線.5.如圖,ABC中，AB=AC，以AB為直徑的 O交邊BC于P， PEAC于E. 求證:PE是 O的切線.6.如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的 O與BC相切于點(diǎn)M.求證：CD與 O相切證明：連接OM，過(guò)點(diǎn)O作ONCD于點(diǎn)N， O與BC相切于點(diǎn)M，OMBC.又ONCD，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，OMON，CD與 O相切MN7.已知：ABC內(nèi)接于O，過(guò)點(diǎn)A作直線EF.（1）如圖1，AB為直徑，要使EF為O的切線，還需添加的條件是（只需寫(xiě)出兩種情況）： _ ； _ .（2）如圖2，AB是非直徑的弦，CAE=B，求證：EF是O的切線.BAEFCAE=BAFEOAFEOBCBC圖1圖2證明：連接AO并延長(zhǎng)交O于D,連接CD,則AD為O的直徑. D+ DAC=90 , D與B同對(duì) , D= B,又 CAE= B, D= CAE, DAC+ EAC=90,EF是O的切線.ACAFEOBC圖2D切 線 的判定方法