313空間向量的數(shù)量積運算

1、3.1.3 空間向量的數(shù)量積運算 sFW= |F| |s| cos 根據(jù)功的計算根據(jù)功的計算, ,我們定義了平面兩向量的數(shù)我們定義了平面兩向量的數(shù)量積運算量積運算. .一旦定義出來一旦定義出來, ,我們發(fā)現(xiàn)這種運算非常我們發(fā)現(xiàn)這種運算非常有用有用, ,它能解決有關(guān)長度和角度的問題它能解決有關(guān)長度和角度的問題. .O OA AB Ba a b b 思考:a，b與與b，a的關(guān)系是怎樣的？的關(guān)系是怎樣的？a，b與與a，b、a，b的關(guān)系呢？的關(guān)系呢？提示：a，bb，a，a，ba，ba，b注注:兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量. 規(guī)定規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積都等

2、于零零向量與任意向量的數(shù)量積都等于零.abA1 1B1 1BA性質(zhì)性質(zhì)是證明兩向量垂直的依據(jù)；是證明兩向量垂直的依據(jù)；性質(zhì)是求向量的長度（模）的依據(jù)性質(zhì)是求向量的長度（模）的依據(jù). .注：注： 向量的數(shù)量積運算類似于多項式運算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.三垂線定理三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線在平面內(nèi)的一條直線, ,如果和這如果和這個平面的一條斜線的射影垂直個平面的一條斜線的射影垂直, ,那么它也和這條那么它也和這條斜線垂直斜線垂直. . P O A l分析：分析：用向量來證明兩直線用向量來證明兩直線垂直，只需證明兩直線的方垂直，只需證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為零即可！向向

3、量的數(shù)量積為零即可！O 探究點探究點5 向量方法與兩個定理向量方法與兩個定理 P O A la 逆命題成立嗎?在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直.設(shè)l 的方向向量為 a，則l PA aPA=0PA=PO+OA aPA=a(PO+OA)=.=0分析：要證明一條直線與一個平面垂直,由直線與平面垂直的定義可知,就是要證明這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直. , ,:2. 線線內(nèi)內(nèi)兩兩條條線線證證已已知知直直是是平平面面的的相相交交直直果果例例如如求求m nlm lnl lmngn g m l 取已知平面內(nèi)的任一條直線取已知平面內(nèi)的任一條直線g,g

4、,拿相關(guān)直線的拿相關(guān)直線的方向向量來分析方向向量來分析, ,看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件條件? ?要證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)要證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)? ?怎怎樣建立向量的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系樣建立向量的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系? ? 注意向量m, n,g 共面存在實數(shù)，使得：g=m+n l.g=. 基礎(chǔ)訓(xùn)練CD2D5如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA與BC夾角的余弦值題型探究探究一空間向量的數(shù)量積的運算方法歸納在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模(4)代入公式ab|a|b|cosa，b求解A跟蹤訓(xùn)練探究二利用數(shù)量積研究垂直問題方法歸納利用數(shù)量積證明垂直問題(1)將所證明垂直線段轉(zhuǎn)化為向量(2)用已知向量表示未知向量(3)利用數(shù)量積運算完成判定跟蹤訓(xùn)練探究三利用數(shù)量積求角與距離方法歸納利用數(shù)量積求夾角與距離(1)轉(zhuǎn)化：將所求角或距離轉(zhuǎn)化為向量夾角與向量模(2)表示：用已知向量